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高等数学

导数定义

导数和微分的概念

$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ （1）

或者：

$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ （2）

左右导数导数的几何意义和物理意义

函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为：

左导数：$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},(x=x_0+\Delta x)$

右导数：$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数$f(x)$在$x_0$处可微$\iff f(x)$在$x_0$处可导

Th2: 若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: $f^{\prime }(x_0)$存在$\iff f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$

平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
法线方程：$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0),f^{\prime }(x_0)\ne 0$

四则运算法则

设函数$u=u(x)，v=v(x)$在点$x$可导则
(1) $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
$d(u\pm v)=du\pm dv$
(2)$(uv{)}^{\prime }=u{v}^{\prime }+v{u}^{\prime }$
$d(uv)=udv+vdu$
(3) $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{v{u}^{\prime }-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$
$d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$

基本导数与微分表

(1) $y=c$（常数）
$y^{\prime }=0$
$dy=0$

(2) $y=x^{\alpha }$($\alpha$为实数)
$y^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$
$dy=\alpha x^{\alpha -1}dx$

(3) $y=a^x$
$y^{\prime }=a^x\ln a$
$dy=a^x\ln adx$
特例:
$({e^x}^{\prime }=e^x$
$d(e^x)=e^{x}dx$

(4) $y={\log }_{a}x$ $y^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$
$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$
特例:$y=\ln x$
$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
$d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

(5) $y=\sin x$
$y^{\prime }=\cos x$ $d(\sin x)=\cos xdx$

(6) $y=\cos x$
$y^{\prime }=-\sin x$ $d(\cos x)=-\sin xdx$

(7) $y=\tan x$
$y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$
$d(\tan x)={\sec }^{2}xdx$

(8) $y=\cot x$
$y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-{\csc }^{2}x$
$d(\cot x)=-{\csc }^{2}xdx$

(9) $y=\sec x$ $y^{\prime }=\sec x\tan x$

$d(\sec x)=\sec x\tan xdx$
(10) $y=\csc x$ $y^{\prime }=-\csc x\cot x$

$d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$
(11) $y=\arcsin x$

$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
(12) $y=\arccos x$

$y^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$

(13) $y=\arctan x$
$y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$d(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}dx$

(14) $y=\mathrm{arc}\cot x$
$y^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
$d(\mathrm{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+x^2}dx$

(15) $y=shx$
$y^{\prime }=chx$
$d(shx)=chxdx$

(16) $y=chx$
$y^{\prime }=shx$
$d(chx)=shxdx$

复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设$y=f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且$f^{\prime }(x)\ne 0$，则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，并且有$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

(2) 复合函数的运算法则:若 $\mu =\phi (x)$ 在点$x$可导,而$y=f(\mu )$在对应点$\mu$($\mu =\phi (x)$)可导,则复合函数$y=f(\phi (x))$在点$x$可导,且$y^{\prime }=f^{\prime }(\mu )\cdot {\phi }^{\prime }(x)$

(3) 隐函数导数$\frac{dy}{dx}$的求法一般有三种方法：

1)方程两边对$x$求导，要记住$y$是$x$的函数，则$y$的函数是$x$的复合函数.例如$\frac{1}{y}$，$y^2$，$lny$，$e^y$等均是$x$的复合函数.
对$x$求导应按复合函数连锁法则做.

2)公式法.由$F(x,y)=0$知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }(x,y)}{F_y^{\prime }(x,y)}$,其中，$F_x^{\prime }(x,y)$，
$F_y^{\prime }(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数

3)利用微分形式不变性

常用高阶导数公式

（1）$(a^x){}^{(n)}=a^x{\ln }^{n}a(a>0)(e^x){}^{(n)}=e{}^x$

（2）$(\sin kx){}^{(n)}=k^n\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{2})$

（3）$(\cos kx){}^{(n)}=k^n\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{2})$

