百钱百鸡问题的最优解法

原题描述如下：

公元前五世纪，我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一只钱五，鸡母一只钱三，鸡雏三只钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
现要求你打印出所有花一百元买一百只鸡的方式。

解题思路

我假设公鸡、母鸡、小鸡各x、y、z只，那么满足下列条件：

x + y + z = 100

5x + 3y + z/3 = 100

我们能想到最简单粗暴的求解方法是，3层循环解决：

    for(int x = 0; x <= 20; x++) {
        for(int y = 0; y <= 25; y++) {
            for(int z = 0; z <= 100; z += 3) {
                if(x + y + z == 100 && 5 * x + 3 * y + z / 3 == 100) {
                    printf("%d %d %d\n", x, y, z);
                }
            }
        }
    }

这显然不是最优解题思路。

优化一

我们将第2个等式两边x3，得到等式3:

15x + 9y + z = 300

再将等式3与等式1相减，得到：

14x + 8y = 200

即：

7x + 4y = 100

与等式1比较，可得：

7x + 4y = x + y + z

即：

z = 6x + 3y

因此求解过程如下：

for(int x = 0; x <= 20;  x++)  {
    for(int y = 0; y <= 25; y++)  {
        if(7 * x + 4 * y == 100)  {
            int z = 6 * x + 3 * y;
            printf("%d %d %d\n", x, y, z);
        }
    }
}

此解法将3层循环优化为2层循环，我们进一步优化：

优化二

我们对等式7x+4y = 100稍加变换可以得到：

7x = 100 - 4y

可以得出如下结论：

• 100-4y是个偶数，且一定能被4整除
• 7x也是偶数，且能被4整除

因7是质数，故满足7x能被4整除的条件是，x是4的倍数,也就是x只能取范围只能是：
0,4,8,12

我们再变换一下得到：

• y = (100 - 7x) / 4
• z = 6x + 3y

因此，1层循环即可完成求解，代码如下：

for(int x = 0; x <= 12; x += 4) {
    int y = (100 - 7 * x) / 4;
    int z = 6 * x + 3 * y;
    printf("%d %d %d\n", x, y, z);
}

此解法的时间复杂度为：O(1)。