《数值分析》-- 高斯消去法与矩阵三角分解法(LU分解)

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引言

1. 研究数值解法的必要性
   
   
2. 线性代数方程组的常用解法

• 直接法
  只包含有限次四则运算。在计算过程中不发生舍入误差的假定下，计算结果就是原方程组的精确解。（适用于小规模的n阶稠密线性方程组）
• 迭代法
  从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法(一般有限步内得不到精确解)。实现这一极限过程每一步的结果是把前一步所得的结果施行相同的演算步骤得到的。（适用于大规模的n阶稀疏线性方程组）
  Remark：由于运算过程中舍入误差的存在，实际上
  直接方法得到的解也是方程组的近似解。

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一、预备知识

1.1 矩阵基本运算和和行列式

1.2 矩阵的特征值和谱半径

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

• 特征值性质
  
  $tr(A)$为A 的迹。
  

• 注意
  

• 谱半径
  
  习题

1.3 特殊矩阵

• 对称正定矩阵
  

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二、Gauss消去法

• 方程组的矩阵表示