量子计算与量子密码（入门级-少图版）

写在最前面

写这篇博客，记录这段不一样的学习经历（6W+字预警*）
少图版：原文由于图片上床图床导致链接过多，因此质量分只有60
原文：https://blog.csdn.net/wtyuong/article/details/133973128

纯英文PPT，上课的时候一边有道查单词，一边写笔记。不管听没听懂，单词量提高了不少hh
老师课上板书也是仔细清晰，还给我们发了打印和手写的标答，帮助更好地理解和掌握知识
后面复习的时候去图书馆借阅了相关的书籍，发现老师还是手下留情了。平时的作业和测验主要是帮助理解概念，没有刻意考察（难为）我们
开卷考试，考试过程中又理解了一些概念，启发式考题设计的好妙（虽然不太会
能跟随这样一位优秀的老师 学习量子密码这种望而生畏的课程 真的很幸运

很有意思的一门课，感觉即使之后不从事与量子计算和量子密码直接相关的工作，学习这些仍然提供广泛的知识和认知收益，帮助更好地理解未来科技发展趋势，加深对信息安全和计算原理的理解，激发（劝退）对新兴科技和跨学科研究的兴趣。

一些可能带来的有趣的知识和潜在的收获

如果之后不尝试相关研究，下面是一些可能带来的有趣的知识和潜在的收获：

1. 理解量子计算原理：将学习到量子计算的基本原理，包括量子比特、叠加、纠缠等概念。这将增加对未来计算领域的理解。
2. 学习量子算法：了解一些重要的量子算法，如Shor算法（用于因数分解）和Grover算法（用于搜索问题），这些算法在某些情况下能够比传统计算更快地解决问题。
3. 理解安全通信原理：学习如何利用量子物理学原理来确保安全通信。有助于理解密码学和网络安全的基本原理。
4. 了解量子密钥分发：探索量子密钥分发协议，它们可以提供更高级别的安全性，防止未经授权的访问和数据泄漏。
5. 未来网络安全：了解量子密码对未来网络安全的潜在影响，特别是在面对量子计算破解传统加密方法的挑战时。
6. 跨学科知识和应用潜力：量子密码融合了物理学、计算机科学和数学等多个领域的知识，这有助于培养跨学科思维能力。了解量子计算的潜在应用领域，如材料科学、化学、金融和人工智能等。更好地了解未来可能出现的新兴行业和职业机会。

参考：https://learn.microsoft.com/zh-cn/azure/quantum/concepts-multiple-qubits

注：前六章考前复习，后面几章主要围绕考点展开复盘

1、Introduction导言

四个特性

量子力学的革命性性质是什么
What are the revolutionary properties ofquantum Mechanics

不确定性（自由意志论）Indeterminism

经典力学和量子力学之间最基本的区别是，经典力学是一个确定性的理论:
给定一个系统当前状态的完美知识，它在过去和未来的所有时间的状态，原则上是可计算的。
The most fundamental distinction between classical and quantum mechanics is that classical mechanics is a deterministic theory:
given perfect knowledge of the current state of a system, its state at all past and futuretimes is, in principle, calcuiable.

在经典力学中，概率只用于描述一个人的知识不完整的情况。
相比之下，量子力学只对概率做出声明。
In classical mechanics,probabilities are used only to describe situations whereone’s knowledge is incomplete.
By contrast,quantum mechanics makes statements only about probabilities.

如果对几个完全相同的系统进行相同的测量，一般情况下，人们不能期望得到相同的结果。
If the same measurement is performedon several identically prepared systems, one cannot in general expect the same 'outcome.

这并不是因为缺少所描述系统的信息;
相反，这是因为“测量”的结果本质上是不可预测的。
This is not because welack information about the systems described;
rather, it isbecause the outcome of the 'measurement is inherentlyunpredictable.

不确定性Uncertainty

海森堡不确定性原理提出，它表明在量子力学中，无法同时精确确定粒子的位置和动量。这改变了我们对自然界的确定性观念，引入了随机性和概率性的概念。

叠加原理(线性)superposition (linearity)

叠加原理允许多个量子态以线性方式叠加，使得粒子可以同时处于多个状态。这一性质在量子计算和量子信息处理中具有重要意义，因为它允许处理大规模的信息并进行并行计算。

纠缠entanglement

纠缠是一种奇特的现象，其中两个或多个粒子之间存在特殊的相互依赖关系。改变一个粒子的状态会立即影响与之纠缠的粒子的状态，即使它们之间距离很远。这一性质在量子通信和量子密码学等领域具有重要应用，也挑战了经典物理的观点。

虚数的常见基本运算

虚数通常用符号 “i” 或 “j” 来表示，它定义为满足以下条件的数：$i^2=-1$

1. 加法和减法：
   $$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$
   $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

2. 乘法：
   $$(a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

3. 除法：
   $$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)\cdot (c-di)}{c^2+d^2}$$

4. 共轭复数：
   $$\text{共轭复数： }\overline{a+bi}=a-bi$$

5. 模：
   $$\text{模： }|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$$

6. De Moivre 定理：
   $$(r\cdot e^{i\theta }{)}^n=r^n\cdot e^{in\theta }$$

欧拉公式（Euler’s Formula）：

欧拉公式的三角函数形式表示如下：
$$e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$$

可以将欧拉公式表示为三角函数的复数幂形式：

$$\cos (\theta )=\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$$
$$\sin (\theta )=\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$$

矩阵的常见基本运算

1. 矩阵加法：对应位置的元素相加
   $$C=A+B$$
   $$C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$$

2. 矩阵减法：对应位置的元素相减。
   $$D=A-B$$
   $$D_{ij}=A_{ij}-B_{ij}$$

3. 矩阵乘法：需要满足维度匹配规则。对于两个矩阵$A（m\times n）$和$B（n\times p）$，有
   $$C=A\cdot B$$
   $$C_{ij}=\sum _{k=1}^n{A}_{ik}\cdot B_{kj}$$

4. 矩阵与标量的乘法：将矩阵的每个元素与一个标量相乘
   $$B=k\cdot A$$
   $$B_{ij}=k\cdot A_{ij}$$

5. 矩阵的转置：将矩阵的行与列互换得到的新矩阵
   $$A^T$$

6. 矩阵的逆：
   $$A^{-1}$$

酉矩阵U和厄米矩阵H

1. 酉矩阵（Unitary Matrix）：
   如果一个矩阵M的共轭转置等于其逆矩阵，那么它被称为酉矩阵。通常使用符号U来表示酉矩阵。表示一个特定的酉矩阵U：

   $$U^{\ast }=U^{-1}$$

2. 厄米矩阵（Hermitian Matrix）：
   如果一个矩阵M的共轭转置等于它自己，那么它被称为厄米矩阵。通常使用符号H来表示厄米矩阵。表示一个特定的厄米矩阵H：

   $$H^{\ast }=H$$

2、Enter into the quantum world进入量子世界

The Qubit

量子比特，通常称为Qubit（quantum bit），是量子计算和量子信息科学中的基本单位。与经典计算中的比特（0和1）不同，量子比特可以处于多种状态的叠加，这是量子计算的基础。

