张齐华的“平均数”一课概念为本的教学
作者:北京教育学院刘加霞
学生如何学习平均数这一重要概念呢?传统教学侧重于对所给数据(有时甚至是没有任何统计意义的抽象数)计算其平均数，即侧重于从算法的水平理解平均数，这容易将平均数的学习演变为一种简单的技能学习，忽略平均数的统计学意义。因此，新课程标准特别强调从统计学的角度来理解平均数。然而什么是“从统计学的角度”理解平均数?在教学中如何落实?如何将算法水平的理解与统计学水平的理解整合起来?如何将平均数作为一个概念来教?
下面以张齐华老师执教的“平均数”一课为例研究教学实践中如何解决上述问题。
将平均数作为一个重要概念来教，重点是要解决三个问题:为什么学习平均数?平均数这个概念的本质以及性质是什么?现实生活、工作等方面是怎样运用平均数的?张齐华老师执教的“平均数”一课正是从这三方面，并依据学生的认知特，点和生活经验实现从概念的角度理解平均数。
一、“概念为本”教学的核心:为什么学习平均数
1.凭直觉体验平均数的“代表性"。
平均数的统计学意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平。平均数不同于原始数据中的每一个数据(虽然碰巧可能等于某个原始数据)，但又与每一个原始数据相关，代表这组数据的平均水平。要对两组数据的总体水平进行比较.
就可以比较这两组数据的平均数，因为平均数具有良好的代表性，不仅便于比较，而且公平。
在张老师的课上，导人部分的问题一一1分钟投篮挑战赛一一虽然简单，但易于引发学生对平均数的“代表性”的理解:是用一次投篮投中的个数来代表整体水平还是用几次投篮中的某一次投中个数来代表整体水平呢?抑或是用几次投篮的总数来代表整体水平呢?
由于教师所选择的几组数据经过精心设计，同时各组数据的呈现方式伴随着教师的追问，使学生很好地理解了平均数的统计学意义。这些数据并不是一组一组地同时呈现，然后让学生分别计算其平均数，而是动态呈现，并伴随教师的追问，以落实研究每一组数据的教学目标。例如，先呈现小强第一次投中5个，然后追间: “小强对这一成绩似乎不太满意，觉得好像没有发挥出自己的真实水平，想再投两次。如果你是张老师，你会同意他的要求吗?”这样就使学生直觉体验到由于随机误差的原因仅用一"次的数据很难代表整体的水平，因此再给他两次投篮的机会。而小强的投篮水平非常稳定，三次都是5个。三次
数据都是“5"，这是教师精心设计的，核心是让学生凭直觉体验平均数的代表性，避免了学生不会计算平均数的尴尬。同样道理，第二组数据的呈现方式仍然先呈现一个，伴随教师的追问:“ 如果你是小林，会就这样结束吗?”这让学生体验一次数据，很难代表整体水平，但3、5. 4 到底哪个数据能代表小林的水平呢?教师设计这些活动的核心是让学生体验平均数的代表性。
2.两种计算方法的背后仍强化概念理解。
虽然会计算一组数据的平均数是重要的技能，但过多的、单纯的练习容易变成纯粹的技能训练，妨碍学生体会平均数在数据处理过程中的价值。计算平均数有两种方法，每种方法的教育价值各有侧重点，其核心都是强化对平均数意义的理解，非仅仅计算出结果。
在张老师的课上，利用直观形象的象形统计图(条形统计图也可以)，通过动态的“割补”来呈现“移多补少”的过程，为理解平均数所表示的均匀水平提供感性支撑。首先两次在直观水平上通过“移多补少”求得平均数，而不是先通过计算求平均数。这样做，强化平均数“匀乎、匀乎”的产生过程，是对平均数能刻画一一组数据的整体水平的进一步直观理解，避免学生原有思维定势的影响，即淡化学生对“平均分”的认识，强化对平均数意义而非算法的理解。
如何让学生理解平均数代表的是一组数据的整体水平，而不是平均分后某个体所获得的结呆呢?平均数与平均分既有联系更有区别，虽然二者的计算过程相同，但不同于前面所学的“平均分”，二者计算过程相同但各自的意义不同。
从问题解决角度看，“平均分”有两层含义:一是已知总数和份数，求每份数是多少;二是已知总数和每份数，求有这样的多少份，强调的是除法运算的意义，
