【算法-回溯法】N皇后问题

一、问题背景

N皇后问题是由八皇后问题引申而来的。八皇后是一个以国际象棋为背景的问题，国际象棋8*8.

怎么去放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

条件n = 1或n ≥ 4

二、算法介绍

此题解的算法使用的是：回溯法（Backtracking）

回溯法是暴力搜索法里的一种。其核心是通过逐步构建空间，并在构建过程中进行选择、判断和回退，直到找到问题的解或者确定不存在解。

回溯法采用试错的思想，它尝试分步的去解决一个问题。在分步解决问题的过程中，当它通过尝试发现，现有的分步答案不能得到有效的正确的解答的时候，它将取消上一步甚至是上几步的计算，再通过其它的可能的分步解答再次尝试寻找问题的答案。回溯法通常用最简单的递归方法来实现，在反复重复上述的步骤后可能出现两种情况：

• 找到一个可能存在的正确的答案
• 在尝试了所有可能的分步方法后宣告该问题没有答案

回溯法的优点是可以穷尽所有可能的解空间，并找到所有满足条件的解。但同时，由于它遍历了所有可能的解空间，所以在解空间很大的情况下，会产生指数级的时间复杂度，因此效率可能较低。

回溯法的经典应用包括：N皇后问题、组合求和、排列组合、子集、正则表达式匹配等。

三、代码示例

1、C语言版本（ACM算法题目里面经典）

#include 
#define N 8 // N代表棋盘的大小，这里设置为8
int board[N][N]; // 棋盘数组，用于表示每个位置是否放置皇后

// 检查当前位置(row, col)是否可以放置皇后
int isSafe(int row, int col) {
    int i, j;
    // 检查当前列是否有皇后冲突
    for (i = 0; i < row; i++) {
        if (board[i][col] == 1) {
            return 0;
        }
    }
    // 检查当前位置的左上方是否有皇后冲突
    for (i = row, j = col; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
        if (board[i][j] == 1) {
            return 0;
        }
    }
    // 检查当前位置的右上方是否有皇后冲突
    for (i = row, j = col; i >= 0 && j < N; i--, j++) {
        if (board[i][j] == 1) {
            return 0;
        }
    }
    return 1; // 当前位置可以放置皇后
}

// 使用回溯法解决N皇后问题
int solveNQueens(int row) {
    if (row == N) {
        // 打印解
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                printf("%d ", board[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
        printf("\n");
      
        // 只打印一个解的话，可以使用 return 1; 终止程序
        // return 1;
    }

    for (int col = 0; col < N; col++) {
        if (isSafe(row, col)) {
            // 当前位置可以放置皇后
            board[row][col] = 1;
            // 递归调用解决下一行
            solveNQueens(row + 1);
            // 回溯，撤销当前位置的选择
            board[row][col] = 0;
        }
    }

    return 0; // 所有解都已找到
}

int main() {
    solveNQueens(0); // 从第一行开始解决N皇后问题
    return 0;
}

2、JS版本 （主要是思想）

function solveNQueens(n) {
  // 存储结果的数组
  let result = [];

  // 执行回溯算法
  backtrack([], [], [], result, n);

  // 返回结果数组
  return result;
}

// 回溯函数
function backtrack(board, cols, diagonals1, diagonals2, n) {
  // 当前棋盘的大小等于N时，表示已找到一种解法，将其存入结果数组
  if (board.length === n) {
    result.push(board.slice());
    return;
  }

   // 遍历当前行的每一列
  for (let col = 0; col < n; col++) {
    // 当前格子的行索引
    let row = board.length;
    
    // 根据皇后的摆放规则判断当前位置是否可行
    if (
      !cols.includes(col) &&                // 列上无冲突
      !diagonals1.includes(row - col) &&    // 主对角线无冲突
      !diagonals2.includes(row + col)       // 副对角线无冲突
    ) {
      // 将当前位置加入相应的集合中，表示皇后占据了该位置
      board.push(col);
      cols.push(col);
      diagonals1.push(row - col);
      diagonals2.push(row + col);
      
      // 继续递归搜索下一行
      backtrack(board, cols, diagonals1, diagonals2, n);
      
      // 搜索完之后，将当前位置从集合中移除，以便进行下一次搜索
      board.pop();
      cols.pop();
      diagonals1.pop();
      diagonals2.pop();
    }
  }
}

// 通过维护cols、diagonals1和diagonals2三个集合，来判断当前位置是否符合皇后的放置规则。
// 如果找到一种解法，将其存入结果数组中，并继续搜索下一行的解法。
// 在搜索完一条路径之后，需要将当前位置从集合中移除，以便进行下一次搜索。

四、结果

八皇后：12个解

四皇后：2个解

（1，3，0，2）

（2，0，3，1）