数分考前总结

数项级数:

1. 级数收敛的定义：部分和数列收敛

2. 柯西收敛准则：任给正数$ϵ$，存在正整数$N$,使得$m>N$时对于任意正整数$p$，$|u_m+...u_{m+p}|<ϵ$

3. 级数收敛的必要条件：$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$

收敛级数的性质

1. 级数收敛满足线性性
2. 去掉，增加，改变有限个项不影响收敛性，因此可以只看$n$很大的情况
3. 收敛级数的项任意加括号,既不改变级数的收敛性，也不改变他的和，因为加完括号的数列$v_n$的部分和数列$S_n$是原来部分和数列的子列。若加括号后收敛不能代表加括号前收敛。

正项级数收敛判断

1. 正项级数收敛充要条件：部分和数列有界。因为正项级数部分和数列单增，单调有界数列必有极限。

2. 比较原则：若存在$N$，对于$n>N$,$u_n<v_n$，大数列收敛，则小数列收敛；小数列发散，则大数列发散。

3. 推论：$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l$,若$0<l<+\infty$，则$u_n,v_n$具有同敛性;若$l=0$，则$v_n$收敛，$u_n$也收敛；若$l=\infty$则$v_n$发散，$u_n$也发散

4. 达朗贝尔判别法，对$n>N_0$,若$\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$，则级数$u_n$收敛，反之则发散

5. 推论：若级数$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$，若$q<1$则$u_n$收敛，$q>1$,则$u_n$发散,等于不能判断

6. 柯西判别法：对$n>N_0$成立$\sqrt[n]{u_n}<1$，则收敛，大于1则发散，等于1不能判断，因为用比较判别法与$l^n$比较就可以

7. 推论：若级数$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=l$，$l>1$时发散，$l<1$时发散，根式判别法比比式范围更加广

8. 积分判别法，$f(n)$是1到正无穷的非负减函数，则${\int }_1^{\infty }f(x)dx$和$\sum f(n)$有相同的敛散性。出现$\ln x,\frac{1}{x}$可能会积分

交错级数收敛判别

​ 莱布尼茨判别法：$u_n$单调递减(比较的时候要加绝对值)$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$则交错级数收敛。

其他判别法

1. 阿贝尔判别法：$\{a_n\}$单调有界，$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n{b}_n$收敛
2. 狄利克雷判别法：如果$\{a_n\}$单调递减，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$,$\sum b_n$部分和数列有界，则$\sum a_n{b}_n$收敛

绝对收敛

1. 若级数$\sum |u_n|$收敛，则称$\sum u_n$绝对收敛，如果$\sum |u_n|$不收敛但是$\sum u_n$收敛，则称条件收敛
2. 绝对收敛的级数一定收敛
3. 绝对收敛重排以后也绝对收敛，且和数相同。条件收敛重排以后不一定收敛。
4. 柯西定理：如果$\sum u_n=A,\sum v_n=B$都绝对收敛，则正方形顺序和对角线顺序的乘积的任意顺序都绝对收敛且值为$AB$
5. 阿贝尔变换：如果${\delta }_k=v_1+..v_k$，则${\sum }_{i=1}^n{v}_n{ϵ}_n=({ϵ}_1-{ϵ}_2){\delta }_1+\left({ϵ}_2-{ϵ}_3\right){\delta }_2+...({ϵ}_{n-1}-{ϵ}_n){\delta }_{n-1}+{ϵ}_n{\delta }_n$展开即可证明

函数列与函数项级数

函数列点态收敛

1. 极限函数：$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=f(x),x\in D$
2. 点态收敛的$ϵ-N$语言：对于任意$x\in D$,任意正数$ϵ$,存在$N$，当$n>N$时，$|f_n(x)-f(x)|<ϵ$

函数列一致收敛

1. 一致收敛：存在$N$,对于任意$x\in D$,任意正数$ϵ$,$|f_n(x)-f(x)|<ϵ$
2. 一致收敛的柯西准则：一致收敛的充要条件是：任意正数$ϵ$总存在$N$,当$n>N$时，对任意$x$都有$|f_n(x)-f(x)|<ϵ$
3. 判断一致收敛定理：函数列一致收敛的充要条件是$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\in D}{\sup }|f_n(x)-f(x)|<ϵ$，就是把$n$看作一个常数，然后$x$取到最大，再求极限

