leetcode 260 137 只出现一次的数字Ⅲ、Ⅱ 位运算“异或”的巧用（二）

题目260

原题地址

260 .只出现一次的数字 III
给定一个整数数组 nums，其中恰好有两个元素只出现一次，其余所有元素均出现两次。 找出只出现一次的那两个元素。
示例 :
输入: [1,2,1,3,2,5]
输出: [3,5]
注意：
结果输出的顺序并不重要，对于上面的例子， [5, 3] 也是正确答案。
你的算法应该具有线性时间复杂度。你能否仅使用常数空间复杂度来实现？

本题依然可以使用哈希表来得到时间复杂度为O(N)的解法。不过本文主要解释一下位运算解法的难点。

关于异或

基础知识已在只出现一次的数字中讲解，此处不再重复。

如今数组中只出现一次的数字变成了两个，按照上一题的套路，我们将数组中的数字逐一异或会得到什么呢？
假设只出现一次的数字分别为a,b，则最终我们得到的数字为c=a^b。
然而就像我们无法只根据a+b的结果分别求出a,b一样，只是知道a^b也无法知晓a和b本身。
接下来就是题解的巧妙与难理解之处了。

利用a^b把数组元素分为两组

既然a和b都只出现了一次 ,那么一定有：

a!=b
a^b!=0
a^b的结果对应的二进制数字至少有一位为1

到这里你能想到将数组元素分组的依据和目的了吗？

我们的目的是把a和b分到不同的组中，那该如何实现呢？

上个步骤中我们得到了最终数字c（等于a^b）。我们以a=13（二进制1101）,b=7（二进制0111）为例。

      ---   ---
a=    |1| 1 |0| 1   
b=    |0| 1 |1| 1   
--------------------------
a^b=  |1| 0 |1| 0
      ---   ---     //仅当在某一位a和b不相等时，a^b的此位才为1

首先我们找到a^b中任意一个不为0的二进制位。
由异或的性质，也可以观察如上的例子，可以发现当且仅当a和b在某一位不相等时，a^b的此位为1。
利用这个性质，我们可以找到一个数T，令这个数与a或b做位的“与（&）”运算时，可以得到不同的结果。

这个T就是题解中所谓的掩码。我们利用仅含一位1的掩码对数组元素进行分组，可以发现如下规律。

假设T的第x位为1，其他位为0，另其与任意一数m做与运算，则：
当m的第x位为1时，T&m=T;
当m的第x位为0时，T&m=0;

那么,接上例，可以看到a^b（1010）从低数第二位为1，我们令T=0010。对数组中的每一个数nums[i]，若nums[i]&T=0，则将nums[i]分到组A,否则分到组B。
其中a&T=0分到组A；b&T=T分到组B。

可见我们成功的利用位运算将a和b分到了不同的组中。

分完组我们就大功告成了吗？倒也没有，不过接近了。
对于数组中的其它数，我们也应用同样的规则进行分组，其实我们并不关心有多少数会被分配到A，有多少会分配到B，我们需要注意的是：相同的数一定会被分到同一组！！！（数字相同，二进制表示亦相同，第x位的数字自然也就一样了，按规则会被分到同一组）

由于除了a和b其他数字都出现了两次，可知A组除了a，其他任何数字一定都出现了两次，B组同理。
题目由此转变成了上一题，数组中只有一个数字出现了一次，可以应用之前的知识进行求解了。

令数组A中数字逐一异或，最终所得数字一定是a；B组同理。

总结求解步骤及代码

假设只出现了一次的数字为a和b：
1.逐一异或原始数组nums中的元素，得到结果a^b
2.找到a^b中一个为1的二进制位。令数T在该位为1，其余位为0。
3.对数组元素进行分组，若num[i]&T=0分到A,否则分到B。
4.逐一异或A中的数字，得到a；逐一异或B中的数字，得到b，结束。（这一步可以与分组同时进行，详见代码）

class Solution {
public:
    vector<int> singleNumber(vector<int>& nums) {
        int tmp=0;
        for(int i=0;i<nums.size();++i)//逐一异或原数组元素
        {
            tmp^=nums[i];
        }//循环结束tmp即为a^b
        int cmp=1;
        while((cmp&tmp)==0)//从最低位开始找到a^b中不为0的位，并以此作为掩码
        {
            cmp<<=1;
        }
        int n1=0,n2=0;
        for(int i=0;i<nums.size();++i)
        {
            if((nums[i]&cmp)==0)//分组，确定分组后直接进行异或操作
            {
                n1^=nums[i];
            }else{
                n2^=nums[i];
            }
        }
        vector<int> result(2);
        result[0]=n1;
        result[1]=n2;
        return result;
    }
};

