波利亚对数学老师日常工作的十戒

波利亚曾为中学数学教师开办进修班，他在了解到中学教师需要一个对日常教学直接有所助益的课程。在该课程中，他一再地强调他个人对教师日常工作的看法，最后归纳浓缩成十条规则，亦即他所谓的「十诫」：

1.对你所教授的科目有兴趣。2.了解你所教授的科目。3.试着去“读”学生的表情、了解他们的期许与困难；设身处地为学生着想，将自己当作学生。4.明了学习的途径：学习任何一件事的最佳途径，就是亲自独立地去发现其中的奥秘。5.不但要教授学生知识，而且要让他们知道技巧、诀窍，学习正确的心态及有系统工作的习惯。6.让学生学习去猜测。7.让学生学习证明。8.留意现在手边的问题，从其中找寻一些可能对于以后解题有帮助的特征－试着去揭露潜藏在目前具体情境中的普遍形式。9.不要一次就泄露出所有的秘诀－在你告诉学生之前，让他们去猜测－让他们尽可能地自行去发现。10.启发问题；让学生勇于发表，不要填鸭式地硬塞给学生。

戒

紧接着，他对这些「诫条」逐一进行道德喊话：❶ 要明确地预测某种教学方法是否奏效几乎是不可能的；然而有一件事是可以确定的：如果你对自已所教授的科目感到厌烦，那么你也将会使你的听众感到厌烦。以上应足以说明十诫中的第一诫：对你所教授的科目有兴趣。❷ 若教师对所教授的科目没有兴趣的话，他也将无法使学生去接受此一科目，因此，兴趣是一个教学不可或缺的必要条件；但光有兴趣是不够的，当你对一个科目不了解时，再多的兴趣、教学方式也无法让你清楚地对学生解释一个论点或看法。这也应该说明了十诫中的第二诫：了解你所教授的科目。❸ 甚至在有了兴趣、了解所教授的科目之后，你仍然有可能是一位差劲或相当平庸的老师。我承认这种状况虽不常见但也绝非罕有：大部分的人便曾遇过这样的老师－他们虽了解所教授的科目，但在班上却无法建立与学生接触的管道。所谓教学应该是教授的一方可以引起他方的学习，因此，在教师与学生之间必须有某种接触的管道：教师应当明了学生的处境、支持他们的目标、理由。这就是十诫中的第三诫：试着去「读」学生的表情、了解他们的期许与困难；设身处地为学生着想，将自己当作是学生。❹ 前三诫包含了很好教学的要素，它们共同形成了一种充分必要的条件－如果你对你所教授的科目有兴趣、了解它，并且可以看清学生的问题，你已经或即将成为一位好老师了；你所需要的就只是经验了。经验是必需的，实际的经验使你明白在教室中教师与学生的「教」与「学」，让你熟悉获取知识与技能的过程－包括学习、发现、创造、了解等等许多方面。心理学家已经做过很多有关学习过程的实验并发表了一些有趣的论点。对一位非常善于接纳与理解的教师来说，这些实验与论点具有剌激的作用；但是就我们这里主要讨论的教育方面来说，它们还没有完善到可以对教师的教学直接有所助益，因此，教师首先必须依赖个人的经验与判断。根据近半世纪的研究与教学经验，以及深入内省后，对于课堂教学所需，我在这里提出一些我认为对课堂教学极为重要的学习历程的观点。有一件事是一再地被强调着：主动积极的学习优于被动消极、「仅仅只是接受」的填鸭式学习；愈积极主动便愈好：学习任何一件事的最佳途径就是亲自独立地去发现其中的奥秘。事实上，在一个理想的教学计划中，教师像是一位心灵的「助产士」－ 给予学生机会自行去发现亟待学习的事物。而往往因为缺乏时间的关系，此一理想实际上很难达成，但却可以引领我们通往正确的方向－这就好像没有人能到达北极星，却能藉由观望它而找出正确方向一样。❺ 知识(Knowledge)包括了知识性的讯息(information)和技巧诀窍(know-how)。技巧诀窍是一种技能，它是处理知识性的讯息、善用知识性的讯息以达目标的一种能力；可以说是一连串适当的心智活动，最后会让我们的工作变得有系统。在数学上，技巧诀窍是解决问题、建构证明、批判诊断解答与证明的能力；比起纯粹知识性的讯息的获取，技能重要多了，因此，对数学教师而言，接下来的第五诫是相当重要的：不但要教授学生知识，而且要让他们知道技巧、诀窍，学习正确的心态及有系统工作的习惯。