AcWing90. 64位整数乘法

题目

求 $a$ 乘 $b$ 对 $p$ 取模的值。

输入格式

第一行输入整数 $a$，第二行输入整数 $b$，第三行输入整数 $p$。

输出格式

输出一个整数，表示 a*b mod p 的值。

数据范围

$1\le a,b,p\le 10^{18}$

输入样例

3
4
5

输出样例

2

思路

C++ 内置的最高整数类型是 64 位，现在 $a\ast b$ mod $p$ 中的三个变量 $a,b,p$ 都在 $10^{18}$ 级别，则不存在一个可供强制转换的 128 位整数类型，需要一些特殊的处理办法。

类似快速幂的思想，把整数 $b$ 用二进制表示，即 $b=c_{k-1}{2}^{k-1}+c_{k-2}{2}^{k-2}+...+c_0{2}^0$，则 $a\ast b=c_{k-1}\ast a\ast 2^{k-1}+c_{k-2}\ast a\ast 2^{k-2}+...+c_0\ast a\ast 2^0$。

因为 $a\ast 2^i=(a\ast 2^{i-1})\ast 2$，若已求出 $a\ast 2^{i-1}$ mod $p$，则计算 $(a\ast 2^{i-1})\ast 2$ mod $p$ 时，运算过程中每一步的结果都不超过 $2\ast 10^{18}$，仍然在 64 位整数 long long 的表示范围内，所以很容易通过 $k$ 次递推求出每个乘积项。当 $c_i=1$ 时，把该乘积项累加到答案中即可。

时间复杂度为 $O(lo{g}_{2}b)$。

代码

#include 

using namespace std;

typedef long long ll;

ll mul(ll a, ll b, ll p) {
    
    ll ans = 0;
    
    while (b) {
        if (b & 1) ans = (ans + a) % p;
        b >>= 1;
        a = a * 2 % p;
    }
    
    return ans;
}

int main() {
    ll a, b, p;
    scanf("%lld%ld%lld", &a, &b, &p);
    printf("%lld\n", mul(a, b, p));
    return 0;
}