函数项级数一致收敛

1. 定义：部分和数列$S_n(x)$在$n\to \infty$时收敛
2. 优级数判别法：函数项级数满足，是收敛的正项级数，则一致收敛。
3. 阿贝尔判别法：$\sum u_n(x)$一致收敛，对于每一个$x$,$v_n(x)$单调，$v_n(x)$一致有界。则$\sum u_n(x)v_n(x)$收敛.遇到$(-1{)}^n$这种可能会用莱布尼茨判别法和阿贝尔判别法。
4. 狄利克雷判别法：$u_n(x)$部分和数列一致有界，$v_n(x)$一致收敛到0，且对每个$x$单调。遇到$\cos nx$可能会用到$\sum \cos nx$有界，用$2\sin (\frac{1}{2}x)\cos kx=\sin ((k-\frac{1}{2})x)-\sin ((k+\frac{1}{2})x)$。

函数列与极限函数的关系

1. 如果函数项级数一致收敛，则$f_n(x)$求极限时顺序可以交换，$f(x_0)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x_0)$

2. 若函数列级数一致收敛，每一项都连续，则极限函数连续，推论是各项连续的函数列，极限函数不连续，则不一致收敛

函数项级数和与和函数的性质

1. 若函数列级数一致收敛，每一项都连续，则${\int }_a^b\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx$成立（积分和极限可以交换）
2. 若函数项级数每一项都有连续的导数，且导数一致收敛，则微分和极限可交换
3. 若函数项级数一致收敛，每一项都连续，则和函数连续，级数求和运算和极限运算可以交换
4. 若函数项级数一致收敛，且每一项都有连续的导函数，导函数一致收敛，则求导和求和可以交换

幂级数

定义：幂级数就是类似于$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$

幂级数点态收敛

1. 阿贝尔定理：如果幂级数在$x=x_0$处收敛，则对于$-|x_0|<x<|x_0|$的所有$x$均绝对收敛，注意$x=x_0$处不一定绝对收敛。若在$x=x_0$处发散，则在$|x|>|x_0|$处都发散。
2. 幂级数只在原点半径为$R$的内部收敛，$R=0$,只在原点收敛；$R=+\infty$，在$\mathbb{R}$上收敛；$0<R<+\infty$,在$(-R,R)$上收敛$|x|>R$处发散；在$x=R$处需要判断
3. 收敛半径求法：$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}$或者$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n},R=\frac{1}{\rho }$，一个是根式判别法，一个是比式判别法。
4. 注意求收敛区间，如果是$x-x_0$的形式，则要当做$x$算出以后,再换一下。
5. 求收敛域必须把两端的带进去看一下是不是收敛

幂级数一致收敛

1. 若幂级数收敛半径为$R$,则在$(-R,R)$上任意闭区间一致收敛。设闭区间边界是$\bar{x}$,在$\bar{x}$上绝对收敛，然后用优级数判别法
2. 若幂级数收敛半径为$R$,且在$x=R$处收敛，则在$[0,R]$上一致收敛，若在$x=-R$处收敛，则在$[-R,0]$上一致收敛。拆成$\sum a_n{x}^n=\sum a_n{R}^n(\frac{x}{R}{)}^n$,再用阿贝尔判别法

幂级数性质

1. 幂级数的和函数在$(-R,R)$上连续，若幂级数在收敛区间的左端点收敛，则其和函数也在这一端点连续。根据一致收敛的函数列项级数求和与极限可交换可以证明
2. 幂级数逐项求导和逐项求积后收敛区间不变。因为某一点$x_0$处求导以后结过可以写为$\frac{M}{|x_0|}n{r}^n$,根据比试判别法可以知道收敛。如果收敛半径超过$R$，那么当$n$取大一些时候发现求导前的级数收敛半径也超过$R$
3. 幂级数和函数导数等于逐项求导，和函数的积分等于逐项求积，可以用来计算每一项系数带$n$的和函数

