DP优化：WQS二分 或 斜率凸优化 或 带权二分

标题说的三个玩意都差得不是很多。

上论文 : WQS二分

例 ： 在树上选k条路径使得权值和最大。。。

形如这类选k个的问题，一般的做法是在DP中加一维表示已选了几条路径。

但是，毒瘤一点的出题人就会把范围开到10^5，MLE+TLE

这时就要用WQS二分这个小套路了。

既然在DP中加一维不可取，我们只能直接DP。

但是DP出来的结果并不一定是选了k个的。

大佬开始了他的妄想，要是结果刚好是选了k个的那岂不美滋滋？

蒟蒻说，这怎么可能呢？

大佬说，我用我的双手，成就你的梦想。

show time：

原来的Dp数组： F[n] = min { F[i] + something }

定义 H[n] = min { H[i] + something + cost }

我们来看H和F有何区别

H每转移一次就要多付出cost的代价。

转移一次的物理意义（现实意义）就是多选了一个！！！！

既然选的个数多会付出代价，自然H[x]取最值时选的个数就会比F[x]取最值少。

然后可以通过调控cost（二分），进而调控选的个数为K。

蒟蒻说，可是你算的是H(n,K)，我要的是F(n,K)

大佬说，随便画个柿子就推出来了

: F（n,k） = H（n,k）- cost * k

大意：通过引入可控常数控制选的个数，用另一个很好算的方式算出F(n,k)

蒟蒻开始码，3行过后，开始沉思，这个H怎么算啊！

大佬说，斜率优化凸包单调栈啊，再不济CDQ分治平衡树维护凸包都行啊。

蒟蒻打开了百度，数十行（年）后，开始二分。

大佬一声喝住，你没发现这个二分有问题吗？

蒟蒻说，我对二分答案还是很自信的。

大佬说，万一H[x]关于cost变化时没有最值呢？

蒟蒻说，你在说啥？

大佬说，万一H[x]不是一个先降后增的单峰函数呢？

蒟蒻说，你在说啥？

大佬说，所以F[x]应该是一个斜率单调不降的函数。

蒟蒻说，你在说啥？

大佬说，二分边界要小心。

蒟蒻说，噢，大佬真牛，这都想到了。

大佬：。。。。。。

为什么叫DP凸优化呢，因为F[x]斜率单调不降才能用二分代替一维DP。

为什么叫带权二分呢，给物品加上权好控制选的个数。

蒟蒻 : 真是恶心。

 

具体实现时关于可能二分不到点的问题：

https://www.cnblogs.com/CreeperLKF/p/9045491.html

 

[浅谈满足四边形不等式的序列划分问题的答案凸性](https://www.cnblogs.com/Itst/p/12805678.html)