管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——数据分析——记忆
文章目录
- 考点
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- 记忆/考点汇总——按大纲
- 整体
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- 目录大纲法
- 记忆宫殿法
- 绘图记忆法
- 局部
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- 数字编码法
-
- 对号不对号
- 归类记忆法
- 重点记忆法
- 歌决记忆法
-
- 口诀：加法分类，类类相加；乘法分步，步步相乘。
- 谐音记忆法
-
- 涂色
- 理解记忆法
- 比较记忆法
- 转图像记忆法
本篇思路：根据各方的资料，比如名师的资料，按大纲或者其他方式，收集/汇总考点，即需记忆点，在通过整体的记忆法，比如整体信息很多，通常使用记忆宫殿法，绘图记忆法进行记忆，针对局部/细节/组成的部分，可通过多种方法，比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。
考点
通过汇总各方大佬资料，作为收集考点/记忆点的信息输入：XX，收集汇总如下：
汇总考点的必要，或者说，汇总记忆的内容的必要，不言而喻，首先，你要记忆东西，得有东西，所以你要梳理出你需要记忆的全部东西，其次，在收集多个大佬的梳理的考点，又可以找出各条逻辑帮助记忆考点，所以，梳理考点是很有必要的，是记忆的基础，是记忆宫殿里面的物品，是我们最后考试需要去找到的解题物品。
记忆/考点汇总——按大纲
——加减乘除原理——
分类计数原理（加法原理）：如果完成一件事有n类办法，只要选择其中一类办法中的任何一种方法，就可以完成这件事。若第一类办法中有 m 1 m_1 m1种不同的方法，第二类办法中有 m 2 m_2 m2种不同的方法…第n类办法中有 m n m_n mn种不同的办法，那么完成这件事共用 N = m 1 + m 2 + . . . + m n N=m_1+m_2+...+m_n N=m1+m2+...+mn种不同的方法。
分步计数原理（乘法原理）
（1）定义
如果完成一件事，必须依次连续地完成n个步骤，这件事才能完成。若完成第一个步骤有 m 1 m_1 m1种不同的方法，完成第二个步骤有 m 2 m_2 m2种不同的方法……完成第n个步骤有 m n m_n mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N = m 1 ∗ m 2 ∗ . . . . . . ∗ m n N= m_1*m_2*......*m_n N=m1∗m2∗......∗mn种不同的方法。
减法原理
正面难则反着做(“ − - −”号)
【思路】当出现“至少、至多”、“否定用语"等正面较难分类的题目，可以采用反面进行求解，注意部分反面的技巧以及“且、或"的反面用法。
除法原理
看到相同，定序用除法消序( “ ÷ " “÷" “÷"号)
【思路】 ÷ ÷ ÷号的用法就在于消序，当题目需要消除顺序的时候，就是 ÷ ÷ ÷号登场的时候。
①部分相同、定序
②环排
③分组
定序问题
当把某n个元素进行排序时，其中m个元素不计顺序或者顺序已定，要把这m个元素的顺序除掉，有多少除多少，定序公式： n ! m ! \frac{n!}{m!} m!n!