泰勒级数

1. $f(x)=f(x_0)+f^{(1)}(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{f}^{(2)}(x_0)(x-x_0{)}^2+....$
2. 积分型余项：$R_n(x)=\frac{1}{n!}{\int }_0^x{f}^{(n+1)}(t)(x-t{)}^{n}dt$，拉格朗日余项：$R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(\epsilon )x^{n+1}$，柯西型余项：$R_n=\frac{1}{n!}{f}^{(n+1)}(\theta x)(1-\theta {)}^n{x}^{n+1}$

初等函数泰勒展开

1. $e^x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+...+\frac{1}{n}{x}^n+...$

2. $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+...$

3. $\cos x=1+\frac{1}{2}{x}^2+...$

4. $\ln x=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...$

5. $(x+1{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha +1)}{2!}{x}^2+...+\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+...$当$\alpha \le -1$,收敛域为$(-1,1)$;$-1<\alpha <0$，收敛域为$(-1,1]$;

   $\alpha >0$，收敛域为$[-1,1]$

6. 一般从已知的通过变量代换，逐项求导求积来求

傅里叶级数

三角函数列

1. $1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,...\sin nx,\cos nx$
2. 正交性：任意不同的函数在$[-\pi ,\pi ]$上的积分是$0$,任意相同的函数积分不是0

傅里叶级数计算

1. 以$2\pi$为周期的

   $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

   $a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$

   $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$

   $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$

2. 以$2l$为周期的

   $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$

   $a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx$

   $a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx$

   $b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$

3. 计算技巧

   具体计算时如果$f(x)$里有$x$的，要用分部积分，把$\cos nxdx$先换掉

   如果有$\sin x$的，要用和差化积

   可以利用函数图像的奇偶性，偶函数$b_n=0$,奇函数$a_n=0$

   偶函数可以用$a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx$算

4. 收敛定理：$f$是以$2\pi$为周期的连续函数，且在$[-\pi ,\pi ]$上按段光滑，则$f$的傅里叶级数收敛于$f$.

5. 光滑：导函数连续。按段光滑：导函数只有有限个第一类间断点，且左右极限都存在

6. 只有$[0.\pi ]$上的函数式，要根据要求进行奇延拓和偶延拓

贝塞尔不等式

​ 若函数在$[-\pi ,\pi ]$上可积，则$\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)\le \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^2(x)dx$

多元函数的极限和连续

二元函数的极限

1. $f$是二元函数，$(x_0,y_0)$是聚点，任给$\epsilon$,总存在正数$\delta$,使得当$P\in \mathring{U}((x_0,y_0),\delta )$时都有$|f(P)-A|<\epsilon$则记为$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$
2. 计算时可以通过不同的路径接近，看极限是否相同，也可以用三角换元
3. 重极限：任何方式趋近极限都相同。累次极限：$x,y$按照一定的顺序趋近
4. 若累次极限不相等，则不存在重极限，若存在重极限，则累次极限存在且相等

二元函数的连续性

1. 对于$P_0\in D$给定的正数$\epsilon$,总存在$\delta$，只要$P\in U(P_0,\delta )$就有$|f(P_0)-f(P)|<\epsilon$,称$f$关于集合$D$连续，等价于$\underset{(x,y)\to (x_0.y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$
2. 复合函数连续性：$u,v$对于$x,y$连续,$u,v$对于$f$连续，则$g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))$也连续

多元函数微分学

可微性

1. 充要条件：满足$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-(f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy)}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0$

2. 充分条件：满足$f_x,f_y$连续，则$f$可微，但是$f$可微不能推出偏导数都连续，只能推出偏导数存在

3. 可微的几何意义：$z=f(x,y)$在$P$点存在不平行$z$轴的切平面

4. 切平面的方程$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0),\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$

偏导数存在性

​ 满足$f_x(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

复合函数微分法

1. 链式法则：画出函数关系图，然后一个一个求偏导。
2. 对于那种等式的证明题或者求值题，一般都是求导数解决的。
3. 对于复杂的函数也可以用符合函数微分法求导

