【校内模拟】子树问题（组合数学DP）（多项式exp）
简要题意：
请你对满足如下限制的树计数：
- 根节点深度为 1 1 1，最大节点深度在 L − R L-R L−R之间（分别回答）
- 节点的标号满足堆性质
- 给定正整数集合 { a } \{a\} {a}，没有任何一个节点的子树大小在集合中。
n ≤ 500 n\leq 500 n≤500
题解：
考虑子树拼接可以得到一个比较好懂的 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)组合数学DP。
然而我对这个模型实在是太熟悉了，于是考场上想都没想直接去写多项式exp。
完全忘记这是CSP-S模拟，怎么可能出正解是多项式exp的东西
没关系，我可以来加强一下出成省选模拟
首先并不好直接计算深度恰好为 d d d的方案数，考虑计算深度不超过 d d d的方案数。
一个深度不超过 d d d的树砍掉根之后是一片森林，其中每一棵树都满足深度不超过 d − 1 d-1 d−1。
考虑利用这一点来计数，设 f [ d ] [ n ] f[d][n] f[d][n]表示深度不超过 d d d，大小为 n n n的树的方案数，则考虑枚举根的子树个数和每一个子树大小可以得到：
f [ d + 1 ] [ n + 1 ] = ∑ k = 1 n 1 k ! ∑ ∑ i = 1 k b i = n n ! ∏ i = 1 n b i ! ∏ i = 1 k f [ d ] [ b i ] f[d+1][n+1]=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\sum_{\sum_{i=1}^k b_i=n}\frac{n!}{\prod_{i=1}^n b_i!}\prod_{i=1}^k f[d][b_i] f[d+1][n+1]=k=1∑nk!1∑i=1kbi=n∑∏i=1nbi!n!i=1∏kf[d][bi]
很容易注意到后面的东西的组合意义是带标号的拼接，考虑转成EGF之后多项式exp，注意到前面除掉的是 n ! n! n!，但是是第 n + 1 n+1 n+1项，直接求导即可，得到：
F d + 1 ( x ) ′ = exp ( F d ( x ) ) F d + 1 ( x ) = ∫ exp ( F d ( x ) ) d x F_{d+1}(x)'=\exp(F_d(x))\\F_{d+1}(x)=\int \exp(F_d(x))\mathrm {d}x Fd+1(x)′=exp(Fd(x))Fd+1(x)=∫exp(Fd(x))dx
多项式全家桶即可。
测了一下 n = 1000 n=1000 n=1000的数据，只跑了3.5s， n = 500 n=500 n=500的数据只要 1 s 1s 1s。
可以加强成毒瘤省选模拟题了
代码：
#include