解决的是“单位量”与“单位个数”的问题。而平均数则反映全部数据的整体水平，目的是比较两组数据的整体水平，强化统计学意义，数据的“个数”不同于前面所说的“份数”，是根据需要所选择的“样本”的个数。
因此张老师的教学中没有单纯地求平均数的练习，而是将学习平均数放在完整的统计活动中，在描述数据、进行整体水平对比的过程中深化“平均数是一种统计量”的本质，实现从统计学的角度学习平均数。例如，张老师在通过两种方法求出平均数之后，一再追问:“ 哪个数是哪几个数的平均数呢?”“这里的平均数4能代表小刚第一次投中的个 数吗?”“能代表小刚第二次、第三次投中的个数吗?”“那它究竟代表的是哪一次的 个数?”通过这样的追问，强化平均数的统计学意义。当然，如果在此现实问题中出现平均数是小数的情形更有助于学生理解平均数只刻画整体水平而不是真正的其中某一次投中的个数 (投中的个数怎么会是小数呢?不强调小数的意义，只出现简单小数，例如3. 5个)，
即有人所说的“平均数是一个虚幻的数”。学生对此理解需要比较长的“过程”,不是一节课就能达成的。
二、“概念为本”教学的深化:进一步理解平均数的本质及性质
初步认识了平均数的统计学意义后，张老师仍然进一步设计活动让学生借助于具体问题、具体数据初步理解平均数的性质，丰富学生对平均数的理解，也为学生灵活解决有关平均数的问题提供知识和方法上的支持。算术平均数有如下性质:
1.一组数据的平均数易受这组数据中每一个数据的影响，“稍有风吹草动”就能带来平均数的变化”，即敏感性。
2.一组数据的平均数介于这组数据的最小值与最大值之间。
3.一组数据中每一个数与算术平均数之差(称为离均差)的总和等于0，即:其中xi总是原始数据，x是这组数据的算术平均数。
4.给一组数据中的每一个数加上一个常数C， 则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数加上常数C。
5.一组数据中的每一个数乘上一个常数C,则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数乘常数C。
这些抽象的性质如何让小学生理解呢?张老师仍然是在巧妙的数据设计以及适时的把握本质的追问中让学生进一步深化对平均数性质的认识。数据设计的巧妙主要体现在:
首先，在统计张老师自己的投球水平时，张老师“搞特殊”，可以投四次。
基于前面学生对平均数的初步感知，学生认可用老师四次投中个数的平均数来代表老师的整体水平，但张老师在第四次投中多少个球上大做文章:前三次的平均数是5，那么老师肯定是并列第一了?一组数据中前三个数据大小不变，只是第四个数据发生变化，会导致平均数产生什么样的变化呢?在疑问与困惑(当然有很多学生是“清醒”的)中，教师首先出示了“极端数据二”(1个球)，进一步 深化学生对平均数代表性的理解，初步体验平均数的敏感性。
其次，假设张老师第四次投中5个、9个，张老师1分钟投球的平均数分别是多少?根据统计图直观估计、计算或者根据平均数的意义进行推理都能求出平均数，多种方法求解发挥了学生的才智，使学生的潜能得以发挥，体验成功感进而体验创造学习的乐趣。
再次，将张老师1分钟投球的三幅统计图同时呈现，让学生对比分析、独立思考再小组讨论。由于三幅统计图中前三个数据相同，只有第四个数据不同，学生能够进一步理解平均数的敏感性:任何一个数据的风吹草动，都会使平均数发生变化。学生发现平均数总是介于最小的数与最大的数之间:多的要移一些补给少的，最后平均数当然要比最大的小比最小的大了。学生还发现:“总数每增加4，平均数并不增加4，而是只增加1。”教师适时追问:“要 是这里的每一个数都增加4，平均数又会增加多少呢?还会是1吗?”
再进一步观察三幅统计图中的第一幅图，教师迫问:比较一下 超过平均数的部分与不到平均数的部分，你发现了什么?
生:超过的部分和不到的部分一样多，都是3个。
师:会不会只是一种巧合呢?让我们赶紧再来看看另两幅图吧?
