高等数学(一)函数、极限、连续

第一节 函数

（一）、函数的概念以及常见函数

1.函数的概念

定义1、若对于每个数x∈D，变量y按照一定的规则总有一个确定的y和它对应，则称x是y的函数，记为y=f(x)，常称x为自变量，y为因变量，D为定义域

2.一些常用的函数

①符号函数

　②取整函数

表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，其基本不等式

　③狄里克雷函数

3.复合函数

定义2、设y=f(u)的定义域为D_f，u=g(x)的定义域为D_g，值域为R_g,若D_f∩R_g≠∅，则称函数y=f[g(x)]为函数y=f(u)和u=g(x)的符合函数，其定义域为{x|x∈Dg，g(x)∈D_f}

4.反函数

定义3、设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Ry，若对任意y=Ry，有唯一确定的x∈D，使得y=f(x)，则记为x=f^-1(y)并称其为y=f(x)的反函数

• 单调函数一定有反函数（反之不对）
• 在同一坐标系中y=f(x)和x=f^-1(y)的图形重合，y=f(x)和y=f^-1(x)的图形关于直线y=x对称
• f^1-[f(x)]=x　　f[f^-1(x)]=x

5.初等函数.

定义4、将幂函数（y=xμ）、指数函数（y=ax），对数函数（y=logax），三角函数（y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx），反三角函数（y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx）称为基本初等函数【熟记图像，定义域值域】

（二）、函数的性质

1.单调性

若对于区间I上任意两点x1f(x2)单调减

2.奇偶性

• 设y=f(x)的定义域D关于原点对称，∀x∈D，f(x)=f(x)偶函数，f(x)=-f(-x)奇函数

• 奇+奇=偶　　偶+偶=偶　　奇×奇=偶　　偶×偶=偶　　奇×偶=奇

• 设y=f(x)可导，f(x)是奇函数→f'(x)是偶函数，f(x)是偶函数→f'(x)是奇函数

常见的奇函数：

3.周期性

若存在T>0,对于任意x，恒有f(x+T)=f(x),则称y=f(x)为周期函数，使上式成立的最小正数T称为最小正周期

• 若y=f(x)以T为周期，则f(ax+b)以T/|a|为周期
• 周期函数的充要条件使在其一个周期上的积分为0
• sinⁿx当n为奇数的时候T=2π，当n为偶数的时候T=π
• 若y=f(x)以T为周期，则f'(x)也以T为周期，而积分不一定

4.有界性

若存在M>0,使得对任意的x∈X，恒有|f(x)|≤M，则称f(x)在x上为有界函数

第二节 极限

(一)、极限的概念

1、数列

∀ε>0,∃N>0，当n>N时，恒有|X_n-A|<ε

• 原数列有极限⇿部分列都有极限且相等
• 若，则，反之不成立

2、函数

• 自变量趋向正无穷大

∀ε>0,∃x>0，当x>X时，恒有|f(x)-A|<ε

• 自变量趋向负无穷大

∀ε>0,∃x>0，当x<-X时，恒有|f(x)-A|<ε

• 自变量趋向无穷大

∀ε>0,∃x>0，当|x|>X时，恒有|f(x)-A|<ε

• 自变量趋向有限值

∀ε>0,∃δ>0，当0<|x-x0|<δ时，恒有|f(x)-A|<ε

x→x0但x!=x0，如sin(xsin1/x)/xsin1/x不存在，当x=1/nπ的时候无意义

分段函数要讨论在x₀⁺和x₀^-的存在情况，e^∞限要讨论正无穷和负无穷的情况

(二)、极限的性质

1、有界性

• 数列：如果数列{x_n}收敛(x_n→a)，那么数列{x_n}一定有界
• 函数：若在x趋向x₀的时候极限f(x)存在，则f(x)在x₀某去心邻域内有界

2、保号性

• 数列：设

1. 若A＞0(或A<0)，则存在N>0,当n>N时，xn>0(或xn<0)

2. 若存在N＞0，当n>N时，xn≥0(或xn≤0)，则A≥0(或A≤0)

• 函数：设

1. 若A＞0(或A<0)，则存在δ>0,当x∈U(x0,δ)时，f(x)>0(或f(x)<0)
2. 若存在δ>0，当x∈U(x0,δ)时，f(x)≥0(或f(x)≤0)，则A≥0(或A≤0)