方向导数

1. $l$是点$P_0$发射出的射线，$\rho$是$P_0,P$之间的距离，函数$f$沿着$l$方向的方向导数：$f_l(P_0)=\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{f(P)-f(P_0)}{\rho }$
2. 方向导数和偏导数的关系：如果$f$可微，则在任一方向的方向导数存在，且$f_l(P_0)=f_x(P_0)\cos \alpha +f_y(P_0)\cos \beta +f_x(P_0)\cos \gamma$,可以用来计算方向导数(先计算出偏导数，再计算出角度)

梯度

​ 如果$f(x,y,z)$存在对每一个变量的偏导数，则存在向量$(f_x(P_0),f_y(P_0),f_z(P_0))$称为$f$在$P_0$点的梯度

高阶偏导数

1. 注意$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$是$u$对$x$的导数再对$y$的导数，不是简单的除法关系，一定要小心
2. $\frac{\partial u}{\partial x}$仍然是$x,y$的函数

泰勒公式

$f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+\frac{1}{2}{f}_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0{)}^2+f_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+\frac{1}{2}{f}_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0{)}^2+...$

取极值的条件

1. $f_x(x_0,y_0)=0.f_y(x_0,y_0)=0$，偏导数不存在的点也可能取极值

2. 当$f_{xx}(P_0)>0,(f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2)(P_0)>0$时取极大值

   当$f_{xx}(P_0)<0,(f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2)f(P_0)>0$时取极大值

   当$(f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2)f(P_0)<0$时不取极值，$(f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2)f(P_0)=0$不确定

隐函数定理及其应用

隐函数存在定理（唯一的连续隐函数$y=g(x)$）

1. $F(x,y)$在以$P_0$为内点的区域中连续
2. $F(x_0,y_0)=0$（也称初始条件）
3. 存在连续的偏导数$F_y(x,y)$
4. $F_y(x_0,y_0)\ne 0$

隐函数可微性定理（隐函数存在连续的导函数$f^{\prime }(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$）

1. 满足4条隐函数存在定理
2. 存在连续的$F_x(x,y)$

​ 隐函数求导可以用公式，但是更加直接的方法就是用多元函数求导法，直接整个$F(x,y)$求对$x$的导数

​ 隐函数的反函数就是一个把$x$当作$y$的函数，一个把$y$当作$x$的函数

隐函数组

​ 方程组${\{}_{G(x,y,u,v)=0}^{F(x,y,u,v)=0}$,确定了隐函数组${\{}_{v=g(x,y)}^{u=f(x,y)}$,其雅可比行列式为$\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|$

隐函数组定理（存在唯一的隐函数$u=f(x,y),v=g(x,y)$,且具有连续的一阶偏导数）

1. 若$F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)$连续
2. $F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$初始条件
3. $F,G$具有一阶连续偏导数
4. $J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}\ne 0$

曲线积分

第一型

1. ${\int }_{L}f(x,y,z)ds$，积分的路径是L,物理意义是密度计算质量

   参数式计算：$L：x=x(t),y=y(t)$,

   ${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt$，积分的上下限就是参数方程的t的范围

2. 可能利用对称性计算

3. 尽量用参数表示，遇到不能直接用参数表示的时候，试试对称性，$x^2$化成$\frac{x^2+y^2+z^2}{3}$这种，再利用式子消元

第二型

1. ${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$，积分路径是L，物理意义是计算功

   参数式计算：$L：x=x(t),y=y(t)$,

   ${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_a^{b}P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)dt$

   如果是直接$y=f(x)$也可以直接就换成同一个参数，如果可以的话

重积分

二重积分

1. 计算，分成先x后y或者先y后x，比如$\int dy\int f(x)dx$外面一个积分y是区域最远能取到的值，里面一个积分是任意y,x的上下限，用y表示。如果x的上限或者下限不能用同一个式子表示，可能需要把y分段

2. 格林公式：${\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint Pdx+Qdy$，注意格林公式要求曲线是闭的，即是面的边缘，如果算的时候只要求算某一部分的曲线，那么要自己添上去算出总的再减掉,$P,Q$还是原来的，变的是路径，如果是任意路径，很有可能是0