分组问题
均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘，即除法处理。
非均匀分组：分步取，得组合数相乘，即组合处理。
混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。
——排列组合——
1.排列与组合的推导：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素做排列为 A n m A_n^m Anm，事实上可以分为两个步骤：
第一步：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素做组合为 C n m C_n^m Cnm；
第二步：将这m个元素做全排列为 m ! m! m!，从而我们有 A n m = C n m ⋅ m ! = C n m ⋅ A m m A_n^m=C_n^m·m!=C_n^m·A_m^m Anm=Cnm⋅m!=Cnm⋅Amm，即 C n m = A n m m ! C_n^m=\frac{A_n^m}{m!} Cnm=m!Anm
2. 排列是先组合再排列：
A n m = C n m ⋅ A m m = C n m ⋅ m ! A_n^m=C_n^m·A_m^m=C_n^m·m! Anm=Cnm⋅Amm=Cnm⋅m!，故 A n m A_n^m Anm可由组合 C n m C_n^m Cnm与阶乘 m ! m! m!代替。
3. 排列与组合的区别：
口诀：与序无关是组合，要求有序是排列。
4. 解题准则：
（1）排列 A n m = C n m ⋅ A m m = C n m ⋅ m ! A_n^m=C_n^m·A_m^m=C_n^m·m! Anm=Cnm⋅Amm=Cnm⋅m!，故排列是先组合再排列，即 A n m A_n^m Anm可由组合 C n m C_n^m Cnm与阶乘 m ! m! m!代替，为思路清晰，采用 C n m C_n^m Cnm与 m ! m! m!表达。
（2）选取元素或位置，用组合 C n m C_n^m Cnm。
（3）排序用阶乘 m ! m! m!。
（4）将所有的题目拆解为“选取”和“排序”的过程，然后再对应写表达式。
5. 排列问题与组合问题对比：
若从n个元素中取m个，需要考虑m的顺序，则为排列问题，用 A n m A_n^m Anm表示；
若从n个元素中取m个，无须考虑m的顺序，则为组合问题，用 C n m C_n^m Cnm表示。
6. 排列数与组合数的含义对比：
（1）排列数A的含义：先挑选再排列，有序（元素之间互换位置，结果不同）。
（2）组合数C的含义：挑选、组合，无序（元素之间互换位置，结果不变）。
排列
从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 ⟹ \Longrightarrow ⟹排列
从n个不同元素中，取出m个元素(m≤n)的所有排列的种数，称为从n个元素中取出m个元素的排列数，记作 A n m A_n^m Anm。 ⟹ \Longrightarrow ⟹ A n m A_n^m Anm称为排列数
当m=n时，即从n个不同元素中取出n个元素的排列，称为n个元素的全排列，记作 A n n A_n^n Ann，也称为n的阶乘，用符号 n ! n! n!表示。 ⟹ \Longrightarrow ⟹ n ! n! n!称为n的阶乘
A n m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} Anm=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)=(n−m)!n! ⟹ \Longrightarrow ⟹ A n m A_n^m Anm称为排列数
A n n = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . 2 ⋅ 1 = n ! A_n^n=n(n-1)(n-2)...2·1=n! Ann=n(n−1)(n−2)...2⋅1=n! ⟹ \Longrightarrow ⟹ n ! n! n!称为n的阶乘/全排列
A n n − 1 = A n n = n ! A_n^{n-1}=A_n^n=n! Ann−1=Ann=n!
A n m ≠ A n n − m A_n^m≠A_n^{n-m} Anm=Ann−m
A n 1 = n A_n^1=n An1=n
A n 0 = 1 A_n^0=1 An0=1
0 ! = 1 0!=1 0!=1、 1 ! = 1 1!=1 1!=1、 2 ! = 2 2!=2 2!=2、 3 ! = 6 3!=6 3!=6、 4 ! = 24 4!=24 4!=24、 5 ! = 120 5!=120 5!=120 ⟹ \Longrightarrow ⟹常用数值
组合
从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 ⟹ \Longrightarrow ⟹组合
从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数、称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作 C n m C_n^m Cnm ⟹ \Longrightarrow ⟹ C n m C_n^m Cnm称为组合数