通过进一步观察其他几幅统计图，学生真正理解了并用自己形象生动的语言描述出:“ 就像山峰与山谷‘样。把山峰切下来，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。”
在上述问题情境中，以“问题”为导向，借助于直观的统计图以及学生的估计或者计算，学生思维上、情感上经历一筹莫展、若有所思、茅塞顿开、悠然心会的过程，对平均数的意义以及性质都有了深切的体会。
有前述对平均数意义以及性质的了解，学生是否真正理解了平均数的概念呢?叙述出概念的定义或者会计算不等于真正理解某个概念，还要看能否在不同情境中运用概念。由于平均数这个概念对小学生而言是非常抽象的(如前所说，它是“虚幻的数”，学生不能具体看到)，平均数的背景也很复杂，如果学生能在稍复杂的背景下运用平均数的概念解决问题，说明学生初步理解了平均数。
因此，张老师设计了四个复杂程度不同的问题，即“纸带平均长短”“球员平均身高”“平均水深”“平均寿命”，这四个问题中的平均数的复杂程度不同。
前两个问题中的平均数比较简单，数据的个数都是有限个，而且又有直观图形做理解.上的支撑，因此前两个问题是简单应用平均数的性质一一离差之和为零，即有比平均数大的数据就一定有比平均数小的数据。学生可以借助于直观图形以及计算求出这两个问题中的平均数。在“纸带”问题中数据的呈现方式不同于前面，是横向呈现，但平均数的意义不变，淡化呈现形式强化意义理解，为学生理解平均数提供另一视角。 “球员平均身高”问题不是让学生计算球员的平均身高而是让学生借助平均数的性质进行推理判断，并通过学生熟悉的中国男子篮球队队员的平均身高以及姚明的特殊身高深化对平均数的理解。
最后两个情境的平均数是比较复杂的，是以样本的平均数代替总体的平均数。例如，平均水深到底是什么意思呢?可以是随机选取有限个点，测量这些点到水底的距离，再求这些距离的平均数作为池塘平均水深的代表值。同样，
2008年中国男性的平均寿命也是通过计算样本的平均年龄来表示全体中国男性的平均年龄。
真正理解这些平均数的意义对小学生而言有难度。因此，张老师在教学中呈现子池塘的截面图，并标注出五个距离，将复杂的问题简单化，使学生仍能借助于平均数的性质理解冬冬下水游泳仍有危险。通过平均数意义的强化，使学生能从数学的角度解释是否有危险，避免学生从其他角度解释。在解释男性平均寿命问题中，借助于学生亲人的年龄这样的特殊而具体的数据，来理解平均寿命是71岁不等于每个男人都活到71岁。但不是所有的学生都能借助于前面所学平均数的意义和性质来解释这些问题，学生很难真正理解这两个情境下的平均数的意义。
三、引发话题:培养学生的“统计概念”还是“数据分析概念”
《数学课程标准(实验稿)》中明确提出，学生学习统计与概率内容的重要目标是培养学生的统计观念。那么，统计观念的内涵是什么?是否能够培养小学生的统计观念?我们培养学生的应该是“统计观念”还是“数据分析观念”?
M.克莱因在其著作《西方文化中的数学》一书中谈到:宇宙是有规律、有秩序的，还是其行为仅仅是偶然的、杂乱无章的呢...人们对这些问题却有种种不同的解释，其中主要有两类答案:其一是18世纪形成的决定论观，认为这个世界是一个有序的世界，数学定律能明白无误地揭示这个世界的规律。直至目前，这种决定论的哲学观仍然统治着很多人的思想，支配着他们的信仰并指导其行动。但是这种哲学观受到了19世纪以来概率论、统计学的猛烈冲击，形成了一种新的世界观，即概率论观或统计论观，它认为自然界是混乱的、不可预测的，自然界的定律不过是对无序事件的平均效应所进行的方便的、暂时的描述。这就是众所周知的用统计观点看世界。陈希孺先生说:“ 统计规律的教育意义是看问题不可绝对化。习惯于从统计规律看问题的人在思想上不会偏执一端，他既认识到一种事物从总的方面看有其一定的规律性，也承认存在例外的个案，二者看似矛盾，其实并行不悖，反映了世界的多样性和复杂性。如果世界上的一切都被铁板钉钉的规律所支配，那么我们的生活将变得何等的单调乏味。
统计观念实际上是人的一一种世界观，是对人、生存空间甚至宇宙特点的看法，大多数成人仍坚守着决定论的观点，形成统计观点非常难。因此有研究者提出培养学生的“数据分析观念”比较切合学生的认知现实和教育现实。即认为数据分析观念包括:了 解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴涵信息的;了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体
验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析观念应该是态度目标的重要组成部分，态度目标的落实是在基本知识、基本技能的教学过程中完成的，一定要有学生的质疑、讨论分析、探究交流等过程，否则就是“说教”，很难使学生产生积极的情绪、情感，态度的形成也就流于形式。张老师这一课，以平均数的概念为本，让学生充分经历了前面所分析的“过程”，才能真正有态度的培养。
数据分析观念的培养，或者说对“态度”目标内涵的分析以及如何培养学生积极的态度，都是值得深人研究的课题。