3. 计算D的面积：$S_D={\iint }_{D}dv=\frac{1}{2}{\oint }_{L}xdy-ydx$

4. 积分路径的无关性四个等价条件：

   i) 对于封闭光滑曲线L,$\oint Pdx+Qdy=0$，

   ii) ${\int }_{L}Pdx+Qdy$与路径无关

   iii)P,Q有如下关系 $du=Pdx+Qdy$

   iv) $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，处处成立

5. 变量替换：$x=x(u,v),y=y(u,v)$，把x,y换到了u,v上,$J(u,v)=\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right|$，因为是dx所以肯定试试$x_u$这样的${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$，注意换了积分区域以后的上下限。

6. 极坐标变量替换：${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}f(r\sin \theta ,r\cos \theta )rd\theta dr$，算的时候还有极点在区域中和不在区域中两种情况，注意角的范围。极点在里面或者在边界是0到$2\pi$，在外面是切线的角度

7. $x=a\sin \theta ,y=b\cos \theta ,J=abr$

三重积分

1. 化为累次积分，就是考虑任意(x,y)，z的范围，就是先积z再积x,y；或者是任意z的x,y的范围,就是先积xy再积z

2. 换元法：$x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)$，$J=\left|\begin{array}{ccc}{x}_u& x_v& x_w\\ y_u& y_v& y_w\\ z_u& z_v& z_w\end{array}\right|,{\iiint }_{V}f(x,y,z)dv={\iiint }_{V^{\prime }}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|dudvdw$

3. 柱面换元法：$x=r\sin \theta ,y=r\cos \theta ,z=z,J=r$

4. 球坐标换元法：$x=r\sin \varphi \cos \theta ,y=r\sin \varphi \sin \theta ,z=r\cos \theta ,J=r^2\sin \varphi$

5. 椭球坐标换元法：$x=ar\sin \varphi \cos \theta ,y=br\sin \varphi \sin \theta ,z=cr\cos \theta ,J=abc{r}^2\sin \varphi$

6. 路线无关性：

   i)$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$

   ii)$du=Pdx+Qdy+Rdz$

   iii)${\int }_{C}Pdx+Qdy+Rdz$，路径无关

   iv)$\oint Pdx+Qdy+Rdz=0$

重积分应用

曲面的面积

1. $z=f(x,y),S={\iint }_D\sqrt{1+f_x(x,y{)}^2+f_y(x,y{)}^2}dxdy$，D是xy平面上的投影
2. $x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),E=x_u^2+y_u^2+z_u^2,F=x_u{x}_v+y_u{y}_v+z_u{z}_v,G=x_v^2+y_v^2+z_v^2,$$S={\iint }_{D^{\prime }}\sqrt{EG-F^2}dudv$

质心

1. $x_c=\frac{{\iiint }_{V}p(x,y,z)dv}{\iiint p(x,y,z)dv}=\frac{{\iiint }_{V}p(x,y,z)dv}{m}$
2. 密度是常数，有$x_c={\frac{1}{V}}_0{\iiint }_{V}xdV$，$V_0$是总体积

转动惯量

1. $J_x={\iiint }_V(y^2+z^2)p(x,y,z)dv$
2. $J_{x}y={\iiint }_V{z}^{2}p(x,y,z)dv$

引力

1. $F_x=k{\iiint }_V\frac{x-x_0)}{r^3}pdV$，算的时候算三个分量

曲面积分

第一型

1. ${\iint }_{s}f(x,y,z)ds={\iint }_{D}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$

2. $x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),{\iint }_{S}f(x,y,z)ds={\iint }_{D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}$

   $E=x_u^2+y_u^2+z_u^2,F=x_u{x}_v+y_u{y}_v+z_u{z}_v,G=x_v^2+y_v^2+z_v^2$

第二型

1. ${\iint }_{S}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$，${\iint }_{S}R(x,y,z)dxdy={\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy$，注意算的时候是有正负的，如果由里向外的向量和正方向夹锐角则是正，否则是负
2. $x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),\iint Pdydz=+{\iint }_{D}P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}dudv$，符合代表的是侧和正方向是不是相同，Qz,x;Px,y互换

