计算几何(一）：点，向量

写在前面

本文基于fxj巨佬的计算几何全家桶，并基于原文进行了自己的一些整理了经验补充，阅读本文前请前往支持巨佬fxj。

前言：

计算几何的使用有一些基本原则，它们能帮助你快速地找到代码中出现的问题并方向明确地解决它们。

1. 精度：计算几何丢精度是必有的事情，问题只在于你能否满足题目的精度要求。为了避免较大的精度误差，应当减少三角函数，除法，根号的使用，同时，根号函数的精度似乎十分健康。当精度不够时，可以选择long double来解决问题，不过代价就是跑得更慢。
2. 简洁： 主要通过减少分类讨论的情况数和合理的模块化实现。

精度问题

由于计算几何常用double类型计算，因此丢精度是必然会出现的。这个问题主要体现在比较运算中。

举个例子，在计算几何中算出一个三角形的面积是2.999，但是我们知道这肯定是存在误差的，因此它实际上应当不是2.99,假设在没有误差时它的面积应是3，那么我们要把这个三角面积比较时，就要忽略这一点小误差。

解决这个问题，就要引入贯穿了整个计算几何的核心内容：存在误差时的比较运算
$eps$是一个极小量，通常在$[10^{-12},10^{-8}]$的范围内，表示精度要求。

$a=b$ $\to$ $abs(a-b)$ $<$ $eps$
$a<b$ $\to$ $a<b$ $-$ $eps$
$a>b$ $\to$ $a>b$ $+$ $eps$

以上比较式的很容易证明:

1. 认为$a=b$时表达式不应成立，同理可得其他两式。
2. 也可通过分情况讨论:认为$a$存在误差,$b$不存在误差，分类讨论$a$偏大偏小的情况。
   注意：这里认为a的误差值不超过$eps$

由于浮点数计算产生的精度误差是普遍存在于计算几何中，因此通过计算集合得出的数进行的比较运算中，必须用上文的格式写出。

最容易出现的一个错误就是在将某数$a$与$0$比较时将式子写成$a>0$而非$a>0+eps$即$a>eps$
范神在部分模板中忽略了这一点，现已更正

点/向量相关：

表示

在计算几何中，点和向量往往是等价的，且经常出现一个变量被同时当作点和向量使用的现象，因此一起表示。

struct V
{
	double x,y;
	V():x(0),y(0){};
	V(double a,double b):x(a),y(b){};	
}dot[maxn];

inline void input(V &a){a.x=read();a.y=read();}

void print(const V &a,int op=1){printf("%.10lf %.10lf",a.x,a.y);putchar(op?10:32);}
//op=endl or space

向量的基本运算：

基本的加、减、乘、除、点积、叉积、模长、中点、垂直向量、向量单位化、三角形面积。

拓展：
高维点积：定义不变，但在投影方面几何意义只对二维和三维空间有效。
高维叉积：叉积在k维下的定义是三行k列的行列式，第一行为各维度的单位向量，二三行为两个点各自在对应维度的坐标。

注意：
(1）严格意义上，向量叉积是一个（更高维，二维向量叉积为三维）的向量，模长为$x_1{y}_2-x_2{y}_1$,方向垂直与纸面，遵循右手定则，这也是叉积可以表示负面积的原因。
(被叉积表示面积的平行四边形是叉积在二维平面内的投影)。
(2)以下模板中的垂直向量并没有考虑方向的问题。

Code

struct V
{
   double x,y;
   V():x(0),y(0){};
   V(double a,double b):x(a),y(b){};	
}//点和向量的存储

inline void input(V &a){a.x=read();a.y=read();}

void print(const V &a,int op=1){printf("%.10lf %.10lf",a.x,a.y);putchar(op?10:32);}
//op=endl or space

inline V operator + (const V &a,const V &b){return (V){a.x+b.x,a.y+b.y};}
inline V operator - (const V &a,const V &b){return (V){a.x-b.x,a.y-b.y};}

inline V operator * (const V &a,const double &x){return (V){a.x*x,b.y*x};}
inline V operator * (const double &x,const V &a){return (V){a.x*x,b.y*x};}
inline V operator / (const V &a,const double &x){return (V){a.x/x,b.y/x};}

inline bool operator == (const V &a,const V &b){return abs(a.x-b.x)<eps && abs(a.y-b.y)<eps;}
inline bool operator != (const V &a,const V &b){return !(a==b);}

inline double operator * (const V &a,const V &b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}
inline double operator ^ (const V &a,const V &b){return a.x*b.y-b.x*a.y;}

inline double len (const V &a,const V &b){return sqrt(a.x*b.x+a.y*b.y);}

inline V mid(const V &a,const V &b){return (V){(a.x+b.x)/2,(a.y+b.y)/2};}中点坐标公式求中点
inline V cui(const V &a){return (V){a.y,-a.x};}//求垂直向量,使用k1*k2=-1的性质
inline V danwei(const V &a){return a/len(a);}//求单位向量

inline double tri_S(const V &a,const V &b,const V &c){return abs((b-a)*(c-a))/2;}//求向量或三点所成三角形面积

inline bool operator < (const V &a,const V &b){return a.x<b.x || (abs(a.x-b.x)<eps && a.y<b.y-eps);}
//这个向量的大小比较是将向量按照x为第一关键字，y为第二关键字，升序排列。
//这个算符会在求凸包中被大量使用，平时倒是没什么用

角度相关：

向量夹角：

用向量点积易得。
这个角的取值范围是$[0,\pi ]$.

inline double angle(const V &a,const V &b){return acos( a*b / len(a) / len(b));}
inline bool dun(const V &a,const V &b,const V &c){return ((b-a)*(c-a))<-eps;}//angle:BAC
inline bool rui(const V &a,const V &b,const V &c){return ((b-a)*(c-a))>eps;}
inline bool zhi(const V &a,const V &b,const V &c){return abs(((b-a)*(c-a)))<eps;}

向量的旋转：

设原向量为$(x,y)$,旋转角度为$\theta$,(注意：θ的正负判断遵循右手定则，即逆时针旋转的角为正角)，
则旋转后的得到向量为$(xcos\theta -ysin\theta ,xsin\theta +ycos\theta )$。

证明：用复数乘法，在复平面内$(x,yi)\cdot (cos\theta ,sin\theta i)$，结合复平面的性质可得$(xcos\theta -ysin\theta ,ixsin\theta +iycos\theta )$，结果同上.

inline V rotate(const V &a,const double t)
{
	double s=sin(t),c=cos(t);
	return (V){a.x*c-a.y*s,a.x*s+a.y*c};	
}