数据结构——树基础
本人将树相关知识总结为初、中、高三篇，本文属于树结构的初篇，主要阐述几种经典的树形结构，主要总结树、二叉树、线索二叉树、森林等基础相关知识。
本篇内容包含：树，二叉树，平衡二叉树，二叉排序树，满二叉树，完全二叉树，线索二叉树，森林等基础部分进行总结，有基础的可以直接在目录中选择代码部分观看，关于哈夫曼树，线段，b树，红黑树，最小生成树等在基础部分不进行总结，后面会单独出。
中级篇在：二叉排序树/平衡二叉树/哈夫曼树（主要总结树二叉排序树/平衡二叉树/哈夫曼树等）
目录
1、树的逻辑结构
树的相关术语：
树的几种类型：
1、二叉树
2、满二叉树
3、完全二叉树
4、二叉排序树
5、平衡二叉树
二叉树的性质：
二叉树性质：
满二叉树性质：
完全二叉树性质
2、树的存储结构
树的顺序存储结构
顺序代码
树的链式存储结构
链式代码
3、二叉树遍历及创建
二叉树的遍历
先序遍历 DLR
先序遍历代码
中序遍历LDR
中序遍历代码
后序遍历LRD
后序遍历代码
层次遍历
层次遍历代码
二叉树创建
总结：二叉树遍历整体代码
二叉树相关算法
线索二叉树遍历
树、森林遍历
树、森林、二叉树转换
树和森林的遍历
森林的遍历
首先我们先进行回顾，数据结构第一章提到数据的逻辑结构有线性结构，和非线性结构，如下图：
在此之前已经将线性结构学完，接下来进行非线性结构的学习，首先就是树。
1、树的逻辑结构
树的定义：树:n (n≥0）个结点的有限集合。当n=0时，称为空树;任意一棵非空树满足以下条件:
1)有且仅有一个特定的称为根的结点;
2当n>1时，除根结点之外的其余结点被分成m(m>0）个互不相交的有限集合T, T,, ... ,Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为这个根结点的子树。
树的应用：树，族谱，算法分析等，
树的相关术语：
如下图所示：所有节点都有来自双亲节点的度，除根节点，因此，根节点的定义为：根结点（root）是树的一个组成部分，也叫树根。所有非空的二叉树中，都有且仅有一个根结点。它是同一棵树中除本身外所有结点的祖先，没有父结点。
叶子结点:度为0的结点，也称为终端结点。
分支结点:度不为0的结点，也称为非终端结点。
结点的度:结点所拥有的子树的个数。
树的度:树中各结点度的最大值。
结点所在层数:根结点的层数为1;对其余任何结点，若呆结点在第k层，则其孩子结点在第k+1层。
树的深度:树中所有结点的最大层数，也称高度。
树的几种类型：
1、二叉树
二叉树是另一种树形结构，其特点是每个结点至多只有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点)，并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。除根结点具有2个度外所有结点均只有0或1个度。
2、满二叉树
一棵高度为h，且含有2-1个结点的.二叉树称为满二叉树，即树中的每层都含有最多的结点，满二叉树的叶子结点都集中在二叉树的最下一层，并且除叶子结点之外的每个结点度数均为2。
3、完全二叉树
高度为h、有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应时，称为完全二叉树。
4、二叉排序树
（二叉搜索树、二叉查找树、BST）
若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
没有键值相等的节点。
5、平衡二叉树
平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。
二叉树的性质：
二叉树性质：
1、非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点数加1，即no=n2+l。
2、非空二叉树中，第n层的结点总数不超过2的n-1次方
3、非空二叉树中，深度为h总结点数最多不超过2的h次方-1
满二叉树性质：
可以对满二叉树按层序编号约定编号从根结点（根结点编号为1)起，自上而下，自左向右。这样，每个结点对应一个编号，对于编号为i的结点，若有双亲，则其双亲为⌊2/n⌋,若有左孩子，则左孩子为2n;若有右孩子，则右孩子为2n+ 1。
每行总结点数为2的n-1次方
完全二叉树性质
具有n个(n>0)结点的完全二叉树的高度为「log2(n+1)]或Llog2n]+1。
设高度为h，根据性质关系可以成立以下等式
2、树的存储结构
树的顺序存储结构