Qubit的基本性质

2. 叠加和纠缠：
   与经典比特只能处于0或1状态不同，Qubit可以处于这两种状态的叠加态。这意味着Qubit可以同时处于0和1状态，具有更大的信息容量。此外，Qubit之间还可以发生量子纠缠，其中两个或多个Qubit的状态变得相互依赖，无法单独描述。

3. 测量：
   当对一个Qubit进行测量时，它会坍缩到其中一个基本状态（0或1）上，而且这个过程是随机的，受到α和β的概率幅度影响。这种性质使得量子计算与经典计算有所不同，可以进行并行计算。

4. 量子门：
   类似于经典计算中的逻辑门，量子计算中有量子门操作。量子门可以改变Qubit的状态，实现不同的量子计算操作。一些常见的量子门包括Hadamard门、CNOT门、以及Pauli-X、Pauli-Y和Pauli-Z门等。

5. 应用领域：
   量子比特的特性使得它们在密码学、材料科学、优化问题和模拟量子系统等领域具有潜在的重要应用。最引人注目的应用之一是量子计算，它可以在某些情况下执行经典计算无法完成的任务，如量子因子分解和量子搜索算法。

Qubit是量子信息科学的基础，其独特性质使得量子计算和通信具有巨大的潜力，可能在未来解决一些复杂问题和加强加密安全性。

Qubit的基本概念

Qubit是量子信息处理的基本单元，类似于经典计算中的比特。一个Qubit可以表示为一个线性组合，通常用数学表示为：

$$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$$

其中，α和β是复数，|0⟩和|1⟩分别表示Qubit在状态0和1时的基本状态。

在数学上，|0⟩和|1⟩可以表示为一个列向量，通常写作：

$$|0⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$
$$|1⟩=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

在量子力学中，$|0⟩$ 表示量子比特（Qubit）处于其基本状态 0。这个列向量表示 Qubit 的状态，其中第一个元素 1 表示 Qubit 处于状态 0，而第二个元素 0 表示 Qubit 不处于状态 1。

Qubit的基本性质

$$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$$ 是关于量子比特（Qubit）状态的波函数表示，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是复数，通常是复数振幅。这个波函数表示满足以下性质：

1. 归一性（Normalization）： 波函数必须是归一化的，即 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$。这确保了Qubit的总概率是1，因为概率守恒。

2. 线性组合： 波函数是两个基本状态 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 的线性组合，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是线性系数。这意味着Qubit可以同时处于这两种状态的叠加。

3. 复振幅： $\alpha$ 和 $\beta$ 是复数，表示了Qubit处于不同状态的幅度和相位信息。这是量子计算中的一个关键特性，使得Qubit具有比经典比特更多的表达能力。

4. 概率幅度： $|\alpha {|}^2$ 表示Qubit处于状态 $|0⟩$ 的概率，而 $|\beta {|}^2$ 表示Qubit处于状态 $|1⟩$ 的概率。这些概率幅度是测量Qubit时处于相应状态的概率。

5. 复共轭： 复数 $\alpha$ 和 $\beta$ 的复共轭分别表示为 ${\alpha }^{\ast }$ 和 ${\beta }^{\ast }$，用于计算Qubit的共轭转置态 $|{\psi }^{\ast }⟩$。

6. 叠加态： 当 $\alpha$ 和 $\beta$ 都不为零时，$|\psi ⟩$ 是叠加态，这意味着Qubit同时具有状态 $|0⟩$ 和 $|1⟩$，并且测量Qubit时会坍缩到其中一个状态，根据概率幅度的大小。

这个波函数表示是描述量子比特状态的一种方式，其性质在量子计算和量子信息理论中非常重要。它允许Qubit在经典比特无法实现的方式中进行计算，这是量子计算的基础。

The Beamspilter量子分束镜

量子分束镜实验

量子分束镜实验是一种重要的实验，用于探索和展示量子力学中的干涉和分离效应。这些实验通常涉及到使用量子光学元件，如量子分束镜，来研究和操作单光子和量子态。

1. Young’s 双缝实验： 一个经典的量子分束镜实验是Young’s 双缝实验的量子版本。在这个实验中，单个光子发射到一个具有两个狭缝的屏幕，然后通过量子分束镜。根据量子力学的性质，光子会同时通过两个缝，形成干涉图案，就像波动性质一样。

2. 单光子干涉： 量子分束镜实验通常侧重于研究单个光子的行为。这意味着实验被设计成在单光子水平上操作，以研究光子的干涉、叠加和分离效应。这揭示了量子力学中粒子和波动性质的相互关系。

3. Hong-Ou-Mandel 实验： 这是另一个重要的量子分束镜实验，用于探索光子对撞的量子性质。在这个实验中，两个光子被发送到一个量子分束镜，它们通过不同的通道并在一个探测器上发生碰撞。经典情况下，我们期望它们会同时到达探测器。然而，根据量子力学，它们倾向于碰撞在一起，表现出粒子性的互斥效应。

4. 波导分束镜实验： 波导分束镜是用于光子传导的波导系统中的量子分束镜。这些实验通常包括将光子引导到不同的波导通道，以实现分束、合并和控制光子，这对于量子通信和量子计算具有关键意义。

5. 量子信息科学： 量子分束镜实验在量子信息科学中具有广泛的应用，包括量子计算、量子通信、量子密钥分发和量子干涉实验。它们有助于研究和展示量子态的奇特性质，如叠加态和纠缠态。

实验1

光子源（Photon Source）： 这是一个用于产生单个光子的装置。光子通常产生自发射二极管（SPDC）等特定光源。这个实验中，光子源用于创建一对纠缠的光子，其中一个光子称为 “信号光子”，另一个称为 “同步光子”。

分束镜（Beam Splitter）： 量子分束镜是一个用于将入射的光束分成两个方向的光学器件。在这个实验中，它通常用于将信号光子和同步光子分开，让它们进入不同的路径。

一对光子探测器（Pair of Photon Detectors）： 这是两个光子探测器，用于检测信号光子和同步光子。这些探测器可以分别测量光子的到达时间和位置，以及光子的极化或能量等信息。这些探测器通常用于验证光子之间的纠缠关系。

考虑粒子在不同路径上的输入情况时：

1. 将粒子引入上分支： 当粒子（例如，光子）被引入分束镜的上分支时，根据量子力学的性质，粒子有一定的概率在上分支通过分束镜，而有一定的概率在下分支通过分束镜。这是量子干涉的结果。因此，实验结果观察到的是粒子在输出端口上分支和下分支中以随机的方式出现。

2. 将粒子引入下分支： 同样地，如果将粒子引入下分支，实验的结果仍然会观察到类似的行为。粒子将有一定的概率通过下分支和一定的概率通过上分支。因此，不论粒子是从上分支还是下分支输入，实验观察到的输出将以相等的概率出现在两个分支中。

这种随机性和分支的等概率出现是典型的量子干涉效应。这些效应表明，在量子级别，粒子可以同时存在于多个路径上，因此它们以概率分布的方式出现在不同的输出通道中。体现量子力学中一些基本概念的体现，如叠加态和概率幅度。