也正因为在数学教学中技巧诀窍比知识来得重要，「如何教」就比「教什么」更值得我们去重视了。❻ 「先猜测，再证明」－通常发现的过程也是这样开始的。从经验当中，你应该知道这件事，而且你应该知道数学教师拥有绝佳的机会去显示猜测在发现过程中的地位，也因此让学生铭记思维活动的重要性。关于后者并不(虽然应该)广为人知，很遗憾地，鉴于篇幅有限的关系，在此也没有办法详尽地讨论。不过，我仍然希望在这一方面你别忽略了你的学生：让他们学习去猜测。粗心大意的学生很有可能作出毫无根据的猜测。当然，我们所要教授的并非毫无根据地乱猜，而是有凭有据、合理地猜测。合理的猜测是建立在明智地使用归纳与类推结果的基础之上，根本上包含了在科学中扮演重要角色的合理化推理之所有过程。❼ 「数学是一个学习如何合情推理(plausible reasoning)的好学科。」 这句话简述了前述法则蕴涵之意，虽然它听起来陌生且非常新颖；事实上，笔者是相信它的。「数学亦是学习论证推理(demonstrative reasoning)的好学科。」这句话听起来则很熟悉－它的某些形式几乎跟数学本身一样古老。实际上，更真实的是：数学和论证推理是共存的，论证推理遍及于各个科学学门中，同时将它们的概念提升至充分抽象、明确的数学逻辑层次(mathematico-logical level)；在这样的高层次之下，例如，在日常生活当中，已没有实际论证推理的余地了(换言之，已不适合实际论证推理)，不过(并不必要去争辩这样一个被广泛接受的论点)，除了基本的东西之外，数学教师仍必须让所有的学生知道论证推理：让学生学习证明。❽ 技巧诀窍是数学知识中较有价值的一部分，比单单只是拥有讯息更有价值。但我们应如何传授此项技巧诀窍呢？学生可以透过模仿与练习来学得它。当你提出一个问题的解答时，适切地强调其中的教育性的特征(instructive features)。如果一个特征值得仿效，那么它就是具教育性的，也就是说，它可以用来解答眼前的问题，更可以解决其他的问题－愈常用到，便愈具教育性质。但强调教育性特征的方式，并不只表现于夸赞学生(因为对某些学生反而会产生反效果)，更应表现在教师的行为中(如果你有表演天份的话，稍微装一下效果会更好)。一个适切强调的特征能将你的解答转入「范型答案」(model solution), 藉由让学生模仿可以解决更多问题的答案也能让它转变为一个令人印象深刻的形态，因而法则即是：留意现在手边的问题，从其中找寻一些可能对于以后解题有帮助的特征－试着去揭露潜藏在目前具体情境中的普遍形式。❾ 我希望能够在这边指出一些在课堂上容易学到且教师们应该要知道的秘诀。当你开始讨论一个问题时，试着让学生去猜答案。让那些猜想或甚至叙述臆测的学生陷入进退两难的情况：他们必须跟随着求解的过程来看他们的猜测是否正确，且必须要专心一致。这只不过是下列法则(本身是从法则四和法则六的某些部分推敲、拼凑出来的)的一个特殊的情形而已：不要一次就泄露出所有的秘诀－在你告诉学生之前，让他们去清测－让他们尽可能地自行去发现。❿ 有一个学生一行一行地进行一个冗长的计算，我在最后一行看到了一个错误，但我住而没有马上纠正他。我宁可带着学生一行一行地检查：「刚开始蛮不错的，你的第一行写对了，下一行也正确了，你做了这个和那个…。这一行真不错，现在你觉得这一行如何呢？」错误就发生在这一行，如果学生自已发现了，他便有机会学到一些东西。然而，如果我在发现错误后立刻就说：「这里错了！」学生或许会感到不愉快，而且再也听不进去之后我所说的话了。如果我太常立刻就说：「你这里错了！」的话，学生很可能会恨我，也很可能开始讨厌数学，那我在之前对这个学生所花费的苦心就全都白费了。尽量避免去说：「你错了！」可能的话，改口说：「你是对的，但…」如果你这样做的话，你非但不是伪善的而且是通人情的。法则十便隐含了你应该这样做说法，我们可以让它更加地清楚：启发问题；让学生勇于发表，不要填鸭式地硬塞给学生。