【线代笔记】2.1 Vectors and Linear Equations - 向量与线性方程组

2.1 Vectors and Linear Equations - 向量与线性方程组

线性代数的核心问题是求解线性方程组，例如：

$$\begin{array}{rl}x-2y& =1\\ 3x+2y& =11\end{array}$$

两个方程都各自表示了位于xy平面中的一条线段，若用行的视角来进行表示

行视角上可以看出两条线交于一点（3, 2），这就是该方程组的解

如果用列视角来表示，可将线性方程组表示为向量方程，即

$$x\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 11\end{array}\right]=b$$

列视角将左侧的两个的向量进行线性结合得到右侧的向量

该方程的系数矩阵是一个$2\ast 2$的矩阵A
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 2\end{array}\right]$$

矩阵的行给了我们行的视角，矩阵的列给了我们列的视角。同样的数字、方程，但不一样的图像表达

我们将以上的方程结合为矩阵的问题$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$

$$\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 11\end{array}\right]$$

含有三个及以上未知数的方程的理解也是一样的，在高维的方程中，列图像更易于理解

关键问题： 如何理解 $\mathbf{A}\mathbf{x}$

• Multiplication by rows
  $$\mathbf{A}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}(\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{w}1)\cdot \mathbf{x})\\ (\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{w}2)\cdot \mathbf{x})\\ (\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{w}3)\cdot \mathbf{x})\end{array}\right]$$

• Multiplication by columns
  $$\mathbf{A}\mathbf{x}=x(\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{l}\mathbf{u}\mathbf{m}\mathbf{n}1)+y(\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{l}\mathbf{u}\mathbf{m}\mathbf{n}2)+z(\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{l}\mathbf{u}\mathbf{m}\mathbf{n}3)$$
  Ax as a combination of the columns of A

单位矩阵$\mathbf{I}$：只在「主对角线」上有数字1，任何矩阵乘上单位矩阵都不会改变
$$\mathbf{I}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]alwaysyieldsthemultiplication\mathbf{I}\mathbf{x}=\mathbf{x}$$
矩阵的标记：
$$A=\left[\begin{array}{ll}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}A(1,1)& A(1,2)\\ A(2,1)& A(2,2)\end{array}\right]$$

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总结：本节提供了线性方程组的两种观察角度，以及对应的意义和计算方式；单位矩阵；矩阵的标记方式