C n m = A n m A m m = n ( n − 1 ) . . . ( n − m + 1 ) m ( m − 1 ) . . . ⋅ 2 ⋅ 1 = n ! m ! ( n − m ) ! = A n m m ! C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m(m-1)...·2·1}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{A_n^m}{m!} Cnm=AmmAnm=m(m−1)...⋅2⋅1n(n−1)...(n−m+1)=m!(n−m)!n!=m!Anm，则 A n m = C n m ⋅ m ! A_n^m=C_n^m·m! Anm=Cnm⋅m! ⟹ \Longrightarrow ⟹ C n m C_n^m Cnm称为组合数
C n m = C n n − m C_n^m=C_n^{n-m} Cnm=Cnn−m ⟹ \Longrightarrow ⟹组合数性质：对称性
等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标：如 C 9 6 = C 9 3 = 9 × 8 × 7 3 ! = 84 C_9^6=C_9^3=\frac{9×8×7}{3!}=84 C96=C93=3!9×8×7=84 ，此性质作用：当 m ＞ n 2 m＞\frac{n}{2} m＞2n时，计算 C n m C_n^m Cnm可变为计算 C n n − m C_n^{n-m} Cnn−m，能够使运算简化。
C n m = C n n − m C_n^m=C_n^{n-m} Cnm=Cnn−m ，可得： C n x = C n y C_n^x=C_n^y Cnx=Cny ⟹ \Longrightarrow ⟹ x = y 或 x + y = n x=y或x+y=n x=y或x+y=n(易遗忘此种情况)，其中，x，y均为非负整数
C n m = C n − 1 m − 1 + C n − 1 m C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m} Cnm=Cn−1m−1+Cn−1m ⟹ \Longrightarrow ⟹组合数性质：递推公式
C n − 1 m − 1 C n m = m m \frac{C_{n-1}^{m-1}}{C_n^m}=\frac{m}{m} CnmCn−1m−1=mm
n ! = n × ( n − 1 ) ! n!=n×(n-1)! n!=n×(n−1)!
( n + 1 ) × n ! = ( n ＋ 1 ) ! (n+1)×n!=(n＋1)! (n+1)×n!=(n＋1)!
n × n ! = [ ( n ＋ 1 ) − 1 ] × n ! = ( n + 1 ) × n ! − n ! = ( n + 1 ) ! − n ! n×n!=[(n＋1)-1]×n!=(n+1)×n!-n!=(n+1)!-n! n×n!=[(n＋1)−1]×n!=(n+1)×n!−n!=(n+1)!−n!
n ( n + 1 ) ! = n + 1 − 1 ( n + 1 ) ! = n + 1 ( n + 1 ) ! − 1 ( n + 1 ) ! = 1 n ! − 1 ( n + 1 ) ! \frac{n}{(n+1)!}=\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{n+1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!} (n+1)!n=(n+1)!n+1−1=(n+1)!n+1−(n+1)!1=n!1−(n+1)!1 ⟹ \Longrightarrow ⟹组合数性质
C n 0 + C n 1 + C n 2 + . . . + C n n = 2 n C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2n
C n 0 + C n 2 + C n 4 + . . . = 2 n − 1 C_n^0+C_n^2+C_n^4+...=2^{n-1} Cn0+Cn2+Cn4+...=2n−1
C n 1 + C n 3 + C n 5 + . . . = 2 n − 1 C_n^1+C_n^3+C_n^5+...=2^{n-1} Cn1+Cn3+Cn5+...=2n−1 ⟹ \Longrightarrow ⟹组合恒等式
C n 0 = C n n = 1 C_n^0=C_n^n=1 Cn0=Cnn=1
C n 1 = C n n − 1 = n − 1 C_n^1=C_n^{n-1}=n-1 Cn1=Cnn−1=n−1
C 3 2 = C 3 1 = 3 C_3^2=C_3^1=3 C32=C31=3
C 5 2 = C 5 3 = 10 C_5^2=C_5^3=10 C52=C53=10
C 6 2 = C 6 4 = 15 C_6^2=C_6^4=15 C62=C64=15 ⟹ \Longrightarrow ⟹常用组合数
——奇技——
一个位置一个元素
