微分方程的阶:未知函数的最高阶导数的阶数
1.待定系数法:计算量大
2.拉普拉斯变换:较难
3.微分算子法:计算量小
一阶微分方程的一般形式: d y d x = f ( x , y ) \dfrac{dy}{dx}=f(x,y) dxdy=f(x,y)
y ′ = f ( x ) g ( y ) ⇨ d y d x = f ( x ) g ( y ) ⇨ d y g ( y ) = f ( x ) d x y'=f(x)g(y) \quad ⇨ \quad \dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y) \quad ⇨ \quad \dfrac{dy}{g(y)}=f(x)dx y′=f(x)g(y)⇨dxdy=f(x)g(y)⇨g(y)dy=f(x)dx
或能表示为 g ( y ) d y = f ( x ) d x g(y)dy=f(x)dx g(y)dy=f(x)dx的方程,称为可分离变量的方程
分析:变量可分离
答案: y = C x e − x ( C 为任意常数 ) y=Cxe^{-x}(C为任意常数) y=Cxe−x(C为任意常数) 写微分方程的通解,要注意对C声明:C为任意常数。在填空和大题步骤里要注意!
分析:非线性微分方程,注意区分是一阶还是二阶。
一阶非线性:变量可分离
二阶非线性:可降阶
答案: y = 3 e x − 2 y=\sqrt{3e^x-2} y=3ex−2
齐次方程: d y d x = f ( y x ) \dfrac{dy}{dx}=f(\dfrac{y}{x}) dxdy=f(xy)
求解方法:化为可分离变量,令 u = y x u=\dfrac{y}{x} u=xy,则 y = x u y=xu y=xu, d y d x = u + x d u d x \dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx} dxdy=u+xdxdu
分析:
易错点:ln(lnu-1)=lnx+C。两边取对数应该得到 lnu-1=Cx,而不是x+c,不要错把答案写成 y=x·ex+2
答案: x ⋅ e 2 x + 1 x·e^{2x+1} x⋅e2x+1
y和y’都是一次,则为线性
y = C ⋅ e − ∫ P ( x ) d x y=C·e^{-\int P(x)dx} y=C⋅e−∫P(x)dx
y = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ) y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C) y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)
例题1:11年10.
答案: e − x ⋅ s i n x e^{-x}·sinx e−x⋅sinx
例题2: d x d y \dfrac{dx}{dy} dydx
分析:
法1:化出 d y d x \dfrac{dy}{dx} dxdy,发现什么类型都不是。考虑x,y对调。化出 d x d y \dfrac{dx}{dy} dydx
法2:凑成 全微分方程
求解步骤: u = y 1 − n u=y^{1-n} u=y1−n
注:
(1)n≠0,1:若n为0,则变为一阶线性。若n为1,则变为可分离变量
(2)求解步骤:
两边同时除以 y n y^n yn得: y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\dfrac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)
可以看出, d ( y 1 − n ) d x = ( 1 − n ) y − n d y d x \dfrac{d(y^{1-n})}{dx}=(1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx} dxd(y1−n)=(1−n)y−ndxdy,左边项只差 ( 1 − n ) (1-n) (1−n)。
两边同乘 ( 1 − n ) (1-n) (1−n),得: ( 1 − n ) y − n d y d x + ( 1 − n ) P ( x ) y 1 − n = ( 1 − n ) Q ( x ) (1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx}+(1-n)P(x)y^{1-n}=(1-n)Q(x) (1−n)y−ndxdy+(1−n)P(x)y1−n=(1−n)Q(x)
令 u = y 1 − n u=y^{1-n} u=y1−n,得: d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x ) \dfrac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)
再用一阶非齐次微分方程 公式即可求解伯努利方程
u = e − ∫ ( 1 − n ) P ( x ) d x ( ∫ ( 1 − n ) Q ( x ) e ∫ ( 1 − n ) P ( x ) d x d x + C ) = y 1 − n u=e^{-\int (1-n)P(x)dx}(\int (1-n)Q(x)e^{\int (1-n)P(x)dx}dx+C)=y^{1-n} u=e−∫(1−n)P(x)dx(∫(1−n)Q(x)e∫(1−n)P(x)dxdx+C)=y1−n,解得 y y y
例题1:
1.定义:如果 d u ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,即右端是某个函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的全微分,则称 P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 为全微分方程。
2.判断标准
∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ Q ( x , y ) ∂ x \dfrac{∂P(x,y)}{∂y}=\dfrac{∂Q(x,y)}{∂x} ∂y∂P(x,y)=∂x∂Q(x,y)
3.求解方法:
(1)偏积分
(2)凑微分
(3)线积分
4.通解形式:
u ( x , y ) = C u(x,y)=C u(x,y)=C
例题2:24李林880 第七章 基础题 填空(5)
若给定的一阶微分方程不属于上述五种标准形式,则:
①将x,y对调,变为x(y)
②利用简单的变量代换
二阶微分方程的一般形式: y ′ ′ = f ( x , y , y ′ ) y''=f(x,y,y') y′′=f(x,y,y′)
累次积分
令 y ′ = p , y ′ ′ = d p d x y'=p\ ,\ y''=\dfrac{dp}{dx} y′=p , y′′=dxdp,原式化为一阶微分方程 d p d x = f ( x , p ) \dfrac{dp}{dx}=f(x,p) dxdp=f(x,p)
y ′ = d y d x = p ( x ) , y ′ ′ = p ′ = d p d x y'=\dfrac{dy}{dx}=p(x)\ , \ y''=p'=\dfrac{dp}{dx} y′=dxdy=p(x) , y′′=p′=dxdp
令 y ′ = p , y ′ ′ = p d p d y y'=p\ ,\ y''=p\dfrac{dp}{dy} y′=p , y′′=pdydp
y ′ = d y d x = p , y ′ ′ = d p d x = d p d y ⋅ d y d x = p ⋅ d p d y y'=\dfrac{dy}{dx}=p \ , \ y''=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}·\dfrac{dy}{dx}=p·\dfrac{dp}{dy} y′=dxdy=p , y′′=dxdp=dydp⋅dxdy=p⋅dydp
例题1:02年3. y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y′) 不显含x
答案: y = x + 1 y=\sqrt{x+1} y=x+1
例题2:23李林六套卷(四)13. y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y′) 不显含x
分析:
答案: y = 1 2 x 2 + x + 1 y=\dfrac{1}{2}x^2+x+1 y=21x2+x+1
二阶线性微分方程的一般形式: y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)
若 f ( x ) ≡ 0 f(x)≡0 f(x)≡0,称为二阶线性齐次方程。否则称为二阶线性非齐次方程。
二阶线性齐次方程 : y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 y''+p(x)y'+q(x)y=0 y′′+p(x)y′+q(x)y=0
二阶线性非齐次方程: y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)
定理1:若 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) y_1(x),y_2(x) y1(x),y2(x) 是 二阶齐次方程 的 两个线性无关的特解,则二阶齐次的通解为 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)
【若为三阶方程,则通解要找3个线性无关的特解。若为n阶方程,则通解要找n个线性无关的特解】
定理2:非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解,即 y = Y + y ∗ y=Y+y^* y=Y+y∗
一阶非齐次通解:1个齐次解+特解
二阶非齐次通解:2个齐次解+特解, y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + y ∗ y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^* y=C1y1(x)+C2y2(x)+y∗
三阶非齐次通解:3个齐次解+特解
n 阶非齐次通解:n 个齐次解+特解
定理3:非齐次的两个特解之差,是齐次的解:
若 y 1 ∗ ( x ) , y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x),y_2^*(x) y1∗(x),y2∗(x)均为非齐次线性微分方程的解,则 y 1 − y 2 y_1-y_2 y1−y2为齐次解
定理4:非齐次解的叠加性
y 1 + y 2 2 \dfrac{y_1+y_2}{2} 2y1+y2为非齐次的解
例题1:线性常系数,知道解 找方程
分析:非齐次的解 → 齐次的两个线性无关解、非齐次简单的特解 → 齐次的特征方程 → 齐次方程 → 非齐次的通解
例题3:13年10. 二阶非齐次通解:两个齐次通解 + 1个非齐次特解
二阶通解:2个齐次解+特解
齐次解1: y = y 2 − y 3 = e x y=y_2-y_3=e^x y=y2−y3=ex
齐次解2: y = y 1 − y 3 = e 3 x y=y_1-y_3=e^{3x} y=y1−y3=e3x
特解: y 3 = − x e 2 x y_3=-xe^{2x} y3=−xe2x
二阶通解: C 1 e x + C 2 e 3 x − x e 2 x C_1e^x+C_2e^{3x}-xe^{2x} C1ex+C2e3x−xe2x (C₁,C₂为任意常数)
答案: C 1 e x + C 2 e 3 x − x e 2 x C_1e^x+C_2e^{3x}-xe^{2x} C1ex+C2e3x−xe2x (C₁,C₂为任意常数)
例题4:例题:09年10.
