高等数学

考纲要求：

一、考试方法和考试时间

1、考试方法：闭卷、笔试

2、记分方式：百分制，满分为100分

3、考试时间：120分钟

二、试卷内容比例

函数、极限和连续约20%

一元函数微分学约45%

一元函数积分学约35%

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下面进入考试内容：

                                                                     【第一章20%】

一、函数、极限和连续                                   

        函数的概念与基本特性；数列、函数的极限；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小的概念与阶的比较；函数的连续性和间断点；闭区间上连续函数的性质。

（一）、函数的概念

1、判断函数是否相同时：值域、定义域是否相同。<充分必要条件>

（二）、函数的性质

1、单调性

定义：在区间内任意两点x1

通过导数符号判定递增或递减。

通过函数图像直观看出。

2、奇偶性

      奇函数：f(-x)=-f(x) 关于原点对称    如：sinx、tanx、cotx、arcsinx、arctanx、x^(2n-1)、

      偶函数：f(-x)=f(-x) 关于y轴对称      如：cosx、|x|、x^(2n)

      非奇非偶函数：arccotx、arccosx.

3、周期性

4、有界性 

        极限中x0时，无穷小*有界变量=0

（三）、反函数（将x、y互换位置）

（四）、函数的四则运算和复合运算

        在求函数的表达式时记得要把定义域附上。如f(x)=，x[-1,+]。

        三角函数图像：

y=tanx

y=cotx

反三角函数图像：

反三角函数图像

其中： 非奇非偶函数：arccotx、arccosx.

二、极限

夹逼原理、极限是否存在的条件为左右极限是否相等

有界函数包括sinx、cosx以及所有反三角函数

无穷小的阶：

                      次幂相同：同阶无穷小：即两个函数相除等于常数（当相等时为等价无穷小，即两个函数相除等于1）

                      次幂高：高阶无穷小

                      次幂低：低阶无穷小

无穷小的比较

等价无穷小：

等价无穷小

两个重要极限：

两个重要极限

三、函数的连续性

证明函数连续：1、极限值=函数值

                         2、左连续且右连续

                         3、图像是一条连续且不间断的曲线

函数的间断点：

（第一类间断点）

            可去间断点：极限存在但不等于函数值、极限存在但无定义

            跳跃间断点：左右极限存在但不相等

（第二类间断点）

            无穷间断点（极限等于无穷）、振荡间断点（函数图像振荡）

函数的间断点

        分段函数一般为横坐标等于分段点。

        让分子等于0或让分母无意义的点。

零点定理证明步骤：

        ①.写出原函数（移项：让函数一边等于0）

        ②.若为抽象函数则因为连续所以连续，

        若为已知函数则显然连续

        代入区间端点，令f(a)、f(b)异号

        ③.故由零点定理可知：

        （a，b）,使得f()=0，即原函数（将x替换为），即__________。

零点定理例题

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                                                                    【第二章45%】