实验2

涉及到一个与量子干涉和量子光学有关的系统，其中包括一对分束镜和完全反射镜。光子可以沿两条不同的路径（标为0和1）传播。这种类型的实验通常用于探索光子的量子性质和在不同路径上的干涉效应。

1. 光子源： 实验开始于一个光子源，产生一对纠缠的光子。

2. 分束镜1： 第一个分束镜用于将一对光子分开，其中一个光子传播到路径0，另一个传播到路径1。

3. 完全反射镜： 在路径0和路径1上，存在完全反射镜，这些镜子可以将光子完全反射，使其在路径上来回传播。

4. 分束镜2： 第二个分束镜用于重新将两个光子合并，它们可能会在路径0和路径1上发生干涉。

5. 探测器： 最后，可以放置光子探测器来检测合并后的光子，观察它们的到达时间和可能的干涉效应。

这种实验通常用于研究量子干涉和光子的量子性质。光子被分离并重新合并，因此它们可以同时存在于不同路径上，产生干涉效应。实验的结果显示出不同路径上的光子的干涉模式，这是量子力学的重要现象之一。

实验结果表明，尽管根据经典概率理论，光子应该以均等的概率分布在两个检测器之间
但实际的观测结果是光子总是被检测到一个检测器，而不是以随机的方式分布在两个检测器之间。这是一个经典的“二值结果”（binary outcome）或“全部或无”的现象。

这种现象通常与光子的量子性质以及光学干涉效应相关。在某些情况下，当两条光子路径之间存在相位差（phase difference）或其他量子相互作用时，光子会以“全部或无”的方式倾向于被检测到。这是量子纠缠和干涉的结果。

在这种情况下，观测结果可能符合某种量子态，例如纠缠态或相干态，使得光子总是被检测到一个特定的检测器。这种现象对于量子信息科学和量子计算中的应用非常重要，因为它可以用于构建量子门操作和量子比特。

要理解这一现象的具体原理，需要深入研究实验的详细参数和量子态的性质。这种“全部或无”的结果通常涉及到量子力学的奇特性质，如纠缠、叠加和相位差，而不是传统的经典概率分布。这强调了量子力学与经典物理之间的根本差异，是量子信息科学的核心。

实验3：涵盖了量子力学中的重要概念，包括波粒二象性、叠加态和观测效应。

1、量子粒子不遵循经典物理中的直觉规则。它突显了量子力学的非经典性质
根据量子力学，粒子（如光子、电子、原子等）确实表现出“双重性质”，即它们似乎同时“走两条路径”。这是波粒二象性的核心概念，允许粒子在某种程度上表现出波动性质和粒子性质。
即使一个光子“选择”了上分支，它的波函数仍包括了下分支的贡献，因为它存在于叠加态中。当下分支被阻挡时，干涉效应仍然会影响光子，因为它的波函数在不同路径之间存在相互作用。

2、观测会坍缩粒子的波函数，从而确定其位置或状态。
当尝试确定粒子在双缝实验等实验中“究竟走了哪条路径”时，这个观测过程本身会影响结果。这是观测效应的经典例子，被称为“双缝干涉实验中的哥伦布效应”（Complementarity in the double-slit experiment）。通过观测，你迫使粒子在实验中表现得像经典粒子一样，只走一条路径，而不是像波一样在两条路径上叠加。

Quantum Model

Analysing the beamsplitter

当一个量子系统处于叠加态时，测量的结果是根据量子振幅的模的平方来确定的。这正是为什么在具有相等振幅的叠加态中，有相等的概率观测到不同的状态。

如果一个光子处于叠加态 |a0⟩ + |a1⟩：

1. 观测到 |0⟩ 的概率：

   • LaTeX表示：$$P(|0⟩)=|a_0{|}^2$$

2. 观测到 |1⟩ 的概率：

   • LaTeX表示：$$P(|1⟩)=|a_1{|}^2$$

3. 概率之和为1：

   • LaTeX表示：$$|a_0{|}^2+|a_1{|}^2=1$$

这些公式描述了光子处于叠加态时的测量概率，其中振幅的模的平方决定了观测到相应状态的概率。

当振幅满足概率归一化条件时，观测结果将总是在 |0⟩ 或 |1⟩ 中之一，且概率之和为1。
这解释了为什么在经典的50/50分束镜中，每个路径上的振幅都是1/√2，以获得两个路径的50/50观测概率。

Fundamental Assumptions基本假设

Linearity线性性

1. 加法性（Additivity）：

   • 如果一个操作对一个量子态产生效应A，对另一个量子态产生效应B，那么它对这两个态的叠加态也会产生效应A加B。换句话说，操作在态的叠加上是可加的。

   LaTeX表示：$$O(A)+O(B)=O(A+B)$$

根据线性性的原则，我们可以推导出分束镜对任何叠加态 a|0⟩ + b|1⟩ 的作用：

1. 分束镜(|0⟩) = (|0⟩ + |1⟩) / √2
2. 分束镜(|1⟩) = (|0⟩ - |1⟩) / √2

因此，分束镜作用在 a|0⟩ + b|1⟩ 上将得到：

$$\text{分束镜}\left(a|0⟩+b|1⟩\right)=a\cdot \text{分束镜}(|0⟩)+b\cdot \text{分束镜}(|1⟩)$$

将上述两个公式代入右侧，我们可以计算分束镜对叠加态 a|0⟩ + b|1⟩ 的作用。这是量子力学中线性性的一个示例，它是对操作如何作用于叠加态的关键原则之一。

2. 乘法性（Homogeneity）：

   • 如果一个操作对一个量子态产生效应A，那么它对该态的所有倍数（标量）也会产生效应aA，其中a是复数。

   LaTeX表示：$$O(aA)=aO(A)$$

Unitarity概率守恒

不仅涉及到线性性，还要求操作是幺正的。在量子力学中，Unitarity 是一个关键原则，它确保操作在量子态上保持概率守恒。Unitary 操作满足以下两个关键条件：

• 概率守恒： Unitary 操作保持概率守恒，即如果一个系统在初始状态下是一个概率归一化的态，那么经过 Unitary 操作后，系统仍然处于概率归一化的态。

$$\sum |c_i{|}^2=1$$

其中，$c_i$ 是量子态的幅度。

• 可逆性： Unitary 操作是可逆的，它有一个逆操作，将系统从操作后的状态还原到原始状态。

$$U\cdot U^{†}=U^{†}\cdot U=I$$

分束镜对 |0⟩ 和 |1⟩ 的作用，这是 Unitary 操作的一个示例，并强调了它保持概率守恒。

Matrix formalism

使用矩阵符号表示的量子力学，也称为Matrix Formalism，是一种用于描述和计算量子系统行为的数学工具。以下是关于Matrix Formalism 的一些重要概念：