（4）$(x^m){}^{(n)}=m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{m-n}$

（5）$(\ln x){}^{(n)}=(-1{)}^{(n-1)}\frac{(n-1)!}{x^n}$

（6）莱布尼兹公式：若$u(x),v(x)$均$n$阶可导，则
$(uv{)}^{(n)}=\sum _{i=0}^n{c}_n^i{u}^{(i)}{v}^{(n-i)}$，其中$u^{(0)}=u$，$v^{(0)}=v$

微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)
若函数$f(x)$满足条件：
(1)函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
$f(x)\le f(x_0)$或$f(x)\ge f(x_0)$,

(2) $f(x)$在$x_0$处可导,则有 $f^{\prime }(x_0)=0$

Th2:(罗尔定理)
设函数$f(x)$满足条件：
(1)在闭区间$[a,b]$上连续；
(2)在$(a,b)$内可导；
(3)$f(a)=f(b)$；
则在$(a,b)$内一存在个$\xi$，使 $f^{\prime }(\xi )=0$

Th3: (拉格朗日中值定理)
设函数$f(x)$满足条件：
(1)在$[a,b]$上连续；
(2)在$(a,b)$内可导；
则在$(a,b)$内一存在个$\xi$，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi )$

Th4: (柯西中值定理)
设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件：
(1) 在$[a,b]$上连续；
(2) 在$(a,b)$内可导且$f^{\prime }(x)$，$g^{\prime }(x)$均存在，且$g^{\prime }(x)\ne 0$
则在$(a,b)$内存在一个$\xi$，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

洛必达法则

法则Ⅰ ($\frac{0}{0}$型)
设函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$满足条件：
$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=0,\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=0$;

$f\left(x\right),g\left(x\right)$在$x_0$的邻域内可导，(在$x_0$处可除外)且$g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$;

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$存在(或$\infty$)。

则:
$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$。
法则$I^{\prime }$ ($\frac{0}{0}$型)设函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$满足条件：
$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=0,\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)=0$;

存在一个$X>0$,当$\left|x\right|>X$时,$f\left(x\right),g\left(x\right)$可导,且$g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$;$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$存在(或$\infty$)。

则$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$
法则Ⅱ( $\frac{\infty }{\infty }$ 型) 设函数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 满足条件：
$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\infty ,\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\infty$;
$f\left(x\right),g\left(x\right)$ 在 $x_0$ 的邻域内可导(在$x_0$处可除外)且$g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$;$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 存在(或$\infty$)。
则$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 同理法则$I{I}^{\prime }$ ( $\frac{\infty }{\infty }$ 型)仿法则 KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 3: I'}̲ 可写出。

泰勒公式

设函数$f(x)$在点$x_0$处的某邻域内具有$n+1$阶导数，则对该邻域内异于$x_0$的任意点$x$，在$x_0$与$x$之间至少存在一个$\xi$，使得：
$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$
其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$称为$f(x)$在点$x_0$处的$n$阶泰勒余项。

令$x_0=0$，则$n$阶泰勒公式
$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$……(1)
其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$，$\xi$在0与$x$之间.(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在$x_0=0$处的泰勒公式
(1) $e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{\xi }$

或 $e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)$

(2) $\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{x^n}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{x^n}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o(x^n)$

(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{x^n}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{x^n}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o(x^n)$

(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\frac{(-1{)}^n{x}^{n+1}}{(n+1)(1+\xi {)}^{n+1}}$
或 $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

(5) $(1+x{)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n$
$+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{x}^{n+1}{(1+\xi )}^{m-n-1}$

或$(1+x{)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

函数单调性的判断

Th1: 设函数$f(x)$在$(a,b)$区间内可导，如果对$\forall x\in (a,b)$，都有$f{}^{\prime }(x)>0$（或$f{}^{\prime }(x)<0$），则函数$f(x)$在$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）

Th2: （取极值的必要条件）设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取极值，则$f{}^{\prime }(x_0)=0$。