实现:按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素。如下图所示
顺序代码
//二叉树的顺序存储
#define MAXSIZE 20
struct SqBiTree
{
Typedef TlemType SqBiTree[MAXSIZE]; //定义数组空间
SqBiTree bt; //定义一个变量记录数量
}这种方式在实际工作中很少会用到，对于删除，添加，寻找孩子，双亲等都不方便并且当分支节点为空过多时，浪费存储空间。更适合与满二叉树和完全二叉树。因此常常采用链式存储方式
树的链式存储结构
由于顺序存储的空间利用率较低，因此二叉树一般都采用链式存储结构，用链表结点来存储二叉树中的每个结点。在二叉树中，结点结构通常包括若干数据域和若干指针域，二叉链表至少包含3个域:数据域data、左指针域Lchild和右指针域Rchild
链式代码
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
typedef struct BiNode {
TelemType data; //数据域
struct BiNode* Lchild, * Rchild //建立左指针和右指针
}BiNode, * BiTree;3、二叉树遍历及创建
二叉树的遍历
我们需要先讲遍历方式，再介绍创建吗，因为二叉树的特性，无论是遍历还是创建等操作，都需要基于先序遍历或中序遍历或后序遍历才能进行，因此可以按照递归的思路进行遍历的运算。思路如下：按照遍历子树的原则常见的遍历顺序有如下几种：DLR,LDR,LRD.DRL,RDL,RLD. 通常考虑优先左子树的方式，因此还剩下如下三种方式即：DLR,LDR,LRD。暂时仅仅给出伪代码，包含层次遍历在后面会将整体遍历代码贴出来，对于非遍历方法暂不讲解。
先序遍历 DLR
先序遍历(PreOrder）的操作过程如下。若二叉树为空，则什么也不做;否则1、访问根结点;
2、先序遍历左子树 3、先序遍历右子树，对应的递归算法如下:
先序遍历代码
void PreOrder(BiTree t) { //先序遍历函数
if(t==NULL) {
return false; //树为空
}
visit(t); //遍历根结点
PreOrder(t->Lchild); //遍历左子树
PreOrder(t->Rchild) //遍历右子树
}中序遍历LDR
中序遍历(InOrder的操作过程如下。若二叉树为空，则什么也不做否则1、中序遍历左子树;
2、访问根结点3、中序遍历右子树。如图所示A左面数值即为根结点的左面，遍历后A右面的数值即在根结点右面
中序遍历代码
void InOrder(BiTree t) { //先序遍历函数
if(t==NULL) {
return false; //树为空
}
InOrder(t->Lchild); //遍历左子树
visit(t); //遍历根结点
InOrder(t->Rchild) //遍历右子树
}后序遍历
后序遍历(PostOrder)的操作过程如下。若二叉树为空，则什么也不做否则1、后序遍历左子树;
2、后序遍历右子树 3、访问根结点。
后序遍历代码
void PostOrder(BiTree t) { //先序遍历函数
if(t==NULL) {
return false; //树为空
}
PostOrder(t->Lchild); //遍历左子树
PostOrder(t->Rchild) //遍历右子树
visit(t); //遍历根结点
}层次遍历
层次遍历借助于队列的思想，①首先将根结点放入队列中 ②判断队列是否空 ③头结点出队④访问出队节点⑤判断左右子树是否为空，根结点入队。
层次遍历代码
#define MAX_SIZE 20
typedef struct BiTree { //二叉链表
int data;
struct BiTree* Rchild, * Lchild;
}BiTree;
typedef struct Quene { //循环队列
BiTree* data[MAX_SIZE];
int front, rear; //定义头尾指针
}Quene;
void LevalOrder(BiTree* T) {
BiTree* p; Quene* q; //定义指针
InitQuene(q); //初始化队列
enQuene(q,p); //根结点入队
while (!QueneEmpty(q)) //队列为空则退出循环