1. 量子态和态矢量： 在Matrix Formalism中，量子态通常表示为一个列矢量，称为态矢量（State Vector）或态矢（Ket）。例如，对于一个具有两个可能状态的量子比特，|0⟩ 和 |1⟩，我们可以使用如下的态矢量表示：

   $$|\psi ⟩=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]$$

   其中，α和β是复数振幅，代表了量子比特处于 |0⟩ 和 |1⟩ 状态的概率振幅。

2. 操作和算符： Matrix Formalism中的量子操作和观测通常由矩阵表示，称为算符（Operator）。算符作用于态矢量，以描述系统的演化或测量。例如，泡利 X 算符表示对量子比特的逻辑非（NOT）操作：

   $$X=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

   其中，X 矩阵作用于态矢量 |0⟩ 和 |1⟩，实现了逻辑非操作。

3. 叠加态和幺正演化： Matrix Formalism中的叠加态可以表示为多个态矢量的线性组合。例如，一个处于叠加态的两量子比特系统可以表示为：

   $$|\psi ⟩=\alpha |00⟩+\beta |01⟩+\gamma |10⟩+\delta |11⟩$$

   这个态可以使用矩阵运算来描述其演化，例如通过幺正演化算符，使其在时间演化中保持概率守恒。

4. 测量和测量算符： 量子测量可以通过测量算符来描述，这些算符对量子态进行投影，并得到测量结果。例如，对于一个单量子比特的测量算符 M，测量结果为 0 或 1，可以表示为：

   $$M_0=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],M_1=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

   这里，M0 和 M1 是对应于测量结果 0 和 1 的测量算符。

通过使用矩阵运算和线性代数技巧，我们可以精确地描述和预测量子态的演化和测量结果。

共轭转置"（conjugate-transpose）

在量子力学和线性代数中，"共轭转置"（conjugate-transpose）是一个操作，通常用符号†表示，它结合了两个操作：共轭和转置。

1. 共轭（Conjugate）： 对于复数，共轭操作是将一个复数的虚部取负，即将复数 a + bi 的共轭为 a - bi。对于量子力学中的态矢量和算符，共轭是将复数振幅的每个元素都取共轭。

2. 转置（Transpose）： 转置操作是将矩阵的行和列交换，即将矩阵的第 i 行变为第 i 列。对于复数矩阵，转置不会改变每个元素的共轭。

因此，"共轭转置"操作将复数振幅的每个元素取共轭，并将矩阵的行和列交换。对于复数矩阵 A，其共轭转置通常表示为 A†。

在量子力学中，共轭转置操作常用于描述算符的厄密共轭（Hermitian Conjugate），这是一个重要的概念，特别是在描述测量和算符的性质时。共轭转置操作还在量子态的演化和态矢量的描述中发挥关键作用，因为它保持了内积和态矢量的概率归一化，从而确保概率守恒。

the conjugate-transpose (Some simple manipulation)概率条件

共轭转置（conjugate-transpose）在量子力学中的“概率条件”是指对于一个算符，当其应用于一个态矢量后，该算符的共轭转置与其自身的乘积等于单位算符。这一条件与量子力学中的概率守恒和测量有关，因为它确保了测量后的概率分布保持不变。

具体来说，对于一个算符 A，其共轭转置通常表示为 A†。概率条件表述为：

$$A\cdot A^{†}=A^{†}\cdot A=I$$

其中，A表示该算符，A†表示其共轭转置，I表示单位算符。这个条件强调了以下几点：

Unitarity via matrices

Unitarity（幺正性）在矩阵表示中是一个重要的概念，特别在量子力学中。Unitarity 确保了操作的可逆性和概率守恒。

对于一个操作矩阵 U，它被认为是 unitary 如果其共轭转置等于其逆矩阵。这可以表示为：

$$U^{†}U=U{U}^{†}=I$$

其中，U† 表示 U 的共轭转置，I 是单位矩阵。这个条件有几个重要含义：

1. 概率守恒： Unitary 矩阵保持概率守恒。如果 U 用于描述量子系统的演化，那么对于任何初始态，系统的总概率分布在演化后仍然为1。这是因为 U 和 U† 的乘积等于单位矩阵，它保持了概率归一化条件。

2. 可逆性： Unitary 操作是可逆的，它有一个逆操作 U^-1，将系统从操作后的状态还原到原始状态。

3. 保持内积不变： Unitary 操作保持量子态之间的内积（内积在量子力学中与概率幅度相关）不变。这是因为 U 和 U† 的乘积等于单位矩阵，它保持了内积的值。

Unitary 矩阵通常用于表示量子门操作，描述量子系统的演化，并在量子计算和量子信息处理中发挥重要作用。

分束器实验描述

Beamspilter Quantum Circuits

一个量子比特可以用单条线表示。这条线上的箭头表示了量子比特的叠加态。

线路表述：

Hadamard门

它通常用于创建相等的叠加态。Hadamard门的矩阵表示如下：

$$H=(1/sqrt(2))\ast |11||1-1|$$

Hadamard门是量子计算中的一种基本逻辑门，用于将一个量子比特从基本状态 |0⟩ 和 |1⟩ 转换为相等的叠加态。它的作用是：

$H|0⟩=(1/sqrt(2))\ast (|0⟩+|1⟩)$

$H|1⟩=(1/sqrt(2))\ast (|0⟩-|1⟩)$

Hadamard门在量子计算中具有重要的应用，特别是在创建和操作量子叠加态时。它用于将经典位操作扩展到量子位，以实现量子计算中的各种算法和任务。与光学中的分束器（beamsplitter）相比，Hadamard门更常用于量子计算中，因为它在量子电路中更容易实现和操作。

φ门

φ门，也称为相位门（Phase Gate），有时也被称为相位延迟门。
相位门的主要作用是改变量子比特的相位，同时保持振幅不变。

它的矩阵表示如下，其中 $\phi$ 表示相位角度：

$$\text{Phase Gate (P)}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\phi }\end{array}\right)$$

其中，φ（φ为相位角度）表示引入的相位变化。φ门常用于量子算法和量子信息处理中，以实现相位控制和相位翻转等操作。这个门在量子计算中发挥重要作用，特别是在量子相位估计、量子编码和量子算法中。

门计算

在量子电路和量子计算的表示中，通常有以下惯例：

1. 电路图示： 量子电路图通常是从左到右阅读的，表示操作按顺序应用于量子比特。输入态从左边进入电路，输出态从右边出来。这种表示法使得电路的流程和顺序更容易理解。

2. 方程和数学表达式： 方程和数学表达式通常是从右到左阅读的。这是因为量子操作通常按照线性代数的规则进行组合。例如，如果有一个操作 A，然后是操作 B，它们按照数学表达式的顺序表示为 B * A，其中 B 先应用于 A。

Multiple qubits

多量子比特系统是量子计算的核心。在量子计算中，多个量子比特可以组合在一起形成复杂的量子态，并允许执行并行计算和量子纠缠等现象。

1. 多量子比特表示： 在多量子比特系统中，每个量子比特可以处于叠加态的组合，例如 |00⟩、|01⟩、|10⟩、|11⟩ 等。这些状态表示多量子比特的组合。一个 N 量子比特系统有 2^N 个可能的状态。

2. 量子纠缠： 多量子比特系统的一个重要特性是量子纠缠。当多量子比特之间存在相互依赖的关系时，它们可以处于纠缠态，其中一个比特的状态受其他比特的状态影响，即使它们之间存在空间距离。

