经典计算：Lecture1 Turing Machines

1图灵机

1.1图灵机的定义

定义1.1 图灵机由如下的元素组成：

字母表(alphabet): 一个有限的集合
空白符号(blank symbol):
外部字母集(external alphabet): 一个的子集，且。输入和输出的字符串是从这里取出来的。这也是为什么叫external。
TM的状态(internal state of TM): 一个有限集合，用来控制下一步执行什么。
一个初始状态(initial state): .
状态转移函数(transition function):

注：转移函数是一个partial function，也就是说它的定义域是的子集。如果定义域是全集的话，称为total function。

图灵机的硬件组成：

无限长的纸带(Tape): 左边有限，输入的开始，右边是无限的。被分成一个一个小格子(cell)，里面是中的元素，每个cell只能存储一个symbol.
一个读写头(Head): 可以沿着纸带移动。
有限状态自动机(Automaton): 控制图灵机的行为。内部存储了图灵机现在的状态。通过读纸带cell中的symbol，再根据转移函数确定下一步状态，要写的symbol以及Head移动的方向。其中转移函数的映射是有限的。

注：图灵机演示网址此外，图灵机停止的标准是，某一时刻的状态转移函数未定义，或者Head移动到了纸带的最左端。

图灵机的配置(Configuration of a TM): 是一个三元组

是无限长的符号序列，每一个符号都是属于的。它是纸带上的内容，会有很多的空白符号，到右边是无限长。
是Head的位置，是一个非负整数。当时，图灵机停止运行。
是图灵机的内部状态internal state。

输入输出的方式
输入：
输出：当图灵机停止运行时，从左到右读Tape，直到读到不属于的symbol，则这之前的都是图灵机的输出。

1.2 可计算函数和可判定谓词(Computable functions and decidable predicates)

每一个图灵机都计算了一个partial function: 。其中是上的所有字符串。

定义1.2 函数可计算的定义：

一个部分函数是可计算的(computable)，如果存在一个图灵机使得。我们称由计算。
注：并不是所有的函数都是可计算的。因为的函数时不可数的，但是图灵机的数目是可数的。

predicate: 一个total function输出0或1，true or false。可以把它叫做布尔值函数(Boolean function)。这样一个predicates可以由一个的子集确定：。的子集也被叫做上的language。

decidable predicate: 一个布尔值函数如果是可计算的，则被称为可判定的(decidable)。

很自然的，computable function and decidable predicate 可以扩展到多变量的情况。
现在我们有图灵机，对应多变量函数，我们可以在exteral alphabet中加入一个分隔符，即然后就可以把上述函数化成一个变量的形式：。对于多变量，我们引入如下定义。

定义1.3 多变量函数可计算的定义：

部分函数是可计算的，如果存在图灵机，使得。

对于多变量的predicate来说，我们同样可以定义decidable。一个多变量predicate如果是可计算的，则被称为可判定的(decidable)。

图灵机的复杂度
时间复杂度对应计算的step数，空间复杂度对应访问的cell数。
时间：对任意长度为的输入，最多执行step，则称图灵机works in time 。
空间：对任意长度为的输入，最多访问个cell，则称图灵机works in space 。

1.3 图灵论题和通用机

Turing's thesis: "Any algorithm can be realized by a Turing machine."也被称为Church-Turing。它并不是数学定理，而是对算法概念的非正式陈述。没有被证明，但是有经验支撑。

Universal Turing Machine
因为图灵机是有限的对象，在定义1.1中都要求有限，所以它可以编码为一个字符串(长度有限)。现在我们考虑使用字母表的通用图灵机，的输入是，是由中symbol编码形成的编码序列，。输出是。则计算了如下的函数这个函数对可计算函数来说是universal的。对应于一个，就有。
我们用算法描述通用图灵机，所以它的存在性可以由Church-Turing thesis得到。但是通用图灵机的存在性是一个数学定理，可以用显式的构造法来证明。

1.4 复杂性类型

一个函数的可计算性并不能保证它真的可以计算。在实际中，我们还需要考虑算法的有效性(effective)。一个算法的有效性可以从多个角度定义，从而导致了不同的复杂度类别。其中最重要的是多项式(polynomial algorithm)算法。
polynomial growth: 我们称一个函数是多项式增长的，如果。其中是常数，充分大。记为。

定义1.4 多项式时间内可计算--用图灵机衡量

一个在上的函数是多项式时间可计算的(computable in polynomial time)，如果存在一个图灵机，当输入长度是时，可以在时间内计算。如果是一个布尔值函数(predicate)，我们称它是多项式时间可判定的(decidable in polynomial time)。

Class P：由所有多项式时间可计算的函数构成的集合。
注：1. 此处所讲的既包含了多项式时间可计算函数，也包含了多项式时间可判定的布尔值函数(predicate)。有的复杂性种类只针对predicate而定义。2. 如果在多项式时间内可计算，则。因为对图灵机来说，输出的长度不会超过输入长度和执行步数的最大值。

Encoding is important
对于判断是否为素数的问题，采用除以的方式来判断。当使用unary来编码输入整数时（5的表示为11111），这个算法是多项式时间的。因为输入长度为，需要执行次除法。当使用binary编码时，输入的长度为，，此时算法执行不是多项式时间的。

定义1.5 多项式空间内可计算

一个在上的函数是多项式空间可计算的(computable in polynomial space)，如果存在一个图灵机，当输入长度是时，可以在空间内计算。如果是一个布尔值函数(predicate)，我们称它是多项式空间可判定的(decidable in polynomial space)。

Class PSPACE: 所有多项式空间内可计算的函数类。
注: 根据前面的注，多项式时间运行必然多项式空间运行，所以有。很多人认为包含关系是严格的，即，但还没有人给出证明。