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数$f(x)$在$x_0$的某一邻域内可微，且$f{}^{\prime }(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续，但$f{}^{\prime }(x_0)$不存在。）
(1)若当$x$经过$x_0$时，$f{}^{\prime }(x)$由“+”变“-”，则$f(x_0)$为极大值；
(2)若当$x$经过$x_0$时，$f{}^{\prime }(x)$由“-”变“+”，则$f(x_0)$为极小值；
(3)若$f{}^{\prime }(x)$经过$x=x_0$的两侧不变号，则$f(x_0)$不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设$f(x)$在点$x_0$处有$f^{\prime \prime }(x)\ne 0$，且$f{}^{\prime }(x_0)=0$，则 当$f^{\prime }{}^{\prime }(x_0)<0$时，$f(x_0)$为极大值；
当$f^{\prime }{}^{\prime }(x_0)>0$时，$f(x_0)$为极小值。
注：如果$f^{\prime }{}^{\prime }(x_0)=0$，此方法失效。

渐近线的求法

(1)水平渐近线
若$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=b$，或$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=b$，则

$y=b$称为函数$y=f(x)$的水平渐近线。

(2)铅直渐近线
若$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\infty$，或$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\infty$，则

$x=x_0$称为$y=f(x)$的铅直渐近线。

(3)斜渐近线
若$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-ax]$，则
$y=ax+b$称为$y=f(x)$的斜渐近线。

函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上$f^{\prime \prime }(x)<0$（或$f^{\prime \prime }(x)>0$），则$f(x)$在I上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理1)若在$x_0$处$f^{\prime \prime }(x)=0$，（或$f^{\prime \prime }(x)$不存在），当$x$变动经过$x_0$时，$f^{\prime \prime }(x)$变号，则$(x_0,f(x_0))$为拐点。

Th3: (拐点的判别定理2)设$f(x)$在$x_0$点的某邻域内有三阶导数，且$f^{\prime \prime }(x)=0$，$f^{\prime \prime \prime }(x)\ne 0$，则$(x_0,f(x_0))$为拐点。

弧微分

$dS=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$

曲率

曲线$y=f(x)$在点$(x,y)$处的曲率$k=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$。
对于参数方程$\{\begin{array}{c}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array},$
$k=\frac{|{\phi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)|}{[{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t){]}^{\frac{3}{2}}}$。

曲率半径

曲线在点$M$处的曲率$k(k\ne 0)$与曲线在点$M$处的曲率半径$\rho$有如下关系：$\rho =\frac{1}{k}$。

线性代数

行列式

行列式按行（列）展开定理

(1) 设$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，则：$a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=\{\begin{array}{l}|A|,i=j\\ 0,i\ne j\end{array}$

或$a_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{2j}+\cdots +a_{ni}{A}_{nj}=\{\begin{array}{l}|A|,i=j\\ 0,i\ne j\end{array}$即 $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=\left|A\right|E,$其中：$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \dots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& \dots & A_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ A_{n1}& A_{n2}& \dots & A_{nn}\end{array}\right)=(A_{ji})={(A_{ij})}^T$

$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ x_1& x_2& \dots & x_n\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right|={\prod }_{1\le j<i\le n}^{}(x_i-x_j)$

(2) 设$A,B$为$n$阶方阵，则$\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|=\left|B\right|\left|A\right|=\left|BA\right|$，但$\left|A\pm B\right|=\left|A\right|\pm \left|B\right|$不一定成立。

(3) $\left|kA\right|=k^n\left|A\right|$,$A$为$n$阶方阵。

(4) 设$A$为$n$阶方阵，$|A^T|=|A|;|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$（若$A$可逆），$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

$n\ge 2$

(5) $\left|\begin{array}{cc}& AO\\ & OB\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}& AC\\ & OB\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}& AO\\ & CB\end{array}\right|=|A||B|$
，$A,B$为方阵，但$\left|\begin{array}{cc}O& A_{m\times m}\\ B_{n\times n}& O\end{array}\right|=({-1)}^{mn}|A||B|$ 。

(6) 范德蒙行列式$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ x_1& x_2& \dots & x_n\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ x_1^{n-1}& x_2^{n1}& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right|={\prod }_{1\le j<i\le n}^{}(x_i-x_j)$

