River Chandler

量子力学期末复习--1

量子力学解题技巧--1

基础知识

薛定谔方程

$i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V\Psi$

Ehrenfest 定理

$<v>=\frac{d<x>}{dt}$

$<p>=m\frac{d<x>}{dt}$

$<T>=\frac{p^2}{2m}$

$\frac{d<p>}{dt}=<-\frac{\partial V}{\partial x}>$

不确定性原理： $\sigma_x\sigma_p\geq \frac{\hbar}{2}$
正则对易关系： $[x,p]=i\hbar$
自由粒子：对于自由粒子，分离变量解不代表物理上可实现的态。但其含时薛定谔方程的一般解仍旧是分离变量解的线性组合

一维束缚态性质

波函数的演化

$\frac{d^2\psi}{dt}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V_0)\psi=0$

$\Psi_n(x,t)=\psi_n(x)exp(-\frac{i}{\hbar}E_nt)$

$\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi_n(x)|^2dx=1$

能级非简并
本征函数为实函数
本征函数正交完备封闭
能量期待

能量高于势场

$\rho^2=\frac{2m}{\hbar^2}(E-V_0)$

$\psi(x)=Acos(\rho x)+Bsin(\rho x)=Cexp(i\rho x)+Dexp(-i\rho x)$

能量低于势场

$K^2=\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-E)$

$\psi(x)=ae^{Kx}+be^{-Kx}=ccosh(Kx)+dsinh(Kx)$

能量等于势场

$\psi(x)=f+gx$

一维无限深势阱

含时问题

$\left\{\begin{matrix} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\hat{H}\Psi(x,t)\\ \Psi(x,0)=f(x) \end{matrix}\right.$

$\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)exp(-\frac{i}{\hbar}E_nt)$

$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}sin(\frac{n\pi x}{a})$

$c_n=\int_{0}^{a}\psi_n(x)f(x)dx$

$<\hat{H}>=\sum_n |c_n|^2E_n$

谐振子的代数解法

$\begin{matrix} a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(\hat{x}+\frac{i}{m\omega}\hat{p})\\ a^+=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(\hat{x}-\frac{i}{m\omega}\hat{p}) \end{matrix}$

$\hat{x}=(a+a^+)\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}$

$\hat{p}=-i(a-a^+)\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}$

$[x,p]=i\hbar,[a,a^+]=1$

$\hat{H}=\hbar\omega(a^+a+\frac{1}{2})$

典型题目

自由粒子波函数（波包）的演化问题

step1: $\phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(x,0)e^{-ikx}dx$
step2: $\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk$

step1: $f(x)=\psi(x,0)$
step2: $c(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)exp(-ikx)dx$
step3: $\psi(x,t)=\sqrt{\frac{\hbar}{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}c(k)exp(i(kx-\frac{\hbar t k^2}{2m}))dk$

含时谐振子问题的一般解

$\left\{\begin{matrix} i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\Psi(x,t)=\hat{H}\Psi(x,t)\\ \Psi(x,0)=f(x) \end{matrix}\right.$

$\psi_n(x)=(\frac{\alpha}{2^nn!\sqrt{\pi}})^{1/2}H_n(\alpha x)exp(-\frac{1}{2}\alpha^2x^2)$

$E_n=\hbar \omega(n+\frac{1}{2})$

$c_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_n(x)f(x)dx$

$\Psi(x,t)=exp(-\frac{i}{2}\omega t)\sum_{n=0}^\infty c_n\psi_n(x)exp(-in\omega t)$

线性势场中的谐振子

哈密顿算符： $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2-qVx$

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