River Chandler
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电动力学专题研讨：运动电荷之间的相互作用是否满足牛顿第三定律？

  • 电动力学专题研讨：运动电荷之间的相互作用是否满足牛顿第三定律？​​​​​​​
    • 两个稳恒电流元之间的相互作用不一定服从牛顿第三定律
    • 常见的解释是：稳恒电流元是不能孤立存在的，因此不能得出结论

  • 符号约定
    • q_1,q_2,v_1,v_2

两个运动点电荷之间的力

  • 两电荷所受的力

\begin{matrix} F_1=q_1(E_2+\frac{v_1}{c}\times B_2)\\ F_2=q_2(E_1+\frac{v_2}{c}\times B_1) \end{matrix}

  • 电荷在某一时刻所受的力由另一电荷早些时刻的位置速度与加速度有关
    • 其中的推导未免过于复杂，不过思路是明确的
      • 展开点电荷的激发的电场与磁场，取一阶近似
    • 直接给出两电荷所受力 

F_1=\frac{q_1q_2r_{21}}{r^3}-\frac{q_1q_2}{2c^2}(\frac{a_2}{r}+(\frac{a_2\cdot r_{21}}{r^3}-\frac{v_2^2}{r^3}+\frac{3(v_2\cdot r_{21})}{r^5})r_{21})+\frac{q_1q_2}{c^2}v_1\times (v_2\times \frac{r_{21}}{r^3})

F_2=\frac{q_1q_2r_{12}}{r^3}-\frac{q_1q_2}{2c^2}(\frac{a_1}{r}+(\frac{a_1\cdot r_{12}}{r^3}-\frac{v_1^2}{r^3}+\frac{3(v_1\cdot r_{12})}{r^5})r_{12})+\frac{q_1q_2}{c^2}v_2\times (v_1\times \frac{r_{12}}{r^3})

  • 简单得讲：
    • 只有两运动电荷 加速度等大反向，速度大小相同且共线（同向或者正好反向）时两个力才等大反向

电磁场动量的迁移

  • 从经典电动力学的角度上看，这个电磁系统的动量守恒定律

\int_VfdV=-\oint_S ds\cdot \vec{\vec{F}}-\int_V \frac{\partial g}{\partial t}dV

其中两个点电荷的总机械动量随时间变化率：\int_V fdV=\frac{d}{dt}(G_{m_1}+G_{m_2})

电磁场的动量密度矢量：g=\frac{1}{4\pi c}(E\times B)

电磁场的动量流密度张量：\vec{\vec{F}}=\frac{1}{4\pi}[\frac{1}{2}(E^2+B^2)\vec{\vec{I}}-(E_1+E_2)(E_1+E_2)-(B_1+B_2)(B_1+B_2)]

  • 以电荷1为例，在代入上述式后我们可以推测出：

F_1=\frac{d}{dt}[G_{m_1}+\frac{1}{4\pi c}\int E_1\times H_1dV]

  • 我们通过一些微操，十分复杂的微操，可以证明整个电荷体系的动量守恒
    • 也就揭示了为什么相互作用的电流元不满足牛顿第三定律
      • 因为动量场承担了动量的交换功能
    • 同时也说明：
      • 动量守恒是第一位而牛顿第三定律只是在某些情况下的特例
    • 同时也说明：
      • 电子质量的测量不可能区分他的机械质量与电磁质量的

总结

  • 电磁场起到了交换两电荷的动量的中间人的作用，仅考虑两电荷的动量守恒问题是不充分的
    • 电磁场也有动量

参考文献

  • 两个运动电荷之间的相互作用为什么不服从牛顿第三定律 北京师范大学 王雪君
  • Jackson classical electrodynamics 

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