幂级数

1. 阿贝尔定理：用来证明超过r的部分全部是发散的

   如果带n的证明：$a_{n}n{x}^n=a_{n}n{x}_0^n(\frac{x}{x_0}{)}^n$证明$n{r}^n$是收敛的，因为可以用根式判别法,而$a_n{x}_0^2$有界，因为是收敛的

2. 如果带有$2^n$这种，放到x的次数里面，写成$(\frac{x}{2}{)}^n$

3. 如果反复带，需要放缩，每代一次都要放缩一次

积分

1. 由于曲线积分就是在边界上积分，所以可以在积分前把边界代入，然后换掉一个未知数，再用斯托克斯或者green公式算，方便很多。边界要带一次的式子，如果是高次的看情况。如果是曲面积分，一般不是一次的式子，就别代了
2. 曲面只能一层一层算，比如球，只能求投影不重合的，如果重合就必须分开算
3. 曲线积分思路：
   1. 代入边界条件，斯托克斯或者green。
   2. 直接green
   3. 参数化算
4. 曲面积分思路：
   1. 看是不是具有对称性，高度对称的话可以换成第一型曲面积分，约掉些什么然后换回来。
   2. 看某一点的侧正负和该点的函数f(x)的正负，是否积分后是0
   3. 看积分区域是不是半球之类的，用高斯公式算
   4. 剩下的部分，把另一个变量换掉，变成二元积分做
5. 三重积分思路：
   1. 正常的先一后二，先积出z再积出xy的二元积分，注意上下限的确定
   2. 用球坐标换元
6. 二重积分思路：
   1. 圆坐标换元,r每一项都要乘过，不要忘记了
   2. 直接先积某一个变量
   3. 换元法，注意雅可比矩阵

傅里叶级数

1. 出现傅里叶系数的时候，注意使用公式:$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$
2. 根据三角函数的正交性，有$\sum _1^n{\int }_{-\pi }^{\pi }(a_n\cos nx+b_n\sin nx{)}^{2}dx=\pi \sum _1^n(a_n^2+b_n^2)$

收敛定理

名称	描述
魏尔斯特拉斯判别法	把$u_n(x)$放缩为$M_n$
柯西判别法（根式判别法）	$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}<1$
达朗贝尔判别法（比式判别法）	$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$
拉贝判别法	$\lim\limits_{n\to\infty}n(
积分判别法	${\int }_1^{\infty }u(n)dn$有界
阿贝尔判别法	$a_n$单调有界，$\sum b_n$收敛
狄利克雷判别法	$a_n$单调趋于0，$\sum b_n$有界

反常积分收敛

1. 首先看有没有瑕点

2. 原式乘上$x^p$，再转化为x的幂次。需要根据x趋于0或者正无穷适当放缩,注意分开处理

3. 收敛性	条件
   瑕点收敛	p<1,幂次>0
   无穷点收敛	p>1,幂次<0

级数收敛

1. 除了上面的判断方法，还有可以把小量泰勒展开，直接看展开后的结果，特别是有ln和e的
2. 带三角的，不是阿贝尔（注意是三角级数有界）就是放缩为1
3. 带$(-1{)}^n$，用莱布尼茨

泰勒展开

1. 遇到问极值，就一定要想到泰勒展开和黑塞矩阵。
2. 泰勒展开是$\frac{1}{n!}(\frac{d}{dx}+\frac{d}{dy}{)}^n(f(x,y)){|}_{P_0}$每一个x,y的幂次是x还是y对应求导的下标，特别的是黑赛矩阵$\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{xy}& f_{yy}\end{array}\right)$
3. 如果$f_{xx}>0,f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2>0$，极大值，$f_{xx}<0,f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2$,极小值

微分方程

1. 如果要求变换方程，比如把$\frac{\partial u^2}{\partial y\partial x}$换成以u,v为变量的，就想成已知u,v表示的，去求$\frac{\partial u^2}{\partial y\partial x}$
2. 求$\frac{\partial f}{\partial x}$的导数，需要把$\frac{\partial f}{\partial x}$当作f来求导，$\frac{\partial f}{\partial x}$和f的变量是相同的