数据结构学习：平衡二叉树和哈夫曼树

数据结构学习：平衡二叉树和哈夫曼树
平衡二叉树：
树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1

结点的平衡因子 = 左子树高 - 右子树高
所以平衡二叉树结点的平衡因子绝对值小于等于1

平衡二叉树的插入
从插入点往回找第一个不平衡结点，调整以该结点为根的子树

最小不平衡子树：
从插入点往回找第一个不平衡结点，以该结点为根的子树
在插入操作中，只要将最小不平衡子树调整为平衡，则其他祖先结点都会恢复平衡

调整最小不平衡子树
目标：
1.恢复平衡
2.保持二叉排序树的特性

调整最小不平衡子树A

LL: 在A的左孩子的左子树中插入导致不平衡
RR: 在A的右孩子的右子树中插入导致不平衡
LR: 在A的左孩子的右子树中插入导致不平衡
RL:在A的右孩子的左子树中插入导致不平衡

1)LL平衡旋转(右单旋转)。
由于在结点A的左孩子(L)的左子树（(L)上插入了新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作。

将A的左孩子B向右上旋转代替A成为根结点，将A结点向右下旋转成为B的右子树的根结点，而B的原右子树则作为A结点的左子树。
Eg:

代码思路：

2）RR平衡旋转（左单旋转)。
由于在结点A的右孩子（R)的右子树®上插入了新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向左的旋转操作。

将A的右孩子向左上旋转代替A成为根结点信将A结点向在下旋转戊为B的左子树的根结点，而B的原左子树则作为A结点的右子树

代码思路：

3)LR平衡旋转（先左后右双旋转）。
由于在A的左孩子(L)的右子树®上插入新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先左旋转后右旋转。

先将A结点的左孩子B的右子树的根结点C向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向右上旋转提升到A结点的位置

4）RL平衡旋转（先右后左双旋转）。
由于在A的右孩子(R）的左子树(L)上插入新结点，A的平衡因子由-1减至-2,导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先右旋转后左旋转。

先将A结点的右孩子B的左子树的根结点C向右上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向左上旋转提升到A结点的位置

哈夫曼树
结点的权：
有某种现实含义的数值
结点的带权路径长度：
从树的根节点到该结点的路径长度（经过的边数）与该结点上权值的乘积
树的带权路径长度：
树中所有叶结点的带权路径长度之和（WPL）

在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度WPL最小的二叉树成为哈夫曼树
也称为最优二叉树

哈夫曼树的构造
给定n个权值分别为w1, w2… wn,的结点,构造哈夫曼树的算法描述如下:
1）将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F.
2）构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。
3) 从F中删除刚才选出的两棵树,同时将新得到的树加入F中。
4)重复步骤2）和3）,直至F中只剩下一棵树为止。
特点：
1）每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根节点的路径长度越大
2）哈夫曼树的结点总数为2n-1
3）哈夫曼树中不存在度为1的结点
4）哈夫曼树不唯一，但WPL必然相同且为最优

固定长度编码：
每个字符用相等长度的二进制位表示
可变长度编码：
允许对不同字符用不等长的二进制位表示

若没有一个编码是另一个编码的前缀，则这样的编码为前缀编码