蓝桥杯基础-1.1切面条问题【分析解答】

蓝桥杯基础

1.1切面条

---

一根高筋拉面，中间切一刀，可以得到2根面条。如果先对折1次，中间切一刀，可以得到3根面条。如果连续对折2次，中间切一刀，可以得到5根面条。 那么，连续对折10次，中间切一刀，会得到多少面条呢

---

思考

三种模式

1. 想过程

①一根面条直接切是两根；对折一次再切变成了三根【这个过程中是多了一个弯】；对折两次再切变成了五根【这个过程是在保留前一次对折，即第一次对折的一个弯的同时，第二次对折给第一次对折产生的两层分别多加了一个弯】；再后续每一次都是在迭代【都是在保留前一次对折出现的弯的基础上，新一次对折又给前一次对折增加了前一次对折的层数那么多弯】

②而每个弯，都是在切的时候“躲开”的部分，也就是每个弯都使最后的条数减一，而若是对折n次，那么弯的数目应该就是2^0+2^1+···+2^(n-1)这么多

③那最后是在什么的基础上去做这个减法呢？就是别管弯去切的基础上，即对折一次应该是两层，这时候就先当每层切开是两段，共计2×2四段；对折两次就是4×2八段；后面的也是一样的，首先算层数，显然是2^n，n为对折的次数，再×2即2^(n+1)

④再去做减法，用③的结果把上述②中讨论的减掉。即2^(n+1)-[2^0+2^1+···+2^(n-1)]

使用等比数列求和整理可以得到结果2^(n+1)-(2^n-1)=2^n+1

2. 摊开来看

①将折叠之后的绳子每个折痕做标记再摊开来看，最后再去想切的过程。会发现什么呢？

②首先折痕的特殊性在于它们将整条绳子划分成了诸多小段，切的时候其实是对这每一个小段都切一刀，但是折痕处会将切后的两部分（自己切的一段和隔壁邻居切的相邻的那段）连接起来。

③折痕将切之前的绳子分成的段数，这很好想，其实就是2^n，折痕数目也呼之欲出了2^n-1；切一刀本应该变成2^(n+1)，但是每一个折痕都将切后的有两段连起来，连起来的段数其实就是折痕的数目2^n-1，于是2^(n+1)-[2^n-1]得到最终结果2^n+1

3. 多折几次根据结果归纳找规律

对折的次数	0	1	2	3	4	···	10	···
条数	2	3	5	9	17	···	？	···

找到规律2^n+1

代码实战

• 直接套用结论

/*直接套用总结的结论*/
#include
#include

int main(){
	int n,answer;
	printf("请输入对折的次数：\n");
	scanf("%d",&n);
	answer=pow(2,n)+1;
	printf("切一刀之后得到的条数为：%d",answer);
	return 0;
}

• 使用递归的思想

answer[i]=2×answer[i-1]-1;从何而来？

①依旧是找规律，参考上面表格

②根据公式

answer[i]=2^i+1;

answer[i-1]=2^(i-1)+1;

很明显可以知道，answer[i]=2×answer[i-1]+1

/*使用递归*/
#include

int main(){
	int n,answer[20];
	printf("请输入对折的次数：\n");
	scanf("%d",&n);
	answer[0]=2;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		answer[i]=2*answer[i-1]-1;
	}
	printf("切一刀之后得到的条数为：%d",answer[n]);
	return 0;
}