图遍历算法之最低成本路径搜寻算法Fringe Search

注：本文为文献翻译

一、前言

路径搜索（pathfinding）是许多代理应用程序的核心组件，包括商用计算机、机器人设计。但对于许多应用程序，特别是具有严格实时性要求的应用程序，用于路径寻找的算法周期长、CPU资源消耗巨大。因此，需要设计更为高效的路径寻找算法。
本文关注的应用是基于网格的路径搜索算法，代理必须遍历二维空间，从网格的一个点移动到另外一个点消耗一定的成本。路径搜索的目标是：从网格的起始点到目标位置的路径成本最小化。例如，在许多商业计算机游戏中，路径寻找是计算机代理的基本要求。对于实时策略游戏，可能同时有上百个代理进行交互，每个代理都有路径搜索需求。基于网格的路径搜索是应用核心，实时性的要求需要算法进行重新设计。
搜索或其变体算法是单一代理优化搜索算法，算法执行最佳优先搜索策略，算法采用深度优先策略。相比于，采用开放和封闭列表存储方式，构建的搜索树更小，而算法使用的存储线性正比于最短路径长度。然而，两种算法都存在缺点，算法最佳搜索不是免费的，维护列表的排序非常昂贵，算法的低存储解决方案也不是免费提供的，算法会多次访问相同节点。此外算法相比于，更易于实现。
算法因存储需要付出较大代价，尤其是包括圈或重复状态（例如网格）的搜索空间，深度优先搜索机制会访问节点所有不同路径。算法相比于算法具备以下三个优势：

1. 算法无法检测重复状态（例如网格），算法可以通过开放和封闭列表包含的信息避免重复搜索工作；
2. 因为算法重建搜索边界，其迭代加深会导致重复搜索同一状态。算法的开放列表可以维护搜索边界；
3. 算法采用从左到右的搜索，算法按照排序顺序维护搜索边界，以最佳方式扩展节点。
   算法的第一个问题于1994年由Reinefeld和Marsland提出的转换表得到解决。通过固定大小的数据结构（通常用哈希表实现）存储搜索结果。在搜索下一节点之前，算法查询该哈希表来决定是否需要对该节点做进一步搜索。
   算法的第二、三个问题可通过提出Fringe Search算法来代替算法和算法得到解决。算法通过深度优先搜索来构造每次搜索迭代过程中考虑的节点集合。通过跟踪这些节点，可以降低迭代加深的开销。此外，节点不需要事先进行排序存储。在极端情况下，Fringe Search算法既可以与算法以相同的顺序访问节点，又可以扩展成算法采用的节点排序机制。

本文的主要贡献如下：

1. 介绍Fringe Search算法，提出时间/空间平衡的全新搜索算法，以克服算法和算法的不足；
2. 通过实验评估算法、算法以及Fringe Search算法。在评估过程中发现，计算机游戏路径搜索问题中，Fringe Search算法比优化版本的算法节约更多的时间；
3. 比较搜索算法的性能，标准的算法和优化的算法存在巨大的性能差异，性能差的算法的实施可能会导致误导性的实验结论；
4. Fringe Search算法设计成通用的搜索框架，并包含多个重要的单代理搜索算法。

二、Fringe Search搜索算法

标准的单代理表示法：
：从起始节点到当前节点的搜索成本；
：当前节点到目标节点的成本估计；
：从起始点到目标节点的预估搜索总成本；
：从起始点到目标节点的真实搜索成本。
算法的工作原理：
给定起始阈值，算法执行递归的从左到右深度优先搜索，当找到目标点或大于的节点时递归停止。若给定阈值的搜索过程中，未找到目标节点，则增加阈值并进行重新搜索（算法在阈值上迭代）。
与算法相比，算法存在三个方面的效率问题，现一一介绍如下：

2.1 重复状态搜索

当在网格上进行路径搜索时，对于给定节点可能存在多条路径。使用转置表作为访问状态的缓存，可以解决重复状态问题。转置表通常为大的哈希表，从而最小化节点查找的成本。每次节点访问都需查转置表，可能会导致搜索不必要的子树。转置表可用于存储当前节点最小的值，以及搜索该节点产生的备份值。可用于剔除非最佳路径，值可用于表示针对当前迭代阈值，在该节点的搜索是不必要的。在本文中，算法通过转置表实现了内存增强版算法（）。