3. 并行计算： 多量子比特系统具有并行计算的潜力。通过操作多个量子比特，可以同时处理多个计算任务，这在某些情况下可以显著提高计算速度。

4. 多量子比特门： 多量子比特系统使用多量子比特门进行操作，这些门可以实现比单量子比特门更复杂的计算。例如，CNOT门（控制非门）用于实现量子纠缠和量子通信。

5. 量子算法： 多量子比特系统为实现特定的量子算法提供了潜力。著名的Shor算法和Grover算法等都涉及多量子比特的运算。

3、Quantum Circuit量子电路

Tensor Product张量积

在量子电路中，张量积（Tensor Product）是用于描述多个量子比特之间的组合和相互作用的数学工具。张量积通常表示为符号 ⊗。下面是关于张量积在矩阵运算中的应用的介绍：

1. 单量子比特张量积： 如果有两个单量子比特，它们可以通过张量积组合在一起。对于两个单量子比特 A 和 B，它们的张量积表示如下：

   $$A\otimes B=\left[\begin{array}{cc}{A}_{00}B& A_{01}B\\ A_{10}B& A_{11}B\end{array}\right]$$

   这种操作将两个单量子比特的状态组合成一个复合系统的状态。

2. 多量子比特张量积： 对于多个量子比特，它们的状态可以通过连续的张量积组合在一起。例如，对于三个单量子比特 A、B 和 C，它们的张量积表示如下：

   $$A\otimes B\otimes C=(A\otimes B)\otimes C$$

   这种组合方式可用于描述多量子比特系统的状态。

3. 张量积与矩阵运算： 在量子电路中，张量积也用于表示多量子比特系统上的操作。例如，如果有一个二量子比特门操作 U 作用在两个量子比特上，它的作用可以表示为：

   $$U=U_A\otimes U_B$$

   其中，$U_A$ 是操作作用在量子比特 A 上的矩阵，$U_B$ 是操作作用在量子比特 B 上的矩阵。通过将它们的张量积计算，可以得到 U 的矩阵表示。

张量积在量子计算中非常重要，用于表示多量子比特系统的状态和操作。

tensor product (cont)

张量积（Tensor Product）是量子力学和量子计算中的重要概念，用于描述多个量子比特之间的组合和相互作用。继续讨论张量积的应用：

4. 张量积与纠缠态： 张量积在描述纠缠态时发挥关键作用。当两个或多个量子比特纠缠在一起时，它们的状态可以用张量积来表示。例如，两个单量子比特 A 和 B 的纠缠态可以表示为：

   $$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)=\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩\otimes |0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩\otimes |1⟩$$

   这表示两个量子比特之间存在纠缠关系，它们的状态不能被分解为各自的独立态。

5. 张量积与量子操作： 在量子计算中，量子操作通常作用在多个量子比特上。这些操作可以通过张量积来表示。例如，一个控制非门（CNOT）操作，其中一个量子比特是控制比特，另一个是目标比特，可以表示为：

   $$\text{CNOT}=|0⟩⟨0|\otimes I+|1⟩⟨1|\otimes X$$

   这表示控制非门同时对两个量子比特进行操作，其中 |0⟩ 和 |1⟩ 是控制比特的态，I 是单位矩阵，X 是Pauli-X门。

6. 多量子比特系统的状态： 多量子比特系统的状态可以用张量积来表示。例如，一个三量子比特系统的状态可以写为：

   $$|\psi ⟩=|a⟩\otimes |b⟩\otimes |c⟩$$

   这表示三个量子比特的状态独立组合在一起。

张量积在量子计算中用于处理多量子比特系统的状态、操作和相互作用，它是量子力学的数学基础之一。通过张量积，可以描述和处理复杂的多量子比特系统，这对于量子计算和量子通信等领域至关重要。

Classical Circuits经典电路

在量子电路中，经典电路（Classical Circuits）是用于经典位的计算和逻辑操作的电路，与量子电路相对。

1. 经典位（Classical Bits）： 经典电路中的信息通常由经典位表示，它们只有两个可能的状态，通常用 0 和 1 来表示。

2. 逻辑门（Logic Gates）： 经典电路使用不同的逻辑门来执行各种计算和逻辑操作。

   • 与门（AND Gate）：表示两个输入位的逻辑与操作。
     $$\text{AND}(x,y)=x\cdot y$$

   • 或门（OR Gate）：表示两个输入位的逻辑或操作。
     $$\text{OR}(x,y)=x+y$$

   • 非门（NOT Gate）：表示一个输入位的逻辑非操作。
     $$\text{NOT}(x)=\overline{x}$$

   • 异或门（XOR Gate）：表示两个输入位的逻辑异或操作。
     $$\text{XOR}(x,y)=x\oplus y$$

3. 布尔代数（Boolean Algebra）： 经典电路通常遵循布尔代数的规则，其中经典位可以进行布尔运算，如与、或、非、异或等。这些运算用于设计和分析经典电路。
   将一组输入变量映射到一个二进制输出值。下面是一些常见的布尔函数表达和标准形式：

• 布尔函数表达式（Formula）： 布尔函数可以用布尔表达式表示，其中使用逻辑运算符（如与 “&”、或 “v”、非 “一”）来定义函数的行为。例如，布尔函数 $f(x_1,x_2)=(x_1\&x_2)\vee (\neg x_1\vee x_2)$ 表示当 $x_1$ 等于 $x_2$ 时返回 1，否则返回 0。这是一种直接的方式来表示布尔函数。

• 析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）： DNF 是一种标准形式，用于表示布尔函数。它表示为多个子句的析取，每个子句是由多个变量及其否定组成的合取。例如，$(x_1\&x_2)\vee (\neg x_1\&x_2)\vee (x_1\&\neg x_2)$ 是一个布尔函数的 DNF 表示。

• 合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）： CNF 是另一种标准形式，也用于表示布尔函数。它表示为多个子句的合取，每个子句是由多个变量及其否定组成的析取。例如，$(x_1\vee \neg x_2)\&(\neg x_1\vee x_2)\&(x_1\vee x_2)$ 是一个布尔函数的 CNF 表示。

在将一个量子电路 A 转换为另一个量子电路 B 时，可以按照以下方法进行：

1. 每个门转化为电路： 首先，确保电路 A 中的每个量子门可以被转化为一个等效的电路。这意味着每个门都必须有一个对应的电路表示。这通常涉及到将门的功能拆分为更基本的操作，然后构建等效的电路。

2. 使用电路替代门： 一旦每个门都有了等效的电路表示，那么可以使用这些电路来构建电路 B，而不是使用电路 A 中的原始门。这意味着将电路 A 中的门替换为等效的电路。

3. 高效率的： 这个过程通常是高效的，因为等效电路的构建可以根据电路 A 中的门的类型和功能进行自动化。这种转换可以通过计算机程序来完成，以确保精确性和效率。

这种转换的主要目的是将一个量子电路表示方式转化为另一种，以满足不同的需求或优化目的。这可以在量子算法的设计和优化中发挥关键作用，确保电路的正确性和高效性。

Reversibility可逆性

可逆性（Reversibility）是量子电路中的一个重要概念，它表示一个量子操作（门）可以完全逆转，不会导致信息的丧失。这一性质对于量子计算和信息处理至关重要。

