EOF经验正交分解（PCA）

EOF经验正交分解（PCA）

1.PCA与EOF的区别和联系

1. 经验正交函数分析方法(empirical orthogonal function，缩写EOF)也称特征向量分析(eigenvector analysis)，或者主成分分析(principal component analysis)，是一种分析矩阵数据中的结构特征，提取主要数据特征量的一种方法。可以知道这两者是同一种分析方法，只是称号不同。

2. 两者叫法不同，主要是关注的侧重点不同。

   ​ 在EOF中，我们更加关注得到的协方差矩阵的特征向量，也叫做空间特征向量(空间模态)。第i个特征向量就叫做第i个模态：EOF_{i}。空间模态在一定程度上反映了要素场的空间分布特点，如果是针对气象数据的计算，那么就是重新拟合的要素场或者说是模态。PC（主成分）对应时间变化，也称为时间系数，反映相应空间模态随时间的权重变化。

   ​ 在PCA中，主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，也叫主成分。

​ 从数学上可以证明，原变量协方差矩阵的特征根是主成分的方差，所以前m个较大特征根就代表前m个较大的主成分方差值；原变量协方差矩阵前m个较大的特征值(这样选取保证主成分的方差依次最大)所对应的特征向量就是主成分表达式的系数，为了加以限制，系数对应的特征向量进行了单位化。看完后面再看

2.数学原理与算法

• 选定要分析的数据，进行数据预处理，通常处理成距平的形式，得到一个数据矩阵。m代表单个数据有m个维度，n代表时间上采样n次。
  

• 计算X与其转置矩阵的交叉积，得到方阵
  
  如果X是已经处理成距平的话，则C称为协方差矩阵；如果X已经标准化（即C中每行数据的平均值维0，标准差为1），则C称为相关系数阵。

• 计算方阵C的特征值()和特征向量，二者满足
  
  其中是维对角阵，即
  
  一般将特征值从大到小排列，反映各个主成分重要性。==因为数据X是真实的观测值，所以应该大于或者等于0==。每个非零特征值对应的一列特征向量就是EOF。如对应的特征向量值称为第一个EOF模态，也就是V的第一列即;第k个特征值对应的特征向量为V的第k列，也叫做第k个模态。

• 计算主成分。将EOF投影到原始数据矩阵X上，就得到所有空间特征向量对应的时间系数（即主成分），即
  
  其中PC中每行数据就是对应每个特征向量的时间系数，第一行就是第一个EOF的时间系数，其他类推。

上面是对数据矩阵X进行计算得到的EOF的主成分(PC)，因此利用EOF和PC也可以完全恢复原来的数据矩阵X，即

有时可以用前面最突出的几个EOF模态就可以完全拟合出矩阵X的主要特征，此外，EOF和PC都具有正交性的特点，可以证明 ；即不同的PC之间相关性为0。同时各个模态之间相关为0，是独立的。

3.常用的计算方法

1. 直接使用eig方法

   [EOF, E] = eig(C)
   

   其中EOF为计算得到的空间特征向量，E为特征根。

2. 直接对矩阵X进行奇异值分解