MATLAB——FFT(快速傅里叶变换)

基础知识
FFT即快速傅里叶变换，利用周期性和可约性，减少了DFT的运算量。常见的有按时间抽取的基2算法（DIT-FFT）按频率抽取的基2算法（DIF-FFT）。

1.利用自带函数fft进行快速傅里叶变换
若已知序列$x=[4,3,2,6,7,8,9,0]$，求$X(k)=DFT[x(n)]$
代码非常简单，只有两行

x=[4,3,2,6,7,8,9,0];
xk=fft(x)

一般，对MATLAB而言，要想让它显示出结果，计算的部分不要加分号。
2.绘制128点DFT的幅频图
已知信号由15Hz幅值0.5的正弦信号和40Hz幅值2的正弦信号组成，数据采样频率为100Hz,试绘制N=128点DFT的幅频图。
关于下列代码的解释

f=(0:N-1)'*fs/N;

其中(0:N-1)'是生成了一个长度为N，间隔为1的列向量转置所得到的行向量。fs/N是指频域上的频率间隔。
若N点序列x(n)(n=0,1,…,N-1)是在采样频率fs(Hz)下获得的。它的FFT也是N点序列，即X(k)（k=0,1,…,N-1），则第K点对应实际频率值为:
f=k*fs/N

clc;
fs=100;
Ts=1/fs;%采样时间间隔
N=128;
n=0:N-1;
t=n*Ts;    %x不是直接关于n的函数，因为是固定的采样时间点
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);

y=fft(x,N);
f=(0:N-1)'*fs/N;
stem(f,abs(y));

运行结果

同时也可以可看到这个幅度谱是关于fN对称的。
3.利用FFT进行功率谱的噪声分析
已知带有测量噪声信号$x(t)=sin(2\pi f1t)+sin(2\pi f2t)+2w(t)$ 其中f1=50Hz，f2=120Hz， w(t)为均值为零、方差为1的随机信号，采样频率为1000Hz，数据点数N=512。试绘制信号的功率谱图。
下面先介绍几个基本的函数和知识：
conj(Y)
conj(Y) 是 MATLAB 中的一个函数，表示对 Y 中的每个元素取其共轭复数。如果 Y 是一个实数数组，则返回其本身。在信号处理中，常常使用共轭复数进行频域变换的处理。
求功率
P=Y.*conj(Y)/512;
注意这里是点乘啊。
在信号处理中，功率可以表示为信号的平均能量。对于一个离散时间信号，其能量可以表示为其幅度平方的总和，即：
$$E=\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]{|}^2$$
其中，$N$ 是信号的抽样点数，$x[n]$ 是信号在时刻 $n$ 的采样值。这里的 $|x[n]{|}^2$ 表示对 $x[n]$ 取模长平方。
如果要计算信号的平均功率，可以将其总能量除以抽样点数，即：
$$P=\frac{E}{N}=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]{|}^2$$
这里的 $P$ 表示信号的功率。
在代码中，$Y$ 表示信号的离散傅里叶变换，即频域表示，其幅度 $|Y|$ 表示信号在每个频率分量上的贡献。为了计算信号的功率谱，需要将 $Y$ 变换为其幅度平方，即 $|Y{|}^2$。由于 $Y$ 中包含了正频率和负频率的信息，因此需要对其进行共轭操作，即将负频率部分取共轭复数，然后再与正频率部分相乘，即 $Y\cdot \mathrm{conj}(Y)$。最后将结果除以抽样点数 $N$，即可得到功率谱 $P$：
$$P=\frac{Y\cdot \mathrm{conj}(Y)}{N}$$
这里的 $P$ 是一个长度为 $N$ 的向量，表示信号在每个频率分量上的功率。
randn
andn是MATLAB中的一个函数，用于生成一个均值为0，方差为1的标准正态分布随机数。例如，可以使用以下代码生成一个大小为3x3的标准正态分布随机矩阵：
A = randn(3,3);
完整代码

clc;
t=0:0.001:0.6;%设置步进与时间区间
x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);%根据已知写出信号的表达式
noise=randn(1,length(t));%生成均值为零、方差为1的随机信号，也就是噪声
y=x+noise;%带有噪声的信号
subplot(121);
plot(t,y);

fs=1000;
Y=fft(y,512);%512点的FFT
P=Y.*conj(Y)/512;%求功率
f=(0:255)*fs/256%由上面的分析可知，频谱关于奈奎斯特频率对称，所以取其中一半
subplot(122);
plot(f,P(1:256))%功率随频率的变化，即功率谱图,绘制出一半

运行结果：

4.序列长度和FFT的长度对信号频谱的影响
已知信号 $x(t)=0.5sin(2\pi f1t)+2sin(2\pi f2t)$
其中f1=15Hz,f2=40Hz,采样频率为100Hz.
在下列情况下绘制其幅频谱。
有了前面的基础，这里就比较简单了
代码

nlength=32;
nfft1=32;
nfft2=128;
fs=100;
Ts=1/fs;
n=0:nlength-1;
t=n*Ts;

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);

y1=fft(x,nfft1);
f1=(0:31)*fs/32;
subplot(211);
Y1=abs(y1);
plot(f1(1:16),Y1(1:16));

y2=fft(x,nfft2);
f2=(0:127)*fs/128;
subplot(212);
Y2=abs(y2);
plot(f2(1:64),Y2(1:64));

运行结果

结果分析
采样点数越多，其频谱越光滑。
注意
绘制图形的时候，一定要分析清楚是频谱图，还是某一个变换，其目的在于分清谁是因变量，谁是自变量。