3、极限和无穷小的关系

(三)、极限存在准则

1、夹逼准则(n项和的极限)

若存在N：当n>N时，x_n≤y_n≤z_n，且

则

2、单调有界准则（递推关系式的数列极限）

单调有界数列必有极限

(四)、无穷小量

1、概念

• 高阶无穷小：若

则称α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为α(x)=o[β(x)]

• 低阶无穷小：若

则称α(x)是β(x)的低阶无穷小

• 同阶无穷小：若

则称α(x)是β(x)的同阶无穷小

• 等价无穷小：若

则称α(x)是β(x)的等阶无穷小，记为α(x)~β(x)

特别地，若

则称α(x)是β(x)的k阶无穷小

2、性质

• 有限个无穷小的和仍是无穷小
• 有限个无穷小的积仍是无穷小
• 无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小

(五)、无穷大量

1、常用的无穷大量比较

• 当x→∞时，　　　　ln^αx<β<x,其中α>0,β>0,a>1
• 当n→∞时，　　　　ln^αn<β<n<0,β>0,a>1

2、性质

• 有限个无穷大的积仍是无穷小
• 无穷大与有界变量的和仍是无穷小

3、无穷大量和无界变量的关系

• 数列{x_n}是无穷大量：∀M>0,∃N>0，当n>N时，恒有|x_n|>M
• 数列{x_n}是无界变量：∀M>0,∃N>0，使得|x_n|>M

4、无穷大量和无穷小量的关系

在同一极限过程中，如果f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小。反之，如果f(x)是无穷小，且f(x)≠0，则1/f(x)是无穷大

(六)、求极限

1、常用的基本极限

2、“1^∞”

若limα(x)=0，limβ(x)=∞，且limα(x)β(x)=A，则limα(x)β(x)=e^A

3、利用等价无穷小

• 乘除关系可以换：α(x) ~ α₁(x) ，β(x)~ β₁(x)，则limα(x)/β(x)=limα₁(x)/β(x)=limα(x)/β₁(x)=limα₁(x)/β₁(x)

• 加减关系在一定条件下可以换α(x)~ α₁(x)，β(x) ~ β₁(x)，且limα₁(x)/β(x)=A≠1，则α(x)-β(x)~ α₁(x)-β₁(x)

且limα₁(x)/β(x)=A≠-1，则α(x)+β(x)~ α₁(x)+ β₁(x)

常用的等价无穷小：

x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e_x-1

a_x-1~lna　　(1+x)^α-1~αx　　1-cosx~x²/2

x-sinx~ arcsinx-x~x³/6

tanx-x~ x-arctanx~x³/3

x-ln(1+x)~x²/2

4、洛必达法则

若limf(x)=limg(x)=0(∞)，且f(x)和g(x)在x0的某去心领域内可导，且g’(x)≠0，limf'(x)/g'(x)存在(或无穷)，则

• f(x)n阶可导：最多洛必达用到n-1阶，剩下的用导数的定义
• 若f(x)n阶连续可导：最多洛必达用到n阶

5、利用泰勒公式求极限（带有佩亚诺余项的泰勒公式）

其中R_n(x)=o(x-x₀)ⁿ

6、利用夹逼原理求极限

常用的不等式：

• x/(1+x)
• sinx
• x-1<[x]≤x

7、利用单调有界准则求极限(x_n+1=f(x_n))

• 利用单调有界准则证明极限存在
• 设limx_n=a，解方程

8、利用定积分定义求极限

第三节 函数的连续性

(一)连续性的概念

定义1、若

则称y=f(x)在点x₀处连续

(二)间断点及其分类

1、间断点的定义

若f(x)在x₀的某去心领域内有定义，但在x₀处不连续，则称x₀为f(x)的间断点

2、间断点的分类

1. 第一类间断点：左右极限均存在的间断点

• 可去间断点：左极限=右极限
• 跳跃间断点：左极限≠右极限

2. 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

(三)连续性的运算与性质

• 定理1、连续函数的和、差、积、商仍为连续函数

• 定理2、连续函数的复合仍为连续函数

• 定理3、基本初等函数在其定义域内是连续的

• 定理4、初等函数在其定义区间内是连续的

(四)闭区间上连续函数的性质

• 若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界

• 若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值

• 若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对f(a)与f(b)任意数C，至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=C

• 若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)*f(b)=0，则必存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0