本文送给欠我100元的某小三。
1. Intro
最近华容道很火，可惜曹操去世得早，不然也能蹭个何猷君的热搜。最近同样很火的游戏，还有一个头脑王者，可惜前几天由于未可知的原因被封了。
离开了头脑王者的我，就像高考前遇到车祸的考生。
为了检验自我的智商是否一下跌落到倔强青铜，我坚定地戳开了华容道小程序，准备接受知识的洗礼。
可谁能想到，我第一道题，就遇到了滑铁卢。
棋盘到达图1这个状态之后，我又瞎戳了个三五分钟，仍是无解。
出于程序员的自我修养，我开始考虑，这会不会是小程序的bug？
也就是说，编写小程序的人并不是从棋盘原始状态（图2）出发，按上下左右移动的规则打乱棋盘，而是 瞎几把 随机初始化棋盘？
为了证明我的猜想，我去洗了个头，接着开启了头脑风暴。
2. 随意证明一发
要如何证明图1状态的华容道是无解的？
我的不知道严不严谨的证明是：逆向思维。即证明从图2的原始状态是无法通过上下左右平移到达图1的状态的。
当1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 14这几个数字都各就各位之后，我们只需要关注右下角的2x2的4个方格。
如图3所示，空格以0表示，在这个2x2的方块内，我们从原始状态出发，经过多次平移，11 12 15这三个数字只可能出现如下几种排列方式。因为不论怎么移动，这四个格子都相当于做了顺时针或逆时针的旋转，而不可能出现图1中12和15两两交换的局面。
但是我这个糙证明被不愿意透露姓名的小三同学否定了，原因是11 12 15可以借助其他位置（如10 14 7 8）改变顺序。
为了反驳这位同学的观念，我提出了牛宝宝猜想：即，当除右下角的2x2方格以外的所有数字都归位时，该2x2方格中的数字只能有图3中的几种状态；换言之，如果该2x2方格中出现了其他状态，则1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 14这几个数字的位置必然是打乱的。
然而，由于缺乏强大的理论支撑，证明陷入僵局。
可是，作为图灵的后人，怎么能被这点困难打倒呢？这岂不是告诉世人，我就是倔强青铜，倔强青铜就是我。
为了证明我王者的实力，我打开了万能的谷歌，准备抄抄别人的答案。奇妙的是，关于这个问题竟然只有一些只言片语的解读。最终，经过我的不懈努力，终于让我catch到了一个关键字：逆序数。
3. 从逆序数的角度证明无解性
3.1 逆序数
逆序数是什么？我相信大家和我一样，是懵逼的。
不过我相信，通过我下面的浅显易懂的解读之后，你会在半分钟之内决定关掉这个网页。
逆序数是什么，我相信任何一个修过线性代数，学过行列式的人，都不会记得的。像我就不记得逆序数就是一个排列中所有逆序的总数。
没错，这就是一句废话。我们还是来看一个例子吧。
逆序数计算
在2 7 8 1 3这个排列中，如果标准次序是从小到大的话，那么逆序对有：(2, 7)(2, 8)(2, 1), (2, 3)(7, 8)(7, 1), (7, 3), (8, 1), (8, 3), (1, 3)5。
如果你坚持过了半分钟，到了这，恭喜你，你已经知道了逆序数是啥了。不如再坚持半分钟，来看一下神奇的逆序数定理。
逆序数定理
逆序数定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性会改变。
Q1：什么是排列的奇偶性？
- 逆序数为奇数的排列称为奇排列；
- 逆序数为偶数的排列称为偶排列；
Q2：什么是元素对换？
- 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不变的操作，叫做元素对换；
- 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换；
Q3：定理1证明？
我估计你们也不想看，有兴趣的自己戳链接：证明
3.2 逆序数证明无解性
再贴一下图，我们要证明的是下面这个状态的华容道是无解的。怎么利用逆序数定理来证明呢？
首先，我们把这个棋盘按行拉长成一个队列：
s1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 13 14 12 16
空格用16表示。
显然 ，原始状态的队列为：
s0 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16。
把它们两都看成排列的话，利用我们刚刚学的知识，s1的逆序数为：(15, 13), (15, 14), (15, 12), (13, 12), (14, 12)，共5个。而s0的逆序数为0个。
是时候甩出我们的华容道定理了。
华容道定理第一弹
华容道定理1：按照游戏规则移动方块不会改变排列的逆序数奇偶性。
这是网上很多人提的一个证明思路。
下面我们来证明一下这个定理是错误的。【接受反驳】
证明：
根据逆序数定理，上下平移或左右平移，相当于交换了某个元素和空格元素的顺序，排列奇偶性会发生改变。
比如将图2原始状态中的12向下移动到15的右边，则s = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 13 14 15 12，相当于交换了12和16的位置，这时逆序数为7，而原始逆序数为0，奇偶性发生改变。
华容道定理第二弹
华容道定理2：若某状态的排列的逆序数加上空格元素行号和列号的奇偶性 ≠ 原始状态的排列的逆序数加上空格元素行号和列号的奇偶性，则该状态是无解的。
一句话证明：
空格元素和某个元素交换位置，则排列的逆序数的奇偶性就改变一次。交换后空格元素的行号或者列号会加1或减1，即行号，列号之和的奇偶性也改变一次。
要看完整证明，戳：完整证明
还是以刚刚的s = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 13 14 15 12为例，此时该排列的逆序数加上空格元素行号和列号 = 7+3+4 = 14，仍为偶数。
而我们要证明无解的状态（图1）的排列 s' = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 13 14 12 16，其逆序数加上空格元素行号和列号 = 5+4+4 = 13，为奇数，很明显，这是无解的啦。
得证。
Source
- 逆序数和对换
- 知乎-求数字华容道到这一步就不会了，是因为我一开始出题错了吗？无解吗？
- 知乎-数字华容道会出现无解的情况吗?
- 拼图游戏可还原性算法分析