1. 可逆性概念： 一个量子操作是可逆的，如果它可以完全逆转，不会导致信息的丧失。这意味着对于每个可能的输出状态，存在唯一的逆操作将其映射回输入状态。

2. 可逆操作的数学表示： 可逆操作通常表示为一个矩阵 $U$，其中存在逆矩阵 $U^{-1}$，使得 $U^{-1}U=U{U}^{-1}=I$，其中 $I$ 是单位矩阵。这表示 $U$ 的操作可以被逆操作 $U^{-1}$ 完全撤销。

3. 可逆性的公式表示： 可逆操作的数学公式可以表示为：

   $$U{U}^{-1}=U^{-1}U=I$$

   这个公式强调了可逆操作和逆操作之间的关系，以及它们的乘积等于单位矩阵。

4. 示例： 例如，Hadamard 门（H门）是一个可逆操作，其矩阵表示为：

   $$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$

   H门是可逆的，因为存在逆操作 $H^{-1}$，满足 $H{H}^{-1}=H^{-1}H=I$。

可逆性是量子计算的一个基本原则，因为它确保计算的可逆性和信息的保持。在量子计算中，几乎所有操作都是可逆的，以确保计算的可撤销性。这对于量子算法和量子通信非常重要。

可逆门

可逆门（Reversible gates）是一类能够保持信息完整性的逻辑门，其中每个可能的输入都与一个唯一的输出相对应。在量子计算和量子电路中，可逆门是至关重要的，因为它们允许信息的精确反演，无论是在经典还是量子计算中。

以下是使门可逆的要求和特点：

1. 唯一映射： 可逆门必须是一种唯一的映射，其中每个可能的输入都与一个唯一的输出相对应。这意味着不能有两个不同的输入映射到相同的输出。

2. 输出数量等于输入数量： 如果一个门接受 n 个输入位，那么它必须产生 n 个输出位。这是因为门的功能必须是一对一的，以确保信息的无损传递。

3. 排列（Permutation）： 任何可逆门都是一个排列，它将输入的排列（一种有序的排列方式）映射到输出的排列。因此，可逆门实际上是排列群的一部分，其中每个排列都是一种双射（bijective）。

4. 标准逻辑门： 大多数传统的标准逻辑门（如 AND、OR、XOR）是不可逆的，因为它们不满足上述条件。这些门通常不具备唯一映射和等输入输出数量的特性。

在量子计算中，可逆门是基本的操作，它们被用于构建量子电路，以确保计算的可撤销性和信息完整性。因此，可逆门在量子计算中起到关键作用。

Garbage collection 垃圾收集

在量子计算中，垃圾收集（Garbage collection）是一个重要的概念，它涉及到清除不再需要的量子比特（qubit）以释放资源并维护计算的正确性。垃圾收集是确保量子计算正确性和资源有效利用的关键步骤。以下是垃圾收集的概念以及数学表示：

1. 垃圾收集概念： 在量子计算中，垃圾收集是指清除不再需要的量子比特或其他计算资源的过程。这些不再需要的资源可能是在计算的中间阶段产生的，但在后续计算中不再使用。垃圾收集旨在释放这些资源，以便它们可以被重新分配给其他操作或存储。

2. 垃圾收集的数学表示： 垃圾收集通常通过适当的量子门和操作来实现。其数学表示可以用以下公式表示：

   $$\text{Garbage Collection}(q_1,q_2,\dots ,q_n)=U(q_1,q_2,\dots ,q_n)$$

   这里，$q_1,q_2,\dots ,q_n$ 表示不再需要的量子比特，而 $U(q_1,q_2,\dots ,q_n)$ 表示将这些量子比特清除的垃圾收集操作。这个操作通常会将不再需要的量子比特重新设置为初始状态，以确保它们不会影响后续计算。

3. 垃圾收集的重要性： 垃圾收集是量子计算中的一个重要概念，因为量子比特的数量和资源是有限的。正确的垃圾收集可以确保计算的正确性和效率，防止不必要的资源泄漏。

垃圾收集是量子计算中的关键操作，它确保了计算的正确性和资源的有效利用。在实际的量子算法和电路设计中，垃圾收集是一个重要的优化和管理方面。

兰道尔原理（Landauer’s Principle）

是以物理学家Rolf Landauer的名字命名的，它是热力学和信息理论领域的一项基本原理。它建立了信息理论和热力学之间的联系，通过确定信息擦除和能量散失之间的关系。

兰道尔原理陈述了这样一个事实：任何不可逆的计算，擦除一个比特的信息，必须散失最少数量的能量，具体是以热的形式。这个最小的能量散失被称为兰道尔极限，它可以用以下公式表示：

$$E=kT\ln (2)$$

其中：

• E 是最小的能量散失（以焦耳为单位）。
• k 是玻尔兹曼常数（大约为每开尔文1.38 x 10^(-23)焦耳）。
• T 是温度（以开尔文为单位）。
• ln(2) 是2的自然对数。

关于兰道尔原理的要点：

1. 信息擦除： 该原理特别关注计算过程中信息的擦除。当信息被擦除（例如，将比特从1擦除为0）时，它会被不可逆地丧失。

2. 与热力学的关系： 兰道尔原理通过量化信息擦除导致的热能散失，将信息理论与热力学相联系。这表明信息处理背后存在与热力学相关的基本成本。

3. 最小能量散失： 兰道尔极限代表了信息擦除过程中的最小能量散失。它是一个基本的下限，任何进行信息擦除的计算过程都必须满足这一极限。

4. 可逆计算： 可逆计算，它能够保留信息，从原理上可以避免根据兰道尔原理所规定的能量散失。可逆计算是在量子计算和低功耗经典计算领域的研究中的一个重要领域。

兰道尔原理对于设计高效能量的计算系统和信息理论与热力学之间的关系具有重要意义，它是关于计算的物理极限的一个基本概念。

Garbage collection in reversible computing

Bennett showed how to get rid of junk by ‘uncomputing’.
Bennett的垃圾收集的目标是最小化资源浪费，并在量子计算中保持计算的可逆性，其中高效使用有限资源是一个关键挑战。这个概念与兰道尔原理密切相关，兰道尔原理建立了信息擦除和计算中能量散失之间的关系。

在可逆计算中，垃圾收集与“取消计算”（uncomputing）紧密相关，这个概念最早由Charles H. Bennett提出。可逆计算中的垃圾收集涉及清除或消除计算过程中生成的中间和不必要的状态，有效地“取消计算”这些状态以释放资源并保持可逆性。

以下是关于可逆计算中的垃圾收集的简要概述：

1. 取消计算： 取消计算是可逆计算中的一种技术，用于撤销某些计算步骤的效果。它涉及以相反的顺序执行计算，将系统还原到其初始状态。取消计算的目的是确保计算过程中不会丧失任何信息。

2. 中间状态： 在计算中，特别是在量子计算中，会生成许多中间状态。这些状态是瞬时的，可以积累为“垃圾”，占用资源，包括量子比特。为了保持可逆性并最小化资源使用，这些中间状态需要被消除。

