C++算法前缀和的应用：得分最高的最小轮调的原理、源码及测试用例

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频

题目

给你一个数组 nums，我们可以将它按一个非负整数 k 进行轮调，这样可以使数组变为 [nums[k], nums[k + 1], … nums[nums.length - 1], nums[0], nums[1], …, nums[k-1]] 的形式。此后，任何值小于或等于其索引的项都可以记作一分。
例如，数组为 nums = [2,4,1,3,0]，我们按 k = 2 进行轮调后，它将变成 [1,3,0,2,4]。这将记为 3 分，因为 1 > 0 [不计分]、3 > 1 [不计分]、0 <= 2 [计 1 分]、2 <= 3 [计 1 分]，4 <= 4 [计 1 分]。
在所有可能的轮调中，返回我们所能得到的最高分数对应的轮调下标 k 。如果有多个答案，返回满足条件的最小的下标 k 。

示例 1：
输入：nums = [2,3,1,4,0]
输出：3
解释：
下面列出了每个 k 的得分：
k = 0, nums = [2,3,1,4,0], score 2
k = 1, nums = [3,1,4,0,2], score 3
k = 2, nums = [1,4,0,2,3], score 3
k = 3, nums = [4,0,2,3,1], score 4
k = 4, nums = [0,2,3,1,4], score 3
所以我们应当选择 k = 3，得分最高。
示例 2：
输入：nums = [1,3,0,2,4]
输出：0
解释：
nums 无论怎么变化总是有 3 分。
所以我们将选择最小的 k，即 0。
提示：
1 <= nums.length <= 10^5
0 <= nums[i] < nums.length

分析

我可以将结果分为两部分，左边（i < k )得分，右边（i>k)得分。iSub是值减去当前索引,iSub小于等于0，则加分。我们以{1,5,2,4,3}为例。

对于左边

iSub=num[i]-i-(m_c-k)

k取值	左边的值减当前索引	旧数据变化分数变化	新增加的数据分数变化	总分数
0	{}	+0	+0	0
1	{- 3}	+0	+1	1
2	{-2,1}	+0	+0	1
3	{-1,2,- 2}	+0	+1	2
4	{0,3,-1,0}	+0	+1	3

如果遍历所有旧值，那总时间复杂度会达到O(n*n)，超时。实际上我们值需要统计新iSub是1的值，也就是num[i]-i-(m_c-k) 等于1，也就是初始iSum 等于= 1 + m_c-k，这样总时间复杂度是O(1)。

对于右边

iSum = num[i] - i + k

k取值	值减当前索引	旧数据变化分数变化	新增加的数据分数变化	总分数
4	{3}	+0	+0	0
3	{4,2}	+0	+0	0
2	{2,3,1}	+0	+0	0
1	{5,1,2,0}	+1	+0	1
0	{1,4,0,1,-1}	+1	+0	2
k减少1，iSub也减少1

思路

mLeftSubToNum和mRightSubToNum记录初始nums[i]-i 。i>=k，记录在mRightSubToNum;否则记录子mLeftSubToNum。

核心代码

class Solution {
public:
int bestRotation(vector& nums) {
m_c = nums.size();
//mLeftSubToNum和mRightSubToNum记录初始nums[i]-i 。i>=k，记录在mRightSubToNum;否则记录子mLeftSubToNum
unordered_map mLeftSubToNum, mRightSubToNum;
m_vRet.resize(m_c);

	vector vLeft(m_c);//vLeft[i]记录初始i < k的分数
	{
		int iPre = 0;
		for (int k = 1; k < m_c; k++)
		{
			//将k-1从右边移动到左边
			const int iSub = nums[k - 1] - (k - 1);
			if (iSub - (m_c - k) <= 0)
			{//新增加的值得一分
				iPre++;
			}
			iPre -= mLeftSubToNum[1 + m_c - k];
			vLeft[k] = iPre;
			mLeftSubToNum[iSub]++;
		}
	}
	vector vRight(m_c);
	{
		int iPre = 0;
		for (int k = m_c-1; k >= 0 ; k-- )
		{
			const int iSub = nums[k] - k;
			if (iSub + k <= 0)
			{
				iPre++;
			}
			if (mRightSubToNum.count(-k))
			{
				iPre += mRightSubToNum[-k];
			}
			vRight[k] = iPre;
			mRightSubToNum[iSub]++;
		}
	}
	//m_vRet[k]记录的分值

	for (int i = 0 ; i < m_c ;i++ )
	{			
		m_vRet[i] = vLeft[i] + vRight[i];
	}
	//本题一定有答案，所以不用判断非法值
	return std::max_element(m_vRet.begin(), m_vRet.end()) - m_vRet.begin();
}
vector m_vRet;
int m_c;

};

测试用例

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i] == v2[i]);
}
}

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

int main()
{
vector nums = { 1,5,2,4,3 };
Solution sln;
auto res = sln.bestRotation(nums);
Assert(res, 4);
Assert({ 2,2,1,2,3 }, sln.m_vRet);
nums = { 2,3,1,4,0 };
res = sln.bestRotation(nums);
Assert(res, 3);
Assert({ 2,3,3,4,3 },sln.m_vRet );
nums = { 1,3,0,2,4 };
res = sln.bestRotation(nums);
Assert(res, 0);
Assert({ 3,3,3,3,3 }, sln.m_vRet);

//CConsole::Out(res);

}

2023年4月

旧版仅供参考

class Solution {
public:
int bestRotation(vector& nums) {
std::unordered_map mLeftSumNums;
int iScore = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
const int iSub = nums[i] - i;
mLeftSumNums[iSub]++;
if (iSub <= 0)
{
iScore++;
}
}

	std::unordered_map mRightSumNums;
	int iMaxScore = iScore;
	int iMaxIndex = 0;
	for (int i = 1; i < nums.size(); i++)
	{			
		if (nums[i - 1] <= 0 )
		{
			iScore--;
		}
		const int iSub = nums[i - 1] - (i - 1);
		mLeftSumNums[iSub]--;
		iScore -= mLeftSumNums[-(i-1)];

		//右边，部分不再加分
		iScore -= mRightSumNums[-(i-1)];
		const int iRightSub = nums[i-1] - (nums.size() - 1) - i;
		mRightSumNums[iRightSub]++;
		if ( (nums[i-1] - ((int)nums.size() - 1)) <= 0)
		{
			iScore++;
		}
		if (iScore > iMaxScore)
		{
			iMaxScore = iScore;
			iMaxIndex = i;
		}
	}
	return iMaxIndex;
}

};

扩展阅读

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闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
墨家名称的来源：有所得以墨记之。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17