【洛谷 P1990】覆盖墙壁 题解（动态规划）

覆盖墙壁

题目描述

你有一个长为 $N$ 宽为 $2$ 的墙壁，给你两种砖头：一个长 $2$ 宽 $1$，另一个是 L 型覆盖 $3$ 个单元的砖头。如下图：

0  0
0  00

砖头可以旋转，两种砖头可以无限制提供。你的任务是计算用这两种来覆盖 $N\times 2$ 的墙壁的覆盖方法。例如一个 $2\times 3$ 的墙可以有 $5$ 种覆盖方法，如下：

012 002 011 001 011  
012 112 022 011 001

注意可以使用两种砖头混合起来覆盖，如 $2\times 4$ 的墙可以这样覆盖：

0112
0012

给定 $N$，要求计算 $2\times N$ 的墙壁的覆盖方法。由于结果很大，所以只要求输出最后 $4$ 位。例如 $2\times 13$ 的覆盖方法为 $13465$，只需输出 $3465$ 即可。如果答案少于 $4$ 位，就直接输出就可以，不用加前导 $0$，如 $N=3$ 时输出 $5$。

输入格式

一个整数 $N$，表示墙壁的长。

输出格式

输出覆盖方法的最后 $4$ 位，如果不足 $4$ 位就输出整个答案。

样例 #1

样例输入 #1

13

样例输出 #1

3465

提示

数据保证，$1\le N\le 1000000$。

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思路

f[i] 表示铺满前 i 列的方法数。
g[N] 表示铺满前 i 列，第 i+1 列只铺一格的方法数。

作图法求状态转移方程。

对于f[x]

f[i - 1]

f[i - 2]

g[i - 3]

有两种情况。

对于g[x]

以 g[i - 3] 为例。

f[i - 3]

g[i - 3]

得

g[i - 2] = f[i - 3] + g[i - 3];

化简得

g[i] = f[i - 1] + g[i - 1];

状态转移方程：

f[i] = f[i - 1] + f[i - 2] + 2 * g[i - 2];
g[i] = f[i - 1] + g[i - 1];

用列举法不难得到初始情况下f[1]、f[2]、g[1]和g[2]的值。

使用 %10000 来保证结果只包含最后4位。

注意：每次计算动态转移方程后需要立即取模，否则WA。

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AC代码

#include 
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e7 + 5;
const int M = 10000;

// 铺满前i列
int f[N];
// 铺满前i列，第i+1列只铺一格
int g[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    f[1] = 1;
    f[2] = 2;
    g[1] = 1;
    g[2] = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++)
    {
        f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2] + 2 * g[i - 2]) % M;
        g[i] = (f[i - 1] + g[i - 1]) % M;
    }
    cout << f[n] % M << endl;
    return 0;
}