（1）先特殊后一般
先处理特殊元素或位置，再处理一般元素或位置。
（2）相邻、不相邻问题
相邻用捆绑打包法；不相邻用插空法；当相邻问题与不相邻问题同时出现在题干
中，需要按照先解决相邻再解决不相邻问题的顺序来求解。
一个位置多个元素（观察元素与对象采用不同策略）
分房问题特征：
（1）1个房间可容纳多个人；（2）每个人都只能去一间房。
①元素不同，对象不同，对元素无限定，则可重复使用——用方幂法；
②元素不同，对象不同，对元素有限定，元素与对象有对应关系——用对号不对号；
③元素不同，对象不同，对元素有限定，分组中有同样的数量——先分堆后分配；
④元素不同，对象相同——只分堆，不分配；
⑤元素相同，对象不同——先满足后隔板；
⑥元素相同，对象相同———穷举，列举法。
相邻问题采用捆绑法：将相邻的几个元素捆绑看成一个大元素，再与其余普通元素进行排列，注意不要忘记这个捆绑后的大元素内部需要排序。
不相邻问题采用插空法：先排好其余元素，再将不相邻的元素插入空位。
分房问题
表现形式：不同的元素无限制地进入到不同的位置。
解决办法：n个不同的元素无限制地进入m个不同的位置有 m n m^n mn种方法。
前提条件：每个元素只能进人一个位置，但是每个位置可以容纳多个元素。
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复。
把不能重复的元素看作“人”，能重复的元素看作“房”，再利用乘法原理直接求解的方法称为“分房法”。一般地n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为 m n m^n mn种。
对号与不对号：无论几个元素，只要对号安排，都只有1种方法。
不对号安排记答案：2个不对号有1种方法；3个不对号有2种方法；4个不对号有9种方法；5个不对号有44种方法。
将n个相同的元素全分给m个对象，每个对象至少分1个。：把这n个元素排成一排，中间有n-1个空，挑出m-1个空放上挡板，自然就分成了m组，所以分法一共有 C n − 1 m − 1 C_{n-1}^{m-1} Cn−1m−1种；
将n个相同的元素全分给m个对象，每个对象至少分0个元素（即可以为空）。：增加m个元素（m为对象的个数），此时一共有n+m个元素，中间形成n+m-1个空，选出m-1个空放上挡板即可，共有 C n + m − 1 m − 1 C_{n+m-1}^{m-1} Cn+m−1m−1种方法。
n个不同元素作圆形排列，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人，共有 ( n − 1 ) ! (n-1)! (n−1)!种排法。如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 1 m C n m \frac{1}{m}C_n^m m1Cnm 。
分堆
古典概型： P ( A ) = 事件 A 包含的基本事件数 k 样本空间中基本事件总数 n P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数k}{样本空间中基本事件总数n} P(A)=样本空间中基本事件总数n事件A包含的基本事件数k
独立事件： P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)，则称两事件A和B是相互独立的
伯努利公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为 P n ( k ) = C n k p k q n − k P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k} Pn(k)=Cnkpkqn−k，（ k = 0 ， 1 ， 2 ， … ， n k=0，1，2，…，n k=0，1，2，…，n），其中 q = 1 − p q=1-p q=1−p。
k = n k=n k=n时，即在n次独立重复试验中事件A全部发生，概率为 P n ( n ) = C n n p n ( 1 − p ) 0 = p n P_n(n)=C_n^np^n(1-p)^0=p^n Pn(n)=Cnnpn(1−p)0=pn。
k = 0 k=0 k=0时，即在n次独立重复试验中事件A没有发生，概率为 P n ( 0 ) = C n 0 p 0 ( 1 − p ) n = ( 1 − p ) n P_n(0)=C_n^0p^0(1-p)^n=(1-p)^n Pn(0)=Cn0p0(1−p)n=(1−p)n。
独立地做一系列的伯努利试验，直到第k次试验时，事件A才首次发生的概率为 P k = ( 1 − P ) k − 1 P_k=(1-P)^{k-1} Pk=(1−P)k−1（ k = 1 , 2 , . . . , n k=1,2,...,n k=1,2,...,n）。
n次独立重复试验的特征：
①试验的次数不止一次，而是多次，次数 n ≥ 1 n≥1 n≥1；
②每次试验的条件是一样的，是重复性的试验序列；
③每次试验的结果只有A与 A ‾ \overline{A} A两种（即事件A要么发生，要么不发生），每次试验相互独立，试验的结果互不影响，即各次试验中发生的概率保持不变。
