2023NOIP A层联测9 长春花

题目大意

给定一个质数$p$，对于每个 0 ≤ x < p 0\leq x

0≤x<p，设$f(x)$表示最小的非负整数$a$，使得存在一个非负整数$b$，满足$(a^2+b^2)\mathrm{mod}p=x$。

求$\max \{f(0),f(1),f(2),\dots ,f(p-1)\}$的值。

$2\le p\le 10^5$，保证$p$为质数。

题解

题意即求一个最小的$mx$，使得对于每个 0 ≤ i < p 0\leq i

0≤i<p，都存在$0\le a\le mx$和 0 ≤ b < p 0\leq b

0≤b<p使得$(a^2+b^2)\mathrm{mod}p=i$。

我们可以试着打暴力，发现当$2\le p\le 10^5$且$p$为质数时，$mx$不超过$31$。所以，我们只需要从$0$到$31$枚举$a$，从$0$到$p-1$枚举$b$，并在$(a^2+b^2)\mathrm{mod}p$的位置上打上标记。当$0$到$p-1$都被打上标记时，当前的$a$即为答案。

时间复杂度为$O(n\cdot mx)$，其中$mx$为答案，$mx\le 31$。

code

#include 
using namespace std;
int p, nd, v[100005];
int main() {
    freopen("A.in", "r", stdin);
    freopen("A.out", "w", stdout);
    scanf("%d", &p);
    nd = p;
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        for (int j = 0; j < p; j++) {
            int tmp = (1ll * i * i + 1ll * j * j) % p;
            if (!v[tmp]) {
                ++v[tmp];
                --nd;
            }
        }
        if (!nd) {
            printf("%d", i);
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}