//(此处是要判断子树是否还有孩子)
{
deQuene(q,p); //出队
printf("%d",p->data); //访问节点
if (p->Lchild) { enQuene(q, p->Lchild); } //左孩子入队
if (p->Rchild) { enQuene(q, p->Rchild); } //右孩子入队
}
}二叉树创建
假设按照先序序列输入：A C L O U J O F M
由此可看出，在仅仅给出先序序列情况下，并不能确定唯一的树形结构，只有在确定中序和先序的情况下才能确定唯一的树形结构，那么我们可以在输入时进行一些改变。
假设按照先序序列输入：A C L O U # J O F M 将空位以 # 代替，这样便可以确定唯一的树形结构了。
这里理解了，就可以手撸代码了，代码如下，注意这里的两种创建方式
返回值创建（推荐）
TNode CreatBinaryTree(TNode T){
char ch;
printf("请输入当前结点的值");
scanf("%c",&ch);
getchar();
if (ch=='#') {
T = NULL; //节点为空
}
else {
if (T = (TNode)malloc(sizeof(BiTree))) { //开辟空间并检测是否成功
T->data = ch;
T->Lchild = CreatBinaryTree(T->Lchild);
T->Rchild = CreatBinaryTree(T->Rchild);
//CreatBinaryTree(T->Lchild); //构造左子树
//CreatBinaryTree(T->Rchild); //构造右子树
}
}
注意这里一定要接收递归的返回值，如果不接收，这里并不能对递归外的参数进行更改。
引用/双指针创建
void CreatBinaryTree(TNode &T){
char ch;
printf("请输入当前结点的值");
scanf("%c",&ch);
getchar();
if (ch=='#') {
T = NULL; //节点为空
}
else {
if (T = (TNode)malloc(sizeof(BiTree))) { //开辟空间并检测是否成功
T->data = ch;
/* T->Lchild = CreatBinaryTree(T->Lchild);
T->Rchild = CreatBinaryTree(T->Rchild);*/
CreatBinaryTree(T->Lchild); //构造左子树
CreatBinaryTree(T->Rchild); //构造右子树
}
}
}
这里还是建议用返回值的方式便于理解
总结：二叉树遍历整体代码
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
//二叉树先序遍历
typedef struct BiTree { //链式建立
char data;
struct BiTree* Lchild;
struct BiTree* Rchild; //左右孩子指针
}BiTree,*TNode;
TNode CreatBinaryTree(TNode T){ //创建
char ch;
printf("请输入当前结点的值");
scanf("%c",&ch);
getchar();
if (ch=='#') {
T = NULL; //节点为空
}
else {
if (T = (TNode)malloc(sizeof(BiTree))) { //开辟空间并检测是否成功
T->data = ch;
T->Lchild = CreatBinaryTree(T->Lchild);
T->Rchild =CreatBinaryTree(T->Rchild)
}
}
return T;
}
void PreOrderTraverse(TNode T)//二叉树的先序遍历
{
if (T == NULL)
return;
printf("%c ", T->data);
PreOrderTraverse(T->Lchild);
PreOrderTraverse(T->Rchild);
}
void InOrderTraverse(TNode T)//二叉树的中序遍历
{
if (T == NULL)
return;
InOrderTraverse(T->Lchild);
printf("%c ", T->data);
InOrderTraverse(T->Rchild);
