【动态规划】123. 买卖股票的最佳时机 III、188. 买卖股票的最佳时机 IV

提示：努力生活，开心、快乐的一天

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123. 买卖股票的最佳时机 III

题目链接：123. 买卖股票的最佳时机 III

解题思路

1. 动规五部曲：

• 确定dp数组以及下标的含义：一天一共就有五个状态，
  0: 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
  1: 第一次持有股票
  2: 第一次不持有股票
  3: 第二次持有股票
  4: 第二次不持有股票
  dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票
• 确定递推公式：
  达到dp[i][1]状态，有两个具体操作
  1、 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
  2、 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
  dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1])
  同理dp[i][2]也有两个操作：
  1、操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
  2、操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
  dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
  同理可推出剩下状态部分：
  dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
  dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
• dp数组如何初始化：
  第0天没有操作，dp[0][0] = 0；
  第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
  第0天做第一次卖出的操作，dp[0][2] = 0；
  第0天第二次买入操作，dp[0][3] = -prices[0];
  第0天第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
• 确定遍历顺序：从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。
• 举例推导dp数组：按照递推公式推导一下做推导，如果发现结果不对，就把dp数组打印出来
  

遇到的问题

1. 很难，每一步都要一步一步梳理

代码实现

动态规划

var maxProfit = function (prices) {
    //0:没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
    //1:第一次持有股票
    //2:第一次不持有股票
    //3:第二次持有股票
    //4:第二次不持有股票
    let len = prices.length
    const dp = new Array(len).fill(0).map(x => new Array(5).fill(0));
    dp[0][1] = -prices[0]
    dp[0][3] = -prices[0]
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0];
        dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])
        dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
        dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
        dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
    }
    return dp[len - 1][4]
};

题目总结

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作
1、 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
2、 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1])
同理dp[i][2]也有两个操作：
1、操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
2、操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

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188. 买卖股票的最佳时机 IV

题目链接：188. 买卖股票的最佳时机 IV

解题思路

1. 动规五部曲：

• 确定dp数组以及下标的含义：二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
  0: 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
  1: 第一次持有股票
  2: 第一次不持有股票
  3: 第二次持有股票
  4: 第二次不持有股票
  。。。
  规律：除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入
• 确定递推公式：
  达到dp[i][1]状态，有两个具体操作
  1、 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
  2、 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
  dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1])
  同理dp[i][2]也有两个操作：
  1、操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
  2、操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
  dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

for (let j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
    dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
    dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}

• dp数组如何初始化：
  第0天没有操作，dp[0][0] = 0；
  第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
  第0天做第一次卖出的操作，dp[0][2] = 0；
  第0天第二次买入操作，dp[0][3] = -prices[0];
  第0天第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
  同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

for (let j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}

• 确定遍历顺序：从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。
• 举例推导dp数组：按照递推公式推导一下做推导，如果发现结果不对，就把dp数组打印出来
  最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。

遇到的问题

1. 买卖次数非定值的时候，最大价值的规律也是有迹可循的

代码实现

动态规划

const maxProfit = (k,prices) => {
    if (prices == null || prices.length < 2 || k == 0) {
        return 0;
    }
    let dp = Array.from(Array(prices.length), () => Array(2*k+1).fill(0));
    for (let j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
        dp[0][j] = 0 - prices[0];
    }
    for(let i = 1; i < prices.length; i++) {
        for (let j = 0; j < 2 * k; j += 2) {
            dp[i][j+1] = Math.max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i]);
            dp[i][j+2] = Math.max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i]);
        }
    }
    return dp[prices.length - 1][2 * k];
};

题目总结

买卖次数非定值的时候，最大价值的规律也是有迹可循的

今日心得

很难，似懂非懂，半知半解的状态