【校内模拟】子树问题（组合数学DP）（多项式exp）

简要题意：

请你对满足如下限制的树计数：

1. 根节点深度为$1$，最大节点深度在$L-R$之间（分别回答）
2. 节点的标号满足堆性质
3. 给定正整数集合$\{a\}$，没有任何一个节点的子树大小在集合中。

$n\le 500$

题解：

考虑子树拼接可以得到一个比较好懂的$O(n^3)$组合数学DP。

然而我对这个模型实在是太熟悉了，于是考场上想都没想直接去写多项式exp。

完全忘记这是CSP-S模拟，怎么可能出正解是多项式exp的东西

没关系，我可以来加强一下出成省选模拟

首先并不好直接计算深度恰好为$d$的方案数，考虑计算深度不超过$d$的方案数。

一个深度不超过$d$的树砍掉根之后是一片森林，其中每一棵树都满足深度不超过$d-1$。

考虑利用这一点来计数，设$f[d][n]$表示深度不超过$d$，大小为$n$的树的方案数，则考虑枚举根的子树个数和每一个子树大小可以得到：

$$f[d+1][n+1]=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k!}\sum _{{\sum }_{i=1}^k{b}_i=n}\frac{n!}{{\prod }_{i=1}^n{b}_i!}\prod _{i=1}^{k}f[d][b_i]$$

很容易注意到后面的东西的组合意义是带标号的拼接，考虑转成EGF之后多项式exp，注意到前面除掉的是$n!$，但是是第$n+1$项，直接求导即可，得到：

$$\begin{gathered} F_{d+1}(x{)}^{\prime }=\exp (F_d(x)) \\ {F}_{d+1}(x)=\int \exp (F_d(x))\mathrm{d}x \end{gathered}$$

多项式全家桶即可。

测了一下$n=1000$的数据，只跑了3.5s，$n=500$的数据只要$1s$。

可以加强成毒瘤省选模拟题了

---

代码：

#include
#define ll long long
#define re register
#define cs const
 
cs int Rlen=1<<20|7;
char obuf[Rlen],*oh=obuf;
char ch[30];int tl;
inline void print(int a){
	do{ch[++tl]=a%10,a/=10;}while(a);
	while(tl)*oh++=ch[tl--]^48;
	*oh++=' ';
}

using std::cerr;
using std::cout;

cs int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
inline int mul(int a,int b){ll r=(ll)a*b;return r>=mod?r%mod:r;}
inline int po(int a,int b,int res=1){
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));
	return res;
}
inline void Inc(int &a,int b){a+=b-mod;a+=a>>31&mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b;a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x=1,y=0;return ;}ex_gcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}
inline int Inv(int a){
	int y,x;ex_gcd(mod,a,y,x);
	return x+(x>>31&mod);
}

typedef std::vector<int> Poly;

cs int bit=12,SIZE=1<<bit|1;