1.特征方程: r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0
二阶常系数线性微分方程找通解的问题,可以归结为,特征方程找特征根的问题
①二阶齐次通解: y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x), (C₁,C₂为任意常数)
②四阶齐次通解: y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + C 3 y 3 ( x ) + C 4 y 4 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+C_3y_3(x)+C_4y_4(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)+C3y3(x)+C4y4(x), (C₁,C₂,C₃,C₄为任意常数)
2.求通解步骤:
①写出特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0 ,求出 两个特征根 r 1 r₁ r1和 r 2 r₂ r2
②根据特征根是不等实根、相等实根、共轭复根,写出微分方程的通解
两个特征根 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2 | 微分方程 y ′ ′ + p y + q = 0 y''+py+q=0 y′′+py+q=0的通解 | 特征根对应的通解项 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)、 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x) |
---|---|---|
(1)不等实根: r 1 ≠ r 2 r_1≠r_2 r1=r2 | y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r₁x}+C_2e^{r₂x} y=C1er1x+C2er2x | e r 1 x 、 e r 2 x e^{r_1x}、e^{r_2x} er1x、er2x |
(2)相等实根: r 1 = r 2 = r r_1=r_2=r r1=r2=r | y = ( C 1 + C 2 x ) e r x y=(C_1+C_2x)e^{rx} y=(C1+C2x)erx | e r x 、 x e r x e^{rx}、xe^{rx} erx、xerx |
(3)共轭复根: r 1 , 2 = α ± β i r_{1,2}=α±βi r1,2=α±βi | y = e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) y=e^{αx}(C_1\cosβx+C_2\sinβx) y=eαx(C1cosβx+C2sinβx) | e α x cos β x 、 e α x sin β x e^{αx}\cosβx、e^{αx}\sinβx eαxcosβx、eαxsinβx |
答案: e − x ( C 1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ) ( C 1 , C 2 为任意常数) e^{-x}(C_1\cos\sqrt{2}x+C_2\sin\sqrt{2}x)(C_1,C_2为任意常数) e−x(C1cos2x+C2sin2x)(C1,C2为任意常数)
分析:给一个二阶,能求出通解。将通解代入第二个二阶,就能确定两个C的取值,从而求出特解。
解第一个二阶线性微分方程,得通解 y = C 1 e − 2 x + C 2 e x y=C_1e^{-2x}+C_2e^x y=C1e−2x+C2ex
求得 y ′ , y ′ ′ y',y'' y′,y′′,代入第二个二阶,解得系数 C 1 = 0 , C 2 = 1 C_1=0,C_2=1 C1=0,C2=1
将系数代入通解,则特解为 y = e x y=e^x y=ex
答案: e x e^x ex
例题3:2010年数二 :三阶常系数齐次 :通解项的结论,推广至更高阶同样适用
分析:
答案: y ′ ′ − 2 y ′ + 2 y = 0 y''-2y'+2y=0 y′′−2y′+2y=0
分析:本题比较有技巧性
答案: n + a m n+am n+am
例题6:16年16. 二阶常系数线性微分方程 + 反常积分、用特征方程求二阶齐次微分方程的解
答案:
二阶非齐次通解: y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + y ∗ ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)+y∗(x)