（二）导数与微分                                              

        导数概念及求导法则；隐函数与参数方程所确定函数的导数；高阶导数；微分的概念与运算法则。

一、导数的定义

二者在数学上是等价的（注意，函数绝对值=0时不可导）

二、导数的意义

切线方程、法线方程。积=-1

求切线法线方程时特殊情况

三、可导与连续的关系

1、可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等。

2、可导必连续

四、导函数的奇偶性

偶函数的导数为奇函数反之为偶函数

导数公式

反函数的导数等于原函数导数的倒数

常用的高阶导数的公式

①隐函数的导数求导。

②幂指函数求导采用对数求导法。

两种方法求导例题

法二例题：<较难>

法二例题

（三）微分中值定理及导数的应用

        罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性与极值，曲线的凹凸性与拐点。

罗尔定理：条件：<两个端点纸相等，闭区连续开区导>，注意++

罗尔定理例题

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理定义

拉格朗日中值定理例题

洛必达法则（,）

函数的单调性：移项，求导判断单调性。

极值：

导数=0为驻点，可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定为极值点。

步骤：①求导得驻点：令f'(x)=0

          ②将驻点代入二阶导，若>0则极小点为x0反之则是极大值点

          ③将极值点代入原方程得出极值

曲线的凹凸性与拐点

        函数的二阶导>0:凹的

                              <0:凸的

        连续曲线凹与凸的分界点称为拐点

注意，拐点为坐标！

拐点两侧二阶导必然异号。

求拐点步骤：先求二阶导  令其=0，再判断x>0或<0时，y‘’是否异号。

求拐点例题

曲线的渐近线：

1.水平渐近线：x趋近于时，极限值等于一个常数（包括0），则y=b为水平渐近线

2.垂直（铅直、铅垂）渐近线：x趋近于x0时，极限值等于，则x=x0为垂直渐近线<一般情况下让分母为0>

注意：方程中含时，应包含x+和x-两种情况

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（四）不定积分                                                   【第三章35%】

        原函数与不定积分概念；不定积分换元法；不定积分分部积分法。

不定积分的概念

1、函数的定义

                        

< 其中为积分号，x为积分变量，f(x)为被积函数,f(x)dx为被积表达式，C为积分常数 >

2.原函数

（不定积分）'=原函数；         （原函数）'=导数

同一函数的原函数之间相差一个常数。

判断函数是否为同一函数的原函数时：①各自求导，满足F'(x)=G'(x).②作差F(x)-G(x)，结果为一常数.

3、函数的存在定理

f(x)在某区间内连续，则该函数的原函数在该区间内必然存在。

基本积分公式

不定积分基本公式

不定积分的换元积分法

1、第一类换元法（凑微分）

2、第二类换元法（去根号）

特别的：①令x=atant<>

              ②令x=asint<>

              ③令x=asect<>

分部积分法<反对幂三指>

            先移后凑积分，再算乘积差

特殊的：在求不定积分的时候遇到结果为sint等不好化时画之间三角形找出角边的关系求最终结果。

定积分

        定积分的概念和性质；积分变上限函数；牛顿－莱布尼兹公式；定积分的换元积分法和分部积分法；无穷区间上的广义积分；定积分的应用（求平面图形的面积）。

一、定积分的概念

可导——>连续——>可积——>在区间[a,b]有界

        

2、定积分存在定理

①f(x)在[a,b]连续，则存在。

②f(x)在[a,b]有界，且只有有限个间断点，则存在。

3、几何意义

二、定积分的性质

（1）当a=b时，积分为0；

（2）当ab时，上下限交换位置后等于原积分的相反数。

1、=b-a

2、（可加性）

3、        (a

4、（估值定理）设M和m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，则

        m(b-a)M(b-a)    (a

5、（积分中值定理）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点，使

                (ab)

比较两个定积分的大小时(a、b相等)，①作差②分情况讨论，求导判断单调性③代入特殊值如0即可得函数间大小可推出积分间大小。

三、定积分的计算

1、变上限函数的导数：

对函数中所有其他未知数换做上限，并乘以上限的导。

2、边下限函数的导数：

类似于求变上限函数的导数，但是要在前面加上一个负号。

牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本公式）

牛顿-莱布尼茨公式

注意：要注意f(x)在[a,b]上是否有间断点，有无穷间断点时，要按广义积分计算（分段），不然会出错。

3、定积分的换元法

注意：在换元的同时上下限有变量也要换。

对称区间上定积分的性质：

设函数在[-a,a]上的连续函数，则

①当函数f(x)为奇函数时，;                                偶函数*奇函数=奇函数

②当函数f(x)为偶函数时，.    

遇到非奇非偶函数时就拆开计算。

4、定积分的分部积分法

定积分的分部积分法

广义积分

无穷区间上的广义积分：

广义积分概念（无穷）

存在即收敛，不存在即发散。

结论

无界函数的广义积分（瑕积分）

判断收敛和发散的方法与无穷函数的广义积分方法相同，但标准相反：

结论

在计算函数的敛散性时，要判断是否有间断点，如果有则需要分段计算，在分段计算某积分时，都收敛才算收敛。

定积分的应用

1、计算函数包围的面积。（求积分）

2、计算函数绕某轴旋转围成的物体的体积。

3、计算平面曲线的弧长。

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