树形DP——没有上司的舞会

题目

Luogu：P1352 https://www.luogu.com.cn/problem/P1352

题目描述
某大学有 $n$ 个职员，编号为 $1...n$。

他们之间有从属关系，也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树，父结点就是子结点的直接上司。

现在有个周年庆宴会，宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数 $r_i$，但是呢，如果某个职员的直接上司来参加舞会了，那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。

所以，请你编程计算，邀请哪些职员可以使快乐指数最大，求最大的快乐指数。

算法分析

每个职员有参加和不参加两种选择。以校长结点为根$root$。
1. 设$f[x][0]$表示从以$x$为根的子树中邀请一部分职员参加，但是$x$不参加，此时的最大快乐值。此时，$x$的儿子结点(也就是$x$的下属)，可以参加，或者不参加。
转移方程为：($y$是$x$的儿子结点)$$f[x][0]=\sum max(f[y][0],f[y][1])$$
2. 设$f[x][1]$表示从以$x$为根的子树中邀请一部分职员参加，并且$x$也参加舞会，此时的最大快乐值。此时，$x$的儿子结点，只能选择不参加。
转移方程为：($y$是$x$的儿子结点)$$f[x][1]=a[x]+\sum f[y][0]$$
3. 目标就非常的明确了，即 $max(f[root][0],f[root][1])$

具体代码见下

Code

#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long 
#define rg register 
using namespace std;
inline int sread()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
	return f*x; 
} 
const int maxn=100000;
int n,cnt;
int h[maxn];
int a[maxn];
struct node{
	int next;
	int to;
	int val;
}edg[10000000];
void add(int u,int v)
{
	++cnt;
	edg[cnt].next=h[u];
	edg[cnt].to=v;
	h[u]=cnt;	
} 
int f[8000][5];
int maxx(int a,int b)
{
	return a>b?a:b;
}
void dfs(int u,int fa)
{
	f[u][0]=0;
	f[u][1]=a[u];
	for(int i=h[u];i;i=edg[i].next)
	{
		int v=edg[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u);
		f[u][0]+=maxx(f[v][0],f[v][1]);
		f[u][1]+=f[v][0];
	}
}
int ans;
int pre[1000000];
int main()
{
	n=sread();
	for(rg int i=1;i<=n;++i)
	{
		a[i]=sread();
	}
	int x,y;
	for(rg int i=1;i<n;++i)
	{
		x=sread();y=sread();
		pre[y]=x;
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	int p;
	for(rg int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(pre[i]==0) p=i;
	}
	dfs(p,0);
	ans=maxx(f[p][1],f[p][0]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

总结与反思

1. 二维树形DP 用第二维度表示某种状态。
2. 开数组要合理 如此题中 $f$ 数组第二维度只有0和1 没必要开那么大。
3. DP要注意分析阶段和目标。
4. 还需要提高码力。

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2021.07.31 再刷

#include
#include
#include
#include
#include
#include 
#define rg register
using namespace std;
typedef long long ll;
int sread()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return f*x; 
}
const int maxn=6010;
int n,cnt;
int h[maxn];
struct node{
	int next;
	int to_boss;
	int val_happy;
}tr[maxn*2];
void add(int u,int v)
{
	++cnt;
	tr[cnt].next=h[u];
	tr[cnt].to_boss=v;
	h[u]=cnt;
}
int pre[maxn];
int f[maxn][2];
void _search(int u,int fa)
{
	f[u][0]=0;//u不参加
	f[u][1]=tr[u].val_happy;
	for(rg int i=h[u];i;i=tr[i].next)
	{
		int v=tr[i].to_boss;
		if(v==fa) continue;
		_search(v,u);
		f[u][0]+=max(f[v][0],f[v][1]);
		f[u][1]+=f[v][0];
	}
}
int main()
{
	n=sread();
	for(rg int i=1;i<=n;++i)	tr[i].val_happy=sread();
	int x=0,y=0;
	for(rg int i=1;i<=n-1;++i)
	{
		x=sread();	y=sread();
		pre[y]=x;
		add(x,y);	add(y,x);
	}
	int p=0;
	for(rg int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(pre[i]==0)	p=i;
	}
	_search(p,0);
	int ans=0;
	ans=max(f[p][0],f[p][1]);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}