2.2 迭代

算法每次迭代都重复上次迭代的所有搜索，由于算法基本不使用存储，因此这是必要的。

图1. IDA*算法与Fringe Search示例比较

考虑图1，图中每个分支都标有路径成本（1或2），启发函数是到达树根底部所需的移动次数（每次移动的成本为1）。左列阐述了算法的工作原理：
第一轮搜索：以阈值开始，在算法无法证明可搜索到目标节点之前，在成本限制为4的情况下，两个节点被扩展（黑色圆圈）并访问了另外两个节点（灰色圆圈）。扩展节点同时生成子节点。
第二轮搜索：阈值增加为5时，搜索重新开始，每次迭代都构建深度优先搜索，从起始节点开始，递归直到超过阈值或找到目标节点。
第三轮搜索：增加阈值为6时，搜索重新开始，深度优先搜索遍历所有节点，并找到目标节点。
该算法必须重复前一次迭代的所有搜索以重建搜索的边界。在分支较小的情况，迭代成本会占据算法总执行时间。在此示例中，总共需要扩展17个节点，并访问27个节点。
图1中间列展示了Fringe Search算法的工作原理。
Fringe Search算法原理：在初始时，算法与相同，进行节点扩展和节点访问。保存第一次迭代的两个叶节点（灰色圆圈）作为第二次迭代的起始点。第二次迭代中，保存第二次迭代的三个叶节点（灰色圆圈）作为第三个迭代的初始点。在最后一次迭代中，算法只访问尚未访问的部分。在此示例中，Fringe Search算法共扩展了9个节点，访问了19个节点。由于扩展节点比访问节点更为昂贵，对进行了重大改进。
Fringe Search使用的数据结构为两个列表：一个用于存储当前迭代状态（now），另外一个用于存储下一次迭代的起始点（later）。初始状态，now列表存储根节点，later列表为空。该算法重复执行以下操作，检查now列表头部节点，并判断执行下列哪一个操作：

• 若大于当前阈值，则从now列表中移除头部节点，并放置于later列表的尾部。该节点作为当前迭代访问的节点（灰色圆圈）用于下一次迭代。
• 若小于或等于当前阈值，则考虑now列表头部节点的子节点（扩大头部节点），将子节点添加至now列表的头部，之前头部节点舍弃。

当迭代完成且搜索目标未找到时，则增加搜索阈值。later列表变为now列表，later列表设置为空。
当now列表节点被扩展时，子节点可以以任意顺序添加进now列表。若子节点按照从左到右的顺序插入到列表（最左边的节点始终在now列表的前端），则Fringe Search与采用相同的扩展节点机制。子节点的添加可以以任意顺序开展，从而衍生出不同的算法。

2.3 排序

采用了从左到右的遍历机制，算法则将节点继续排序，通过最佳优先遍历机制进行节点扩展。上述介绍的Fringe Search节点没有进行排序-节点要么在now列表或在later列表。通过多个later列表设计，Fringe Search算法可以改成排序算法。在极端情况下，通过对每个可能是值进行存储，Fringe将与算法拥有相同的节点扩展排序。Fringe Search算法无需对now列表进行排序。这样，算法在没有排序时，可以按照的方式将节点从左到右排序；算法需进行排序时，可以按照算法进行节点最佳排序。当介于两者之间时，通过设计多个存储列表，使用最佳搜索机制而无需算法大量的开销。

2.5 Fringe Search算法的实施

Fringe Search算法的伪代码如下图所示。为了使算法更快的运行，进行了几项增强（也适用于 和 ）：

• now列表和later列表设计为单个双链表，当前节点之前的节点存在于later列表，剩余节点存在now列表。
• 网格中每个节点的预分配列表节点存成一个数组，从而得知节点固定访问时间。
• 标记数组被用于固定时间查找，以确定节点是否在列表中。
• 值和迭代数据缓存用哈希表进行存储。
• 标记数组用于固定时间查找，以确定节点是否被访问并且检查缓存中条目是否有效。

g:  the cost to reach current node
h(node): estimated cost of the cheapest path (node..goal)
f=g+h: estimated cost of the cheapest path (root..node..goal)
cost(node, child): step cost function

init(start, goal)
    fringe F = s # later 列表, s为起始点
    cache C[start] = (0, null)  #缓存哈希表（当前搜索成本，父节点）
    C[n]=null for n not equal to start
    flimit = h(start) #初始阈值
    found = false #初始状态，目标节点未找到

    while (found == false) AND (F not empty)
        fmin = ∞ #网格很多路径可达目标点，故存在成本最低路径
        for n in F, from left to right
            (g, parent) = C[n]
            f = g + h(n)
            if f > flimit
                fmin = min(f, fmin)
                continue
            if n == goal
                found = true
                break
            for child in children(n), from right to left #对节点进行访问排序
                g_child = g + cost(n, child) # cost(n, child)是step cost function
                if C[child] != null
                    (g_cached, parent) = C[child]
                    if g_child >= g_cached
                        continue
                if child in F
                    remove child from F
                insert child in F past n
                C[child] = (g_child, n)
            remove n from F
        flimit = fmin # F不断更新，所以f_min会不断更新

    if reachedgoal == true
        reverse_path(goal)

回溯节点伪代码

reverse_path(node)
    (g, parent) = C[node]
    if parent != null
        reverse_path(parent)
    print node

参考文献：

[1] Björnsson, Yngvi; Enzenberger, Markus; Holte, Robert C.; Schaeffer, Johnathan. Fringe Search: Beating A* at Pathfinding on Game Maps. Proceedings of the 2005 IEEE Symposium on Computational Intelligence and Games (CIG05). Essex University, Colchester, Essex, UK, 4–6 April, 2005. IEEE 2005；
[2] Fringe Search, Wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Fringe_search.