设$A$是$n$阶方阵，${\lambda }_i(i=1,2\cdots ,n)$是$A$的$n$个特征值，则
$|A|={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$

矩阵

矩阵：$m\times n$个数$a_{ij}$排成$m$行$n$列的表格$\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}\\ a_{21}{a}_{22}\cdots a_{2n}\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{a}_{m2}\cdots a_{mn}\end{array}\right]$ 称为矩阵，简记为$A$，或者${\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}$ 。若$m=n$，则称$A$是$n$阶矩阵或$n$阶方阵。

矩阵的线性运算

矩阵的加法

设$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$是两个$m\times n$矩阵，则$m\times n$ 矩阵$C=c_{ij})=a_{ij}+b_{ij}$称为矩阵$A$与$B$的和，记为$A+B=C$ 。

矩阵的数乘

设$A=(a_{ij})$是$m\times n$矩阵，$k$是一个常数，则$m\times n$矩阵$(k{a}_{ij})$称为数$k$与矩阵$A$的数乘，记为$kA$。

矩阵的乘法

设$A=(a_{ij})$是$m\times n$矩阵，$B=(b_{ij})$是$n\times s$矩阵，那么$m\times s$矩阵$C=(c_{ij})$，其中$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$称为$AB$的乘积，记为$C=AB$ 。

${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}$、${\mathbf{A}}^{-1}$、${\mathbf{A}}^{\ast }$三者之间的关系

(1) ${(A^T)}^T=A,{(AB)}^T=B^T{A}^T,{(kA)}^T=k{A}^T,{(A\pm B)}^T=A^T\pm B^T$

(2) ${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A,{\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1},{\left(kA\right)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1},$

但 ${(A\pm B)}^{-1}=A^{-1}\pm B^{-1}$不一定成立。

(3) ${\left(A^{\ast }\right)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A(n\ge 3)$，${\left(AB\right)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast },$ ${\left(kA\right)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }\left(n\ge 2\right)$

但${\left(A\pm B\right)}^{\ast }=A^{\ast }\pm B^{\ast }$不一定成立。

(4) ${(A^{-1})}^T={(A^T)}^{-1},{\left(A^{-1}\right)}^{\ast }={(A{A}^{\ast })}^{-1},{(A^{\ast })}^T={\left(A^T\right)}^{\ast }$

有关**${\mathbf{A}}^{\ast }$的结论

(1) $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

(2) $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}(n\ge 2),(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast },{\left(A^{\ast }\right)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A(n\ge 3)$

(3) 若$A$可逆，则$A^{\ast }=|A|A^{-1},(A^{\ast }{)}^{\ast }=\frac{1}{|A|}A$

(4) 若$A$为$n$阶方阵，则：

$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{l}n,r(A)=n\\ 1,r(A)=n-1\\ 0,r(A)<n-1\end{array}$

有关**${\mathbf{A}}^{-1}$的结论

$A$可逆$\iff AB=E;\iff |A|\ne 0;\iff r(A)=n;$

$\iff A$可以表示为初等矩阵的乘积；$\iff Ax=0$只有零解。

有关矩阵秩的结论**

(1) 秩$r(A)$=行秩=列秩；

(2) $r(A_{m\times n})\le \min (m,n);$

(3) $A\ne 0\Rightarrow r(A)\ge 1$；

(4) $r(A\pm B)\le r(A)+r(B);$

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) $r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le \min (r(A),r(B)),$特别若$AB=O$
则：$r(A)+r(B)\le n$

(7) 若$A^{-1}$存在$\Rightarrow r(AB)=r(B);$ 若$B^{-1}$存在
$\Rightarrow r(AB)=r(A);$

若$r(A_{m\times n})=n\Rightarrow r(AB)=r(B);$ 若$r(A_{m\times s})=n\Rightarrow r(AB)=r\left(A\right)$。

(8) $r(A_{m\times s})=n\iff Ax=0$只有零解

分块求逆公式**

${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$； ${\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$；

${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ -B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\end{array}\right)$； ( O A B O ) − 1 = ( O B − 1