Doolittle分解法（三角分解算法）求解线性方程组（MATLAB实现）
Doolittle分解法（三角分解算法）求解线性方程组（MATLAB实现）
求解线性方程组AX=b, b=(78,75,101 ,35 ,72,91 ,73 ,39 ,76,129) ,其中系数矩阵A如下：
1、三角分解算法
设线性方程组AX=B的系数A矩阵存在三角分解A=LU
可得：LUX=B
三角分解递推公式
使用matlab命令文件进行计算，在matlab中建立命令文件如下：
%创建一个数组存放线性方程组的系数矩阵
a=[50 6 0 0 8 1 4 7 7 1
2 47 3 7 0 6 8 3 9 0
6 9 48 4 6 3 8 8 5 8
4 7 0 49 3 5 6 5 8 1
8 1 1 4 48 1 8 3 1 2
7 4 2 4 5 46 6 7 9 6
4 9 1 8 7 3 43 5 2 2
0 9 6 5 4 8 2 44 2 4
8 4 2 2 3 8 3 6 48 0
4 8 1 6 1 5 5 6 7 49];
[n,n]=size(a);
%使用size函数读取矩阵的维数，因为本问题中是方阵，所以行列数相等
l=eye(n);
%创建一个n维的o矩阵L
u=zeros(n);
%创建一个n维的单位矩阵U
%以下对系数矩阵进行Doolittle分解
for k=[1:n]
%k表示第k行或者第k列
for j=[k:n]
%计算U矩阵的第k行
b=0;
for r=[1:k-1]
%使用for循环计算累加值
b=b+l(k,r)*u(r,j);
end
u(k,j)=a(k,j)-b;
end
for i=[k+1:n]
%计算L矩阵的第k列
b=0;
for r=[1:k-1]
%使用for循环计算累加值
b=b+l(i,r)*u(r,k);
end
l(i,k)=(a(i,k)-b)/u(k,k);
end
end
得到如下结果：
2、使用向前替换法求解Y
令UX=Y
可得LY=B（L为下三角矩阵，B已知）
可以使用向前替代法求解Y
向前替换法递推公式：
%通过向前替换法对LY=B求解Y
[n,n]=size(l)
%读取L矩阵的维数
b=[78,75,101 ,35 ,72,91 ,73 ,39 ,76,129].'
%将右端常数存入一个10行1列的数组
y(1,1)=b(1,1)
%显然Y（1，1）直接等于右端常数
for i=[1:n]
%i表示第n行
c=0
for r=[1:i-1]
%使用for循环进行累加
c=c+l(i,r)*y(r,1)
end
y(i,1)=b(i,1)-c
%通过迭代公式得到了Yi的值并存入了数组
end
得到如下结果：
3、回代法求解X
由上可得UX=Y（U为上三角矩阵，Y已知）
可以使用回代法求解X
回代法递推推公式为
%通过回代法对方程组UX=Y求解X
for a=[1:10]
%由于数组不能由较大的大数创建到较小的数，建立一个辅助变量a
i=11-a
%i表示第i行
j=10
c=0
while i得到如下结果
即X为方程组的解