1.求解二阶非齐次步骤:
(1)求齐次通解:写出齐次的特征方程,求出齐次的通解
(2)求非齐次特解:
设特解为 y ∗ = x k Q m ( x ) e λ x y^*=x^kQ_m(x)e^{λx} y∗=xkQm(x)eλx。确定k,照抄λ,待定 Q m ( x ) Q_m(x) Qm(x)。确定特解y*
令 y ∗ = x k Q m ( x ) e λ x y*=x^kQ_m(x)e^{λx} y∗=xkQm(x)eλx, k = { 0 , λ 不是特征方程的根 1 , λ 是特征方程的单根 2 , λ 是特征方程的重根 k=\left\{\begin{aligned} 0 & \quad ,λ不是特征方程的根 \\ 1 & \quad ,λ是特征方程的单根 \\ 2 & \quad ,λ是特征方程的重根 \end{aligned}\right. k=⎩ ⎨ ⎧012,λ不是特征方程的根,λ是特征方程的单根,λ是特征方程的重根
(3)根据解的结构: y = Y + y ∗ y=Y+y^* y=Y+y∗
例题3:10年15. 二阶非齐次微分方程的通解的解结构:y=Y+y*
答案:
分析:
由齐次的通解 y = ( C 1 + C 2 x ) e x y=(C_1+C_2x)e^x y=(C1+C2x)ex知, λ 1 = λ 2 = 1 λ_1=λ_2=1 λ1=λ2=1
则特征方程为 ( λ − 1 ) 2 = λ 2 − 2 λ + 1 = 0 ∴ a = − 2 , b = 1 (λ-1)^2=λ^2-2λ+1=0 \quad ∴a=-2,b=1 (λ−1)2=λ2−2λ+1=0∴a=−2,b=1
∴二阶非齐次方程为 y ′ ′ − 2 y ′ + y = x y''-2y'+y=x y′′−2y′+y=x
属于(Ⅰ)型,设特解 y ∗ = c x + d y*=cx+d y∗=cx+d,则 y ∗ ′ = c , y ∗ ′ ′ = 0 y*'=c,y*''=0 y∗′=c,y∗′′=0
代入原二阶非齐次微分方程,得 − 2 c + c x + d = x -2c+cx+d=x −2c+cx+d=x, { − 2 c + d = 0 c = 1 \left\{\begin{aligned} -2c+d=0 \\ c=1 \end{aligned}\right. {−2c+d=0c=1 解得 { c = 1 d = 2 ∴ y ∗ = x + 2 \left\{\begin{aligned} c=1\\ d=2 \end{aligned}\right. \quad∴y*=x+2 {c=1d=2∴y∗=x+2
∴非齐次的通解=齐次通解+非齐次特解= y = ( C 1 + C 2 x ) e x + x + 2 y=(C_1+C_2x)e^x+x+2 y=(C1+C2x)ex+x+2
代入初始条件 y ( 0 ) = 2 , y ′ ( 0 ) = 0 y(0)=2,y'(0)=0 y(0)=2,y′(0)=0 得 { C 1 = 0 C 2 = − 1 \left\{\begin{aligned} C_1= \quad0 \\ C_2=-1 \end{aligned}\right. {C1=0C2=−1
∴符合初始条件的解为 y = − x e x + x + 2 y=-xe^x+x+2 y=−xex+x+2
答案: y = − x e x + x + 2 y=-xe^x+x+2 y=−xex+x+2
(1)求特解
令 y ∗ = x k e α x [ R m ( x ) cos β x + R m ( x ) sin β x ] y^*=x^ke^{αx}[R_m(x)\cosβx+R_m(x)\sinβx] y∗=xkeαx[Rm(x)cosβx+Rm(x)sinβx]
m = max { l , n } m=\max\{l,n\} m=max{l,n}
k = { 0 , α ± i β 不是特征方程的根 1 , α ± i β 是特征方程的单根 k=\left\{\begin{aligned} 0 & \quad ,α±iβ不是特征方程的根 \\ 1 & \quad ,α±iβ是特征方程的单根 \end{aligned}\right. k={01,α±iβ不是特征方程的根,α±iβ是特征方程的单根
分析:
解的叠加性, f 1 ( x ) = x 2 + 1 f_1(x)=x^2+1 f1(x)=x2+1。 f 2 ( x ) = sin x f_2(x)=\sin x f2(x)=sinx,α=0,β=1
齐次特征方程: r 2 + 1 = 0 r^2+1=0 r2+1=0, r 1 , 2 = 0 ± i r_{1,2}=0±i r1,2=0±i,α=0,β=1