题目137

原题地址

137 . 只出现一次的数字 II
给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现了三次。找出那个只出现了一次的元素。
说明：
你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗？
示例 1:
输入: [2,2,3,2]
输出: 3
示例 2:
输入: [0,1,0,1,0,1,99]
输出: 99

关于这道题，精选题解有详细的讲解，相比之下官方题解就显得不明不白了。
在此我只打算对此题解中不好理解的部分展开解释一下，并对其中的位运算提供另一种思路。还请结合着精选题解阅读（也许你直接就看懂了，尴尬）。

思路

---

摘自精选题解：

考虑数字的二进制形式，对于出现三次的数字，各 二进制位 出现的次数都是 3 的倍数。
因此，统计所有数字的各二进制位中 1 的出现次数，并对 3 求余，结果则为只出现一次的数字。

---

请把此思路默念三遍！ 之后的所有代码和操作都是为了以某种形式来实现这个思路。
精选题解中的方法二即是对此比较直观的实现，可以先看方法二再回头理解方法一。

我们想办法记录数组中所有数字每一位的出现次数，并将次数对3取余。由于一共有三种状态，那么对每一位都使用一个包含2个二进制位的数来记录状态，并用两个数two（记录高位）,one（记录低位）来记录这些二进制。
以数组[3,5,7,11]为例

two,one是什么，图示：

将two,one的对应位拼接成一个2位的二进制数，这个数就表示了此位的出现次数模3的结果，可见对于拼接而成的每个二进制数，随着此位出现次数的增加会以00→01→10→00→…的顺序循环。

这里使用位运算的目的是，找到一种方法，使所有数位的计数能在同时按照此规律进行循环。也就是说，每当遍历到一个新的元素nums[i]时，我们要想办法同时计算出新的two,one的每一位（不要求同时的话就是精选题解的方法二）。

求解

精选题解中似乎是用了数字电路的知识化简出了最终的计算公式。数学语言的好处是清晰精炼，可惜就是不太容易看懂……

数电的知识不熟，去学习估计也要不少时间。不过看着状态位只有两位，状态总数比较少，这里我们尝试按自己的思路推导出two,one的计算方法。
由于逢3取模，每一位two,one的组合其实只有三种可能

two	one
0	0
0	1
1	0

如果nums[i]的某一位为0，则two,one均保持不变。
如果nums[i]的某一位为1，则该位的two,one有以下几种情况：

two的该位为1，说明此时two,one的状态为10,按照上述的状态循环，下一个状态应为00，即需要对two,one的此位进行置0操作。

two的该位为0，则同二进制加法的规则相同，此时若one和nums[i]的此位同时为1，则one需要置0，并向two进1

依据以上情况，我们可以总结出求解one,two的方法：

1、找到two和nums[i]同时为1的位，a=two&nums[i],用来最后将one和two的这些位 置0
2、找到one和nums[i]同时为1的位，b=one&nums[i],这些位会向two进1，由于此时two一定为0,所以将two置1即可
3、one先按照二进制加法的规则计算即可，1+1=0；0+1=1；1+0=1；0+0=0，这一步恰好可以由one^nums[i]完成
4、利用步骤1的结果，将one和two中对应的位 置0，此步可以通过one=one&(~a)来完成，two同理

可能的化简:
one=(one^nums[i])&[~(two&nums[i])]=?
two=[two^(one&nums[i])]&[~(two&nums[i])]=?
尝试化简，但是不会化简到精选题解的答案……不知道从根本上两种位操作是否有区别

按照题意，所有其它数均出现3次，也就是说其他数字引入的次数最终一定在上述规则的运作下转变到00的状态，而只出现了一次的数字会使状态转至01
观察可以发现，当遍历完整个数组时，two一定为0，而one则恰好为只出现了一次的数字。

至此，代码便水到渠成了。

代码

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        int one=0,two=0;
        for(int i=0;i<nums.size();++i)
        {
            int a=(two&nums[i]);//需要最后置0的位
            int b=(one&nums[i]);//需要向two进1的位
            one^=nums[i];//one按照二进制加法规则进行计算
            two^=b;//two接受one的进位，由于状态中有进位时two一定为0，two|=b或者two^=b均可
            one&=(~a);//one的对应位置0
            two&=(~a);//two的对应位置0
        }
        return one;
    }
};