int r[SIZE],*w[bit+1],inv[SIZE];
inline void init_NTT(){
	for(int re i=1;i<=bit;++i)w[i]=new int[1<<i-1];
	int wn=po(3,mod-1>>bit);w[bit][0]=1;
	for(int re i=1;i<(1<<bit-1);++i)w[bit][i]=mul(w[bit][i-1],wn);
	for(int re i=bit-1;i;--i)
	for(int re j=0;j<(1<<i-1);++j)w[i][j]=w[i+1][j<<1];
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(int re i=2;i<SIZE;++i){inv[i]=mul(inv[mod%i],mod-mod/i);}
}
inline void NTT(int *A,int len,int typ){
	for(int re i=1;i<len;++i)if(i<r[i])std::swap(A[i],A[r[i]]);
	for(int re i=1,d=1;i<len;i<<=1,++d)
	for(int re j=0;j<len;j+=i<<1){
		if(i<8){
			for(int re k=0;k<i;++k){
				int &t1=A[j+k],&t2=A[i+j+k],t=mul(t2,w[d][k]);
				t2=dec(t1,t),Inc(t1,t);
			}
		}
		else {
			for(int re k=0;k<i;k+=8){
#define work(p)\
{	\
	int &t1=A[j+k+p],&t2=A[i+j+k+p],t=mul(t2,w[d][k+p]); \
	t2=dec(t1,t),Inc(t1,t);	\
}
				work(0);work(1);work(2);work(3);
				work(4);work(5);work(6);work(7);
#undef work 
			}
		}
	}
	if(typ==-1){
		std::reverse(A+1,A+len);
		for(int re i=0,iv=inv[len];i<len;++i)Mul(A[i],iv);
	}
}
inline void NTT(Poly &A,int len,int typ){NTT(&A[0],len,typ);}
inline void init_rev(int l){
	for(int re i=1;i<l;++i)r[i]=r[i>>1]>>1|((i&1)?l>>1:0);
}
inline Poly operator*(Poly a,Poly b){
	int n=a.size(),m=b.size(),deg=n+m-1,l=1;
	while(l<deg)l<<=1;init_rev(l);
	a.resize(l),NTT(a,l,1);
	b.resize(l),NTT(b,l,1);
	for(int re i=0;i<l;++i)Mul(a[i],b[i]);
	NTT(a,l,-1);a.resize(deg);
	return a;
}
inline Poly Inv(cs Poly &a,int lim){
	int n=a.size();Poly c,b(1,Inv(a[0]));
	for(int re l=4;(l>>2)<lim;l<<=1){
		init_rev(l);c.resize(l>>1);
		for(int re i=0;i<(l>>1);++i)c[i]=i<n?a[i]:0;
		c.resize(l),NTT(c,l,1);
		b.resize(l),NTT(b,l,1);
		for(int re i=0;i<l;++i)
		Mul(b[i],dec(2,mul(b[i],c[i])));
		NTT(b,l,-1),b.resize(l>>1);
	}b.resize(lim);return b;
}
inline Poly Deriv(Poly a){
	for(int re i=0;i+1<a.size();++i)a[i]=mul(a[i+1],i+1);
	a.pop_back();return a;
}
inline Poly Integ(Poly a){
	a.push_back(0);
	for(int re i=a.size()-1;i;--i)a[i]=mul(a[i-1],inv[i]);
	a[0]=0;return a;
}
inline Poly Ln(Poly a,int lim){
	a=Integ(Deriv(a)*Inv(a,lim));
	a.resize(lim);return a;
}
inline Poly Exp(cs Poly &a,int lim){
	int n=a.size();Poly c,b(1,1);
	for(int re i=2;(i>>1)<lim;i<<=1){
		c=Ln(b,i);Dec(c[0],1);
		for(int re j=0;j<i;++j)c[j]=dec(j<n?a[j]:0,c[j]);
		b=b*c;b.resize(i);
	}b.resize(lim);return b;
}

cs int N=507;
int n,k;
int a[N];
Poly f[N];

#undef zxyoi 
signed main(){
#ifdef zxyoi
	freopen("subtree.in","r",stdin);
#else
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("subtree.in","r",stdin);freopen("subtree.out","w",stdout);
#endif
#endif
	scanf("%d%d",&n,&k);init_NTT();
	for(int re i=1;i<=k;++i){
		scanf("%d",a+i);
	}int L,R;scanf("%d%d",&L,&R);
	f[1].resize(n+1);f[1][1]=1;f[0].resize(n+1);
	for(int re i=2;i<=R;++i){
		f[i]=Integ(Exp(f[i-1],n+1));f[i].resize(n+1);
		for(int re j=1;j<=k;++j)f[i][a[j]]=0;
	}
	int fac_n=1;for(int re i=1;i<=n;++i)Mul(fac_n,i);
	for(int re i=L;i<=R;++i)print(mul(dec(f[i][n],f[i-1][n]),fac_n));
	fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout);
	return 0;
}