可设特解 y 1 ∗ = a x 2 + b x + c y_1^*=ax^2+bx+c y1∗=ax2+bx+c,可设特解 y 2 ∗ = x ( A cos x + B sin x ) y_2^*=x(A\cos x+B\sin x) y2∗=x(Acosx+Bsinx)
答案:D
1.n阶欧拉方程 (线性变系数)
x n y ( n ) + a 1 x n − 1 y ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 x y ′ + a n y = f ( x ) x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1y^{(n-1)}}+...+a_{n-1}xy'+a_ny=f(x) xny(n)+a1xn−1y(n−1)+...+an−1xy′+any=f(x)
2.二阶欧拉方程: x 2 y ′ ′ + p x y ′ + q y = 0 x²y''+pxy'+qy=0 x2y′′+pxy′+qy=0
3.求解方法:(通过变量代换 x = e t x=e^t x=et,将线性变系数,化为线性常系数)
令 x = e t x=e^t x=et,则 t = ln x , d t d x = 1 x = e − t t=\ln x,\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{x}=e^{-t} t=lnx,dxdt=x1=e−t
① d y d x = d y d t ⋅ 1 e t \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}·\dfrac{1}{e^t} dxdy=dtdy⋅et1,即 y ′ ( x ) = y ′ ( t ) ⋅ 1 e t y'(x)=y'(t)·\dfrac{1}{e^t} y′(x)=y′(t)⋅et1
② y ′ ′ ( x ) = [ y ′ ′ ( t ) − y ′ ( t ) ] ⋅ 1 e 2 t y''(x)=[y''(t)-y'(t)]·\dfrac{1}{e^{2t}} y′′(x)=[y′′(t)−y′(t)]⋅e2t1
③ y ( x ) = y ( t ) y(x)=y(t) y(x)=y(t)
4.结论: x k y ( k ) = D ( D − 1 ) . . ( D − K + 1 ) y x^ky^{(k)}=D(D-1)..(D-K+1)y xky(k)=D(D−1)..(D−K+1)y
D = d d t D=\dfrac{d}{dt} D=dtd, D 2 = d 2 d t 2 D^2=\dfrac{d^2}{dt^2} D2=dt2d2, D y = d y d t Dy=\dfrac{dy}{dt} Dy=dtdy, D 2 y = d 2 y d t 2 D^2y=\dfrac{d^2y}{dt^2} D2y=dt2d2y
① x 2 y ′ ′ ( x ) x^2y''(x) x2y′′(x) = D ( D − 1 ) y = D 2 y − D y = d 2 y d t 2 − d y d t = =D(D-1)y=D^2y-Dy=\dfrac{d^2y}{dt^2}-\dfrac{dy}{dt}= =D(D−1)y=D2y−Dy=dt2d2y−dtdy= y ′ ′ ( t ) − y ′ ( t ) y''(t)-y'(t) y′′(t)−y′(t)
② x y ′ ( x ) xy'(x) xy′(x) = D y = d y d t = =Dy=\dfrac{dy}{dt}= =Dy=dtdy= y ′ ( t ) y'(t) y′(t)
③ y ( x ) = y ( t ) , t = ln x y(x)=y(t),t=\ln x y(x)=y(t),t=lnx
分析:
欧拉方程结论:
x 2 y ′ ′ ( x ) = y ′ ′ ( t ) − y ′ ( t ) , x y ′ ( x ) = y ′ ( t ) , y ( x ) = y ( t ) , t = ln x x^2y''(x)=y''(t)-y'(t),xy'(x)=y'(t),y(x)=y(t),t=\ln x x2y′′(x)=y′′(t)−y′(t),xy′(x)=y′(t),y(x)=y(t),t=lnx
答案: y = C 1 x + C 2 x 2 ( x > 0 , C 1 , C 2 为任意常数 ) y=\dfrac{C_1}{x}+\dfrac{C_2}{x^2}(x>0,C_1,C_2为任意常数) y=xC1+x2C2(x>0,C1,C2为任意常数)
例题2:21年13.
分析:
答案: ( C 1 + C 2 ln x ) x ( x > 0 , C 1 C 2 为任意常数 ) (C₁+C₂\ln x)x \quad (x>0,C₁ C₂为任意常数) (C1+C2lnx)x(x>0,C1C2为任意常数)