LeetCode刷题复盘笔记—一文搞懂动态规划之188. 买卖股票的最佳时机 IV问题（动态规划系列第二十三篇）
今日主要总结一下动态规划的一道题目，188. 买卖股票的最佳时机 IV
题目：188. 买卖股票的最佳时机 IV
Leetcode题目地址
题目描述：
给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
提示：
0 <= k <= 100
0 <= prices.length <= 1000
0 <= prices[i] <= 1000
本题重难点
这道题目可以说是动态规划：一文搞懂动态规划之123. 买卖股票的最佳时机 III问题的进阶版，这里要求至多有k次交易。
动规五部曲，分析如下：
-
确定dp数组以及下标的含义
在一文搞懂动态规划之123. 买卖股票的最佳时机 III问题中，我是定义了一个二维dp数组，本题其实依然可以用一个二维dp数组。
使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
j的状态表示为：
0 表示不操作
1 第一次买入
2 第一次卖出
3 第二次买入
4 第二次卖出
…
大家应该发现规律了吧 ，除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。
题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。
所以二维dp数组的C++定义为：
vectordp(prices.size(), vector(2 * k + 1, 0)); -
确定递推公式
还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：
操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可以类比剩下的状态，代码如下：
for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
本题和一文搞懂动态规划之123. 买卖股票的最佳时机 III问题最大的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态。
- dp数组如何初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
首先卖出的操作一定是收获利润，整个股票买卖最差情况也就是没有盈利即全程无操作现金为0，
从递推公式中可以看出每次是取最大值，那么既然是收获利润如果比0还小了就没有必要收获这个利润了。
所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？
不用管第几次，现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。
第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
所以同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]
代码如下：
for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
dp[0][j] = -prices[0];
}
在初始化的地方同样要类比j为偶数是卖、奇数是买的状态。
-
确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。 -
举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。
最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。
C++代码
class Solution {
public:
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
vector<vector<int>>dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));
for(int i = 1; i < 2 * k; i += 2) dp[0][i] = - prices[0];
for(int i = 1; i < prices.size(); i++){
for(int j = 0; j < 2 * k; j += 2){
dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
}
return dp[prices.size() - 1][2 * k];
}
};
当然有的解法是定义一个三维数组dp[i][j][k]，第i天，第j次买卖，k表示买还是卖的状态，从定义上来讲是比较直观。
但三维数组操作起来有些麻烦，直接用二维数组来模拟三维数组的情况代码看起来会清爽一些。
总结
动态规划
英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的
对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
这篇文章主要总结了一些动态规划解决188. 买卖股票的最佳时机 IV问题，依然是使用动规五部曲，做每道动态规划题目这五步都要弄清楚才能更清楚的理解题目！
在买卖股票的最佳时机问题的整个系列题目中使用贪心算法仅仅可以解决某个具体场景的问题，但是并不通用，而动态规划思想解决买卖股票的最佳时机整个系列问题是通用连续递进的，最好掌握一下！
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