矩阵乘法详解 学习笔记

矩阵乘法详解

矩阵

对于一个$n\times m$的矩阵$A$，这个矩阵有$n$行$m$列。
如：假设$A=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\end{array}$，则$n=2,m=2$。

矩阵乘法

对于一个$n\times m$矩阵$A$和$m\times q$矩阵$B$，设$C=A\times B$，则$C$的大小为$n\times q$。
则$\begin{array}{r}{C}_{i,j}=\sum _{i=1}^m{A}_{i,k}{B}_{k,j}\end{array}$。
可以发现，矩阵乘法满足乘法结合律，但不满足一般交换律。

乘方

因为矩阵乘法满足乘法结合律，所以计算一个矩阵的$a$次方可以用快速幂优化。
具体时间复杂度为$n^3{\log }_2^a$（假若$n\ge m$）。