}
void PostOrderTraverse(TNode T)//二叉树的后序遍历
{
if (T == NULL)
return;
PostOrderTraverse(T->Lchild);
PostOrderTraverse(T->Rchild);
printf("%c ", T->data);
}
int main() {
TNode T= (TNode)malloc(sizeof(BiTree));
printf("请输入构建二叉树的序列");
T=CreatBinaryTree(T);//构建二叉树
PreOrderTraverse(T);//先序输出
InOrderTraverse(T);//中序输出
PostOrderTraverse(T);//后序输出
return 0;
}
二叉树相关算法
二叉树深度计算
int Depth(BiTree T){
if (T == NULL) return 0;
else
{
m = Depth(T.Lchild);
n = Depth(T.Rchild);
if (m > n) return (m + 1);
else{
return (n + 1);
}
}
}二叉树结点计算
int NodeCount(BiTree T) {
if (T==NULL) {
return 0;
}
else {
return NodeCount(T->Lchild) +
NodeCount(T->Rchild) + 1;
}
}线索二叉树遍历
当需要找树的前驱后继结点时，仅仅依靠左右孩子指针是完全不够的，左右指针只可以找到孩子结点无法找到双亲，因此我们引出了线索二叉树的概念
如果某个结点的左孩子为空，则将空的左孩子指针域改为指向其前驱;如果某结点的右孩子为空，则将空的右孩子指针域改为指向其后继，因此我们增加两个指针域，ltag和rtag。实际上是标记域
ltag = 0lchild指向该结点的左孩子
ltag = 1lchild指向该结点的前驱
rtag = 0 rchild指向该结点的右孩子
rtag = 1 rchild指向该结点的后继
typedef struct BiTree { //链式建立
char data;
int ltag, rtag; //标记域
struct BiTree* Lchild;
struct BiTree* Rchild; //左右孩子指针
}BiTree, * TNode; 
图片来自于 bilibili 王卓老师
树、森林遍历
之前有对树进行介绍，因此这里将树和森林进行对比：
森林就是m颗不想交的树的集合，简单思考就是把树的根结点去掉就是森林。
树的存储表示法：
双亲表示法：这种存储方式采用一组连续空间来存储每个结点，同时在每个结点中增设一个伪指针，指示其双亲结点在数组中的位置。
孩子表示法：是将每个结点的孩子结点都用单链表链接起来形成一个线性结构，此时n个结点就有n个孩子链表(叶子结点的孩子链表为空表)
这种存储方式寻找子女的操作非常直接，而寻找双亲的操作需要遍历n个结点中孩子链表指针域所指向的n个孩子链表。
孩子兄弟表示法又称二叉树表示法，即以二叉链表作为树的存储结构。孩子兄弟表示法使每个结点包括三部分内容:结点值、左指向结点第一个孩子结点的指针，及右指向结点下一个兄弟结点的指针（沿此域可以找到结点的所有兄弟结点)
树、森林、二叉树转换
树转二叉树：
给定一个树就能够找到与之对应的二叉树，因为二者都可以用二叉链表形式表示。
二叉树转树：
森林转换成二叉树：
步骤①分别将各树转换成二叉树：② 将根相连 ③旋转
二叉树转换成森林：
根据上图将根与最右侧所有线断开，再旋转，再把二叉树转换成树即可。这里不做演示了。
树和森林的遍历
树的遍历
若树不空，则先访问根结点，然后依次先根遍历各棵子树。先根遍历
若树不空，则先依次后根遍历各棵子树，然后访问根结点。后根遍历
若树不空，则自上而下自左至右访问树中每个结点。层次遍历
这里的遍历方式和二叉树基本相同就不过多赘述，这里没有中序遍历是因为树和二叉树不同除左右两结点外，中间有很多结点，主要来研究森林的遍历
森林的遍历
将森林看作由三部分构成: 本质上也是递归的过程，这里也可以进行根的先中后遍历方式
1、森林中第一棵树的根结点;
2．森林中第一棵树的子树森林;
3．森林中其它树构成的森林。
到这里基本对于树的基础部分就结束了，关于二叉搜索，哈夫曼树，红黑树等就不放在这里概括了，本文是本人集合了王道考研，b站懒猫老师，王卓老师的课程进行的归纳总结，如有遗漏欢迎大家指正，谢谢