3. 资源回收： 可逆计算中的垃圾收集旨在回收用于表示和存储中间状态的资源（例如量子比特、内存）。这是通过应用取消计算技术来撤销计算步骤的效果，将资源还原到其初始的非纠缠状态来实现的。

4. 效率和可逆性： 垃圾收集对于可逆计算至关重要，因为它确保计算可以在不丧失任何信息的情况下被撤销。它有助于量子算法的整体效率，并有助于管理量子计算机中有限的资源。

5. 量子误差修正： 垃圾收集还与量子误差修正相关，因为清理垃圾状态对于在计算过程中保持量子信息的完整性至关重要。量子误差修正编码通常包括垃圾收集技术作为其纠错程序的一部分。

垃圾收集和取消计算在可逆计算领域中起着至关重要的作用，尤其是在量子计算中，其中保持操作的可逆性和资源管理是基本挑战。这些技术对于实现高效且可靠的量子计算是必不可少的。

4、量子电路（2）

笔记

Dirac’s Bra-Ket formalism

Dirac notation符号

狄拉克符号，也称为布拉-凯特符号，是量子力学中广泛使用的符号表示法，用于表示量子态、算符和内积。这一符号表示法由物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）发展而来，已经成为表达量子物理概念的标准方式。

在狄拉克符号中：

1. 凯特矢量（|ψ⟩）： 凯特矢量，用|ψ⟩表示，代表一个量子态。它通常以某一基础下的列向量形式表示。凯特矢量|ψ⟩可以看作描述量子系统状态的状态矢量。

2. 布拉矢量（⟨ψ|）： 布拉矢量，用⟨ψ|表示，是凯特矢量的伴随或复共轭转置。它以行向量形式表示。布拉矢量⟨ψ|用于计算凯特矢量|ψ⟩与另一个凯特矢量的内积。内积的结果是一个复数。

3. 内积（⟨ψ|φ⟩）： 两个凯特矢量|ψ⟩和|φ⟩的内积用⟨ψ|φ⟩表示，它给出一个复数。它量化了这两个量子态之间的重叠度或相似度。

4. 算符（A）： 量子算符，如可观测量和变换算符，也使用狄拉克符号表示。一个算符A可以作用于凯特矢量|ψ⟩，表示为A|ψ⟩，以获得表示经过变换后的新凯特矢量。

狄拉克符号提供了一种简洁且数学上优雅的方式来描述量子态和操作。它特别适用于表达量子力学原理、进行计算和理解量子系统中不同状态和算符之间的关系。

内积概念

内积（Inner Product）的矩阵运算公式是在狄拉克符号（Bra-Ket符号）中表示两个量子态的内积，它量化了两个量子态之间的相似度或重叠度，对于量子计算和量子信息处理起着关键作用。
对于两个量子态|ψ⟩和|φ⟩，它们的内积可以用下面的公式表示：

如果|ψ⟩可以表示为列向量形式，如$|\psi ⟩=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$，而|φ⟩可以表示为列向量形式，如$|\phi ⟩=\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]$，那么它们的内积⟨ψ|φ⟩可以通过矩阵乘法进行计算，即：

$$⟨\psi |\phi ⟩=\left[\begin{array}{cc}{a}^{\ast }& b^{\ast }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]=a^{\ast }c+b^{\ast }d$$

其中，a和b是向量|ψ⟩的分量，c和d是向量|φ⟩的分量，*表示复共轭。

内积的计算

在量子力学中，$⟨a|b⟩$ 表示两个态之间的复数内积，通常用来计算概率或期望值等物理量。

$$⟨a|b⟩=|a{⟩}^{†}|b⟩$$

其中 $|a{⟩}^{†}$ 表示 $|a⟩$ 的共轭转置。

如果 $|a⟩$ 和 $|b⟩$ 都是列向量，那么 $⟨a|b⟩$ 就是一个 $1\times 1$ 的矩阵，也就是一个标量值。这个矩阵的表示是内积的值。

如果 $|a⟩$ 和 $|b⟩$ 是多维向量，那么内积的矩阵表示将是一个 $1\times 1$ 的矩阵，也就是一个标量。

内积性质

以下是有关内积的一些重要性质和公式：

1. 线性性（Linearity）： 内积具有线性性质，这意味着对于两个量子态|u⟩和|v⟩以及任意复数a和b，内积满足线性组合的规则：

   $$⟨u|(a|v⟩+b|w⟩)=a⟨u|v⟩+b⟨u|w⟩$$

2. 复共轭交换性（Conjugate-commutativity）： 内积满足复共轭交换性，即对于两个量子态|u⟩和|v⟩，其内积的复共轭等于交换它们并分别取复共轭：

   $$⟨u|v⟩=⟨v|u{⟩}^{\ast }$$

3. 范数的平方（“Norm squared”）： 内积的结果总是非负的，即对于任意量子态|u⟩，有$⟨u|u⟩\ge 0$。

4. 范数（Norm）： 一个量子态的范数表示为其自身与自身的内积的平方根。对于一个量子态|u⟩，其范数表示为：

   $$\Vert u\Vert =\sqrt{⟨u|u⟩}$$

5. 张量积（Tensor Products）： 内积的张量积可以表示为两个量子态的内积的乘积。对于两个量子态|u⟩和|v⟩，它们的张量积内积表示为：

   $$⟨u|\otimes ⟨v|=⟨u|v⟩$$

6. Bracket（括号）：$$⟨a|b⟩$$

7. 布拉矢量与凯特矢量的关系：$$⟨a|=|a{⟩}^{\ast }$$

8. 归一化向量的内积：$$⟨a|a⟩=1$$

9. 正交向量的内积：$$⟨a|b⟩=0$$

希望这种表示方式对您有所帮助。如果您需要进一步的解释或有其他问题，请随时提问。

外积（Tensor Product）

外积用符号 ⊗ 表示，它用于组合两个或多个量子比特、以形成一个多量子比特系统。
外积的概念非常重要，因为它允许我们描述和分析多比特系统的状态和操作。

性质和矩阵表示：

1. 外积的概率性质：

   • 在多比特系统中，一个状态的外积与另一个状态的外积相乘会生成一个新的组合状态。
   • 外积表示不同比特之间的相互作用，它描述了系统中不同比特的联合状态。

2. 矩阵表示：

   • 外积的矩阵表示可以通过 Kronecker 乘积来表示。对于矩阵$A$和$B$，它们的外积$A\otimes B$表示为：

   A ⊗ B = [ a 11 B a 12 B … a 1 n B a 21 B a 22 B … a 2 n B ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 B a m 2 B … a m n B ] A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \ldots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \ldots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \ldots & a_{mn}B \end{bmatrix} A⊗B= ​a11​Ba21​B⋮am1​B​a12​Ba22​B⋮am2​B​……⋱…​a1n​Ba2n​B⋮amn​B​ ​

