2016年数学一选择题第一题解答（最快的解法）

(2016年数学一)已知下面的反常积分收敛，求出$a,b$的取值范围：

$${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^a(1+x{)}^b}dx$$

根据比较判别法，当$x\to 0$时，原式和：
$$\frac{1}{x^a}$$

同敛散，而$x\to +\infty$的时候，原式和：

$$\frac{1}{x^{a+b}}$$

同敛散，这是因为：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^a(1+x{)}^b}{x^a}=1$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^a(1+x{)}^b}{x^{a+b}}=(1+\frac{1}{x}{)}^b=1$$

所以这题很简单，只需要保证下面两个式子收敛(任取常数$a>0$)：

$${\int }_0^a\frac{1}{x^{a+b}}\text{和}{\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^a}\text{均收敛}$$

所以：
$$a<1,a+b>1$$

敛散的判断技巧【原创】：
这两个公式非常容易混淆，现场推导也不容易：
$${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}=\{\begin{array}{ll}p>1,& \text{收敛}\\ p\le 1,& \text{发散}\end{array}$$

$${\int }_0^a\frac{1}{x^p}=\{\begin{array}{ll}p<1,& \text{收敛}\\ p\ge 1,& \text{发散}\end{array}$$

提示：记住两点，第一，$p=1$的时候一定是发散，因为对应的函数是$\ln (x)$，第二，无穷的时候，分母越大越收敛，因为分母越大，最终值越小。但是趋近0的时候，p越大，分母越小，整体越大，所以发散。