初阶数据结构-二叉树的概念及堆
二叉树
- 树的概念
- 树的相关概念
- 二叉树的概念
- 堆的概念及结构
-
- 堆的基本功能
- 堆的创建
- 堆的初始化
- 堆的销毁
- 堆的插入（向上调整算法）
- 堆的插入（向下调整算法）
- 删除堆顶的数据
- 返回堆顶的数据
- 判断堆是否为空
- 堆的测试主函数
树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
1.有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
2.除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
3.因此，树是递归定义的。
树的相关概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6；
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点；
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点；
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点；
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6；
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4；
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙；
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
二叉树的概念
从上图可以看出：
- 二叉树不存在度大于2的结点。
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
特殊的二叉树：
- 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。 - 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质
- 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点.
- 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1.
- 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有n0＝n2＋1
- 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1) . (ps：log2(n+1)是log以2
为底，n+1为对数) - 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
于序号为i的结点有：
1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点。
2. 若2i+1
3. 若2i+2
堆的概念及结构
如果有一个关键码的集合K = { k0，k1 ，k2 ，…，kn-1 }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：ki <=k2i+1 且ki <=k2i+2 (ki>=k2i+1 且ki >=k2i+2 ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
1.完全二叉树
2.大堆：树任何一个父亲都大于或等于孩子。
小堆：树任何一个父亲都小于或等于孩子。
堆的基本功能
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
void AdjustDown(int* a, int n, int parent);
//初始化
void HeapInit(HP* php);
//销毁
void HeapDestroy(HP* php);
//插入数据
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
//删除堆顶的数据
void HeapPop(HP* php);
//返回堆顶
HPDataType HeapTop(HP* php);
//判断为空
bool HeapEmpty(HP* php);
//返回大小
int HeapSize(HP* php);
堆的创建
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* a;
int size;
int capacity;
}HP;
堆的初始化
将指针a置空，将数据个数置0，将数据容量置0
void HeapInit(HP* php)
{
assert(php);
php->a = NULL;
php->size = 0;
php->capacity = 0;
}
堆的销毁
将指针a指向的位置释放，再将指针a置空，再将数据容量和数据个数置0
void HeapDestroy(HP* php)
{
assert(php);
free(php->a);
php->a = NULL;
php->capacity = php->size = 0;
}
堆的插入（向上调整算法）
以小堆为例，当孩子child的值比父亲parent值小的时候，进行向上调整。将父亲的位置赋值给孩子，再重新计算新赋值孩子的父亲，直到完成小堆的构建
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child>0)
{
if (a[child] < a[parent])//小堆
//if (a[child] > a[parent])//大堆
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
/*HPDataType tmp = a[child];
a[child] = a[parent];
a[parent] = tmp;*/
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
if (php->size == php->capacity)
{
int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity = newCapacity;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
堆的插入（向下调整算法）
以小堆为例，当孩子child的值比父亲parent值小的时候，进行向下调整。将孩子的位置赋值给父亲，再重新计算新赋值父亲的孩子，直到完成小堆的构建
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
void AdjustDown(int*a, int n, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child<n)
{
//选出左右孩子中小/大的那个 //>是大堆 <是小堆
if (child+1<n&&a[child + 1] < a[child])
{
++child;
}
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[parent], &a[child]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
删除堆顶的数据
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(php));
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);
php->size--;
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
返回堆顶的数据
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(php));
return php->a[0];
}
判断堆是否为空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
assert(php);
return php->size == 0;
}
堆的测试主函数
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"
int main()
{
HP hp;
HeapInit(&hp);
int a[] = { 7,8,3,5,1,9,5,4 };
for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); ++i)
{
HeapPush(&hp, a[i]);
}
//HeapPop(&hp);
while (!HeapEmpty(&hp))
{
int top = HeapTop(&hp);
printf("%d\n", top);
HeapPop(&hp);
}
return 0;
}
//可以这么玩吗？--可以
//弊端1.先有一个堆,太麻烦 2.空间复杂度+拷贝数据
//void HeapSort(int* a, int n)
//{
// HP hp;
// HeapInit(&hp);
// for (int i = 0; i < n; i++)
// {
// HeapPush(&hp, a[i]);
// }
// int i = 0;
// while (!HeapEmpty(&hp))
// {
// int top = HeapTop(&hp);
// a[i++] = top;
// HeapPop(&hp);
// }
// HeapDestroy(&hp);
//}
//void HeapSort(int* a, int n)
//{
// //升序--建大堆
// //降序--建小堆
//
// //建堆--向上调整建堆
// /*for (int i = 1; i < n; i++)
// {
// AdjustUp(a, i);
// }*/
//
// //建堆--向下调整建堆--O（N）
// for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
// {
// AdjustDown(a, n, i);
// }
//
// //N*logN
// int end = n - 1;
// while(end>0)
// {
// Swap(&a[0], &a[end]);
//
// //再调整，选出次小的数
// AdjustDown(a, end, 0);
// --end;
// }
//}
//
//
//int main()
//{
// int a[] = { 7,8,3,5,1,9,5,4 };
// HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
// return 0;
//}
//void CreateDate()
//{
// //造数据
// int n = 1000;
// srand(time(0));
// const char* file = "data.txt";
// FILE* fin = fopen(file, "w");
// if (fin == NULL)
// {
// perror("fopen error");
// return;
// }
// for (size_t i = 0; i < n; ++i)
// {
// int x = rand() % 1000000;
// fprintf(fin, "%d\n", x);
// }
// fclose(fin);
//}
//
//
//void PrintTopK(int k)
//{
// const char* file = "data.txt";
// FILE* fout = fopen(file, "r");
// if (fout == NULL)
// {
// perror("fopen error");
// return;
// }
// int* kminheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
// if (kminheap == NULL)
// {
// perror("malloc error");
// return;
// }
// for (int i = 0; i < k; i++)
// {
// fscanf(fout, "%d", &kminheap[i]);
// }
// //建小堆
// for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
// {
// AdjustDown(kminheap, k, i);
// }
//
// int val = 0;
// while (!feof(fout))
// {
// fscanf(fout, "%d", &val);
// if (val > kminheap[0])
// {
// kminheap[0] = val;
// AdjustDown(kminheap, k, 0);
// }
// }
// for (int i = 0; i < k; i++)
// {
// printf("%d ", kminheap[i]);
// }
// printf("\n");
//
//}
//
//
//int main()
//{
// CreateDate();
// PrintTopK(5);
// return 0;
//}