1.数理逻辑：基本概念

什么是数理逻辑

• 逻辑学是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由亚里士多德创立

• 亚里士多德：提出三段论

• 只要符合三段论就是正确的

• 大前提，小前提和结论

• 逻辑学还是以自然语言来描述，可能会因为自然语言的模糊性损害其准确

• 用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑

数理逻辑的四大分支

• 数学史上的第三次大危机是由于发现了集合论的逻辑悖论引起的

• 悖论的提出，促使了——公理集合论

• 为了证明数学的无矛盾行问题——证明论

• 递归论

• 模型论

命题

• 命题是数理逻辑中最基本的概念

• 最缺的的对象作出判断的陈述句称做命题

• 如果判断正确，称命题为真

• 真假是命题的固有属性——真值

• 三个识别要点

  • 陈述句

  • 判断

  • 确定的对象

真值是命题的固有属性

• 不过，是否知道真值，能否知道真值是另一回事

• 悖论不能作为命题，如“这句话是错的”

• 命题非真既假，不能兼而有之

• 非真既假，是一个基本假设？

排中律 (Law of Excluded Middle)

• 排中律是传统逻辑的基本规律之一

• “是非之间，必居其一”

• 任何一个事物在同一时间里具有某种属性或者不具有某种属性

  而无其他的可能

反证法与排中律

• 要证明一个命题为真，并不直接证明

• 而是假设命题不为真，推出矛盾；

• 根据排中律这个命题非假 ，即真，那么从而间接地证明了命题为真

直觉主义对排中律的质疑

• 直觉主义认为，数学的基础和出发点是人类直觉锁构造

• 数学力量可靠性依赖于心智上的可构造性

• 对命题真假的确定必须给出构造性证明

• 而反证法虽然对命题的反面推出矛盾

• 但不意味着命题本事具有构造性的证明

• 直觉主义否定排中律的普遍有效性

• 从有穷事物中概况出来的排中律，不能贸然推广到对无穷事物适用

• 涉及到有穷事物全体的命题，可以逐个验证

• 但一涉及到无穷事物，一般是无法检验

原子命题和复合命题

三个新概念：

• 逻辑联结

• 原子命题

• 复合命题

逻辑联结词有哪些 ： 与 或 非 ，如果那么， 当且仅当

对于逻辑和思维的过程进行形式化，使之像算数过程那样 非常地简单明了，而且确切无误

如何把命题变算式？

• 形象化第一步：抽象

• 仅关注命题的本质属性：真值

• 仅关注逻辑联结词的本质属性：真值计算

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• 命题的真值 ，1表示为true，0表示为false

• 逻辑联结词由真值表表示

注意： 或 可能表示排斥性选择

例如：人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛 ——排斥或 成为 抑或

---

蕴涵词 如果 那么 : →

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命题公式的组成成分

• 命题常元：常量

• 命题变元: 变量

• 命题公式: 命题常量+命题变元+逻辑联结词

命题公式的定义

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逻辑联结词优先级

![

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命题公式与真值函数

如果把联结词看作逻辑运算符，那么包含命题变元的公式可以看为是变元的一个真值函数

每个变元的取值范围是{0,1}

每个真值函数的取值范围也是{0,1}

赋值

• 对于给定的p1,p2...pn的一种取值状况组合，称为指派或者赋值

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真值表

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成真赋值 和 成假赋值

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自然语言句子的形式化

• 首先确定原子命题

• 其次确定联结词

• 最后处理命题之间的联结关系及顺序