(7.1)标准DH和修正DH雅克比矩阵的差异

一、两种雅克比矩阵的公式及差异说明：

在前面的文章（7）中我们介绍了雅克比矩阵，并给出了标准DH(standard DH)参数下的雅克比矩阵的矢量积公式；这篇文章里我们也给出修正DH(modified DH)参数下的雅克比矩阵公式。对于矢量积方法也有称之为构造法的(这篇文章可以参考下：机器人雅可比矩阵的求法_构造法_飘零过客的博客-CSDN博客_机器人雅克比矩阵计算)，后置法就是标准DH参数下的，前置法就是修正DH参数下的

标准DH参数下的雅克比矩阵公式（后置法）：

这里是齐次矩阵的第三列的前三行，是第四列的前三行；是齐次矩阵第四列的前三行，即都是基坐标系下描述的量。

修正DH参数下的雅克比矩阵公式（前置法）：

各参数含义与上面类似，也都是在基坐标系下描述的量。

注：上面公式中的量都是在基坐标系下描述的。

对于这个如何理解呢？我们从速度雅克比矩阵的物理意义来理解一下，我们知道速度雅克比矩阵是机械臂末端速度在各个关节上的投影。这里我们注意是各个关节，这是理解上面两个公式差异的关键所在。

我们知道标准DH参数的连杆i的坐标系{i}是建立在传动轴上的，而关节则是在驱动轴上的，即对于连杆i而言它的关节是坐标系{i-1}的轴线，即关节轴与连杆坐标系轴差1在连杆坐标系的前侧故连杆坐标系需要减1（i-1）。所以，我们看到标准DH下的雅克比矩阵（关节i）对应的轴是（这个是的第三列的前三行）。这里也有必要注意由于标准DH参数建模的特性其连杆i的坐标系{i}是建立在传动轴上的，所以对于第一个连杆即连杆1，它应当对应的是。而在第一个连杆的驱动轴上它前面只有一个基坐标系{0}，所以是的第三列的前三行。

 同样的对于修正DH参数连杆i的坐标系{i}是建立在驱动轴上的，即关节轴与连杆坐标系轴是重合的故他们的i相同。

 二、实例分析：

下面以一个二连杆为例，分别验算标准DH和修正DH的雅克比矩阵：

                        

 如上图为根据标准DH参数和修正DH参数建立的连杆坐标系。

 1、标准DH方法下的雅克比求解：

 由上面两个齐次矩阵可以得到；上面我们已经说了由于标准DH参数建模的原因，其关节1没有对应的齐次矩阵只能是，而 就是一个单位矩阵。

（这里注意如果{0}不是基坐标系，则z0和p0就是{0}与基坐标系{B}的齐次矩阵的第三列、第四列的前三行了，具体可以参见前面的文章(7)机械臂的速度雅克比矩阵_公子文刀的博客-CSDN博客中的实例1）。

由上面三个齐次矩阵可以得到：

 然后根据标准DH参数的雅克比矩阵求解得：

2、修正DH方法下的雅克比求解：

 

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可以发现与标准DH相比只是i往前移动了一位。

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再根据修正DH参数下的雅克比矩阵计算公式：

可得：

 可以看出，两种方法得到的雅克比矩阵是相同的。