多项式归纳

总而言之，多项式中的题目基本上三板斧就能够解决：设出合适的形式、带余除法运用、利用根和互素性。

合适的形式

什么叫做合适的形式，以我目前的水平还无法用几句话来概括，只能列举几个例题来说明：
例1.设是整系数多项式，且.则不存在整数使得
Tips:对于多项式的设法最关键的就是能够充分把题目信息包含进去，学了数值分析中，遇到这种问题总是会冒出插值的想法，然而插值并无法保证整系数这一点，所以设为

例2.设为任一正整数，证明的充要条件为
Tips:令设来进一步做，或设出的标准分解式

例3.为数域上的不可约多项式
(1)且与有一公共复根，则
(2)若及都是的根，是的任一根，证明也是的根
Tips:设

例4.求所有满足条件：的实系数多项式
Tips:设,满足条件的

例5.设为素数，证明在有理数域上不可约
Tips:大胆设，不要怕写出具体形式。

例6.证明：设为互不相同的整数，则在上不可约。

例7.求一个次多项式使得能被整除，而能被整除

例8.设是数域，且，利用构造一个次数为的可约多项式

带余除法的运用

遇到表达成什么形式的题目，一般要带余除法和互素性相结合来解题。
例9.设是两两互素的多项式，是数，证明：存在多项式满足
Tips:其中构造出的具有高度的对称性，其构造过程值得好好品味，令

例10.设表示有理数域上的多项式的集合。是某一有理系数多项式的根。令
证明：
(1)在中存在一个首项系数为1的多项式，使得，都有
(2)是有理数域上的不可约多项式
(3)若，求
分析：这种存在性问题一般先根据其具有的性质写出大方向，再进一步证明。
证明：(1)由条件知非空，不妨设中最小次数且首一的多项式为，那么令其中且或若则可得即是比次数更小的满足条件多项式，与取法矛盾，从而得到
(2)反设可约由可推得或与取法矛盾
(3)

利用根和互素性

例11.设多项式，则的重根为的根

例12.设，证明：存在使得