方差： S 2 = 1 n [ ( x 1 − x ‾ ) 2 + ( x 2 − x ‾ ) 2 + . . . + ( x n − x ‾ ) 2 ] S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_n-\overline{x})^2] S2=n1[(x1−x)2+(x2−x)2+...+(xn−x)2]，意义：方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况。——【先平均，再求差，然后平方，最后再平均。】
简化方差： S 2 = 1 n [ ( x 1 2 + x 2 2 + . . . + x n 2 ) − n x ‾ 2 ] S^2=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-n\overline{x}^2] S2=n1[(x12+x22+...+xn2)−nx2]
拓展公式： S 2 = 1 n [ ( x 1 − x ‾ ) 2 + ( x 2 − x ‾ ) 2 + . . . + ( x n − x ‾ ) 2 ] = x 1 2 + x 2 2 + . . . + x n 2 n − ( x 1 + x 2 + . . . + x n n ) 2 S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_n-\overline{x})^2]=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}-(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n})^2 S2=n1[(x1−x)2+(x2−x)2+...+(xn−x)2]=nx12+x22+...+xn2−(nx1+x2+...+xn)2
标准差： 方差 \sqrt{方差} 方差= S 2 \sqrt{S^2} S2，意义：方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同。
如果一组数据 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn的平均数是 x ‾ \overline{x} x，方差为 S 2 S^2 S2，那么
（1）新数据 a x 1 , a x 2 , . . . , a x n ax_1,ax_2,...,ax_n ax1,ax2,...,axn的平均数是 a x ‾ a\overline{x} ax，方差为 a 2 S 2 a^2S^2 a2S2；
（2）新数据 x 1 + b , x 2 + b , … , x n + b x_1+b,x_2+b,…,x_n+b x1+b,x2+b,…,xn+b的平均数是 x ‾ + b \overline{x}+b x+b，方差为 S 2 S^2 S2；
（3）新数据 a x 1 + b , a x 2 + b , … , a x n + b ax_1+b,ax_2+b,…,ax_n+b ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数是 α x ‾ + b α\overline{x}+b αx+b，方差为 a 2 S 2 a^2S^2 a2S2。
整体
整体使用记忆宫殿法和绘图记忆法等进行记忆
目录大纲法
-
计数原理
加乘原理
排列组合
一个位置一个元素
一个位置多个元素 -
数据描述
平均值
方差与标准差 -
概率
事件及其简单运算
加法公式
乘法公式
古典概型
伯努利概型
记忆宫殿法
绘图记忆法
局部
学习记忆——数学篇——汇总——顺口溜记忆法+谐音记忆法+理解记忆法+归类记忆法+重点记忆法+比较记忆法+转图像记忆法
数字编码法
学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码和字母编码——两位数
学习记忆——英语——字母编码
学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码——数字声母
对号不对号
【思路】“不对号”问题可以这样记住答案：2个元素不对号，1种方法；3个元素不对号，2种方法；4个元素不对号，9种方法；5个元素不对号，44 种方法。
21鳄鱼、32上颚、49死狗、544武器妻
鳄鱼用上颚咬死了狗，妻子用武器打死了它。
归类记忆法
数学知识有一个最显著的特点，就是系统性很强。数学知识之间有着内在的联系，我们可以按照它们的特性，恰当归类，使之条理化、系统化，组成一个便于记忆的知识网络。
重点记忆法
抓住一个重点，去推导，去联想。
歌决记忆法
口诀：加法分类，类类相加；乘法分步，步步相乘。
谐音记忆法
涂色
（1）直线涂色：简单的乘法原理。
（2）环形涂色公式：把一个环形区域分为k块，每块之间首尾相连，用s种颜色去涂，要求相邻两块颜色不同，则不同的涂色方法有
N = ( s — 1 ) k ＋ ( s — 1 ) ( − 1 ) k N=(s—1)^k＋(s—1)(-1)^k N=(s—1)k＋(s—1)(−1)k，
式中，s为颜色数（记忆方法：se色），k为环形被分成的块数（记忆方法：kuai 块）。
理解记忆法
比较记忆法
转图像记忆法
学习记忆——数学篇——转图像记忆法
