计算机图形学笔记（三）：变换进阶

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三维变换

任意三维物体的旋转

四元数

四元数是简单的超复数。 复数是由实数加上虚数单位 i 组成，其中i^2 = -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、j、k
组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1 , 每个四元数都是
1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi+ cj + dk，其中a、b、c 、d是实数。
对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。

观测变换

Viewing transmation

学习目的：为了弄清楚 三维->二维 经历了那些变换

视图/摄影机变换

什么是视图变换

与拍照类比：

• 物体（motion）
• 角度、位置（view）
• 姿势（projection）
  MVP变换

相机参数（三个向量）：

• Position e
• gaze direction g
• up direction t

举例：把相机放在标准位置（0，0）上

之前在对物体做变换的时候，是先旋转后平移；
而对摄像机做变换，需要先平移后旋转

要求摄影机的旋转很困难（难以通过理解来把它直接地写出来），可以求它的逆变换，即：

• 把（0，0，1）（z轴）旋转到g的位置处
• 把（0，1，0）（y轴）旋转到t的位置处
• 把（1，0，0）（x轴）旋转到g叉乘t的位置处
  由于旋转矩阵是正交矩阵，所以它的逆矩阵就是它的转置

投影变换

正交投影

正交投影不会产生“近大远小”，多用于工程制图


以上变换写成矩阵的形式：

缺陷：

• 在右手系下用远近来标识物体在z轴上的距离，与常识相违背（远的数值小，近的数值大）
• FIY： OpenGL就用了左手系

透视投影

人眼的成像方式，也是图形学中用得最广泛的投影



为了透视投影，需要把距离摄像机远的点集挤压
挤压遵循原则：

• z轴上的点不变
• 被挤压点集的中心点不变

从侧面看，可以看到相似三角形





远平面的中心点也满足不变的条件，将它代入：