3. 外积的性质：

   • 对于两个量子态$|a⟩$和$|b⟩$，它们的外积表示为：$$|a⟩\otimes |b⟩$$
   • 外积满足分配律，即$$|a⟩\otimes (|b⟩+|c⟩)=|a⟩\otimes |b⟩+|a⟩\otimes |c⟩$$。
   • 如果两个量子态$|a⟩$和$|b⟩$分别属于不同的比特，则它们的外积是直积，表示为：$$|a⟩\otimes |b⟩=|a⟩|b⟩$$
   • 如果两个量子态$|a⟩$和$|b⟩$分别属于相同的比特，则它们的外积是张量积，表示为：$$|a⟩\otimes |b⟩=|a⟩\otimes |b⟩$$

外积的性质和矩阵表示是在处理多比特系统中的量子态和操作时非常有用的工具。它允许我们描述复杂的多比特系统，并进行相应的计算和分析。

The bra-ket of distinct vectors

不同矢量的布拉-凯特积（bra-ket）通常为零，这表示它们在内积上是正交的。
具体来说，对于两个不同的矢量$|a⟩$和$|b⟩$，它们的内积表示为$⟨a|b⟩$，并且通常等于零：

$$⟨a|b⟩=0$$

这意味着不同矢量在内积上的投影为零，它们在量子力学中通常被视为正交的态。这一性质对于处理多比特系统和进行测量等操作非常有用。

$⟨a|b⟩$表示两个量子态 $|a⟩$ 和 $|b⟩$ 的内积。内积的矩阵表示可以通过列向量和行向量的乘积来实现。假设 $|a⟩$ 是列向量，$|b⟩$ 是列向量的话，$⟨a|$ 就是 $|a⟩$ 的共轭转置，即行向量。

Brackets and probabilities概率

1. 布拉-凯特符号：
   • 布拉矢量（bra vector）：$⟨\psi |$
   • 凯特矢量（ket vector）：$|\varphi ⟩$
   • 内积（inner product）：$⟨\psi |\varphi ⟩$
   • 布拉-凯特积（bra-ket product）：$|\varphi ⟩⟨\psi |$
   • 布拉-凯特积的概率表示：$P(\varphi \to \psi )=|⟨\psi |\varphi ⟩{|}^2$

回顾一下，当我们有一个量子态 $|b⟩$，它在某个基态 $|0⟩$ 上的投影（内积）的平方，即 $|⟨0|b⟩{|}^2$，表示了在该态中观察到基态 $|0⟩$ 的概率。这概率可以用以下方式表示：

$$P(|0⟩\to |b⟩)=|⟨0|b⟩{|}^2$$

一般的原则是，对于给定的量子态 $|b⟩$，在观察到它处于量子态 $|a⟩$ 的概率是 $|⟨a|b⟩{|}^2$。

需要注意的是，不同的测量结果是正交的，这意味着如果 $|a⟩$ 和 $|b⟩$ 是不同的态，它们的内积为零，即 $⟨a|b⟩=0$。这反映了在量子力学中不同的测量结果是正交的，它们不会同时发生。

这些原理在量子测量和概率计算中起着关键作用，帮助我们理解观测结果的概率性质。

用途：酉操作U的表示，每个部分对应不同基态的作用。

布拉和凯特符号（Bras and Kets）在量子力学中有多种用途，包括表示量子操作和态矢量。

例如，使用布拉和凯特表示一个酉操作（unitary operation）U，以及如何将它分解成一系列布拉和凯特的和。

酉操作U可以表示为以下方式，包括了U作用在基态 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 上的四个不同部分。：

$$U=U_{00}|0⟩⟨0|+U_{01}|0⟩⟨1|+U_{10}|1⟩⟨0|+U_{11}|1⟩⟨1|$$

这种表示的优点是，可以更容易地理解酉操作U对不同基态的影响。
此外，可以将U的效果分解成不同部分，每部分对应一个基态。

在这种表示中，布拉和凯特符号用于表示U作用在不同基态上的结果，以便更清楚地展示U的效果。

构建U的矩阵表示

Single Qubit Gate

单量子比特门（Single Qubit Gate）是用来操作单个量子比特的门，它们通常表示为酉操作矩阵。以下是一些常见的单量子比特门及其矩阵表示、公式表示以及电路表示：

1. Pauli-X门：

   • 矩阵表示：
     $$X=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
   • 公式表示：$X|0⟩=|1⟩$，$X|1⟩=|0⟩$
   • 电路表示：X

2. Pauli-Y门：

   • 矩阵表示：
     $$Y=\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]$$
   • 公式表示：$Y|0⟩=i|1⟩$，$Y|1⟩=-i|0⟩$
   • 电路表示：Y

3. Pauli-Z门：

   • 矩阵表示：
     $$Z=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$
   • 公式表示：$Z|0⟩=|0⟩$，$Z|1⟩=-|1⟩$
   • 电路表示：Z

4. Hadamard门：

   • 矩阵表示：
     $$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$
   • 公式表示：$H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$，$H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)$
   • 电路表示：H

Amplitude-Rotation门和Phase-Rotation门是单量子比特门，用于旋转量子比特的幅度和相位。它们通常用以下方式表示：

5. Amplitude-Rotation门（通常用Ry门表示）：
   • 矩阵表示：
     $$Ry(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos (\frac{\theta }{2})& -\sin (\frac{\theta }{2})\\ \sin (\frac{\theta }{2})& \cos (\frac{\theta }{2})\end{array}\right]$$
   • 公式表示：$Ry(\theta )|0⟩=\cos (\frac{\theta }{2})|0⟩-\sin (\frac{\theta }{2})|1⟩$
   • 电路表示：Ry($\theta$)

Amplitude-Rotation门允许您旋转量子比特的振幅，其中 $\theta$ 是旋转角度。

6. Phase-Rotation门（通常用Rz门表示）：
   • 矩阵表示：
     $$Rz(\varphi )=\left[\begin{array}{cc}{e}^{-i\frac{\varphi }{2}}& 0\\ 0& e^{i\frac{\varphi }{2}}\end{array}\right]$$
   • 公式表示：$Rz(\varphi )|0⟩=e^{-i\frac{\varphi }{2}}|0⟩$，$Rz(\varphi )|1⟩=e^{i\frac{\varphi }{2}}|1⟩$
   • 电路表示：Rz($\varphi$)

Phase-Rotation门允许您旋转量子比特的相位，其中 $\varphi$ 是旋转角度。

7. Rx门（绕X轴旋转门）：
   • 矩阵表示：
     $$Rx(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos (\frac{\theta }{2})& -i\sin (\frac{\theta }{2})\\ -i\sin (\frac{\theta }{2})& \cos (\frac{\theta }{2})\end{array}\right]$$
   • 公式表示：$Rx(\theta )|0⟩=\cos (\frac{\theta }{2})|0⟩-i\sin (\frac{\theta }{2})|1⟩$
   • 电路表示：Rx($\theta$)

这些门在量子计算中用于执行各种幅度和相位的旋转操作，以便进行量子算法和量子信息处理。您可以使用这些门来构建复杂的量子电路，实现各种量子计算任务。
这些是一些单量子比特门的示例，它们在量子计算中用于执行不同的操作。您可以根据需要使用这些门的矩阵、公式和电路表示来进行量子计算。

Two qubit operations

双量子比特操作（Two-qubit operations）是用于操作两个量子比特的门，它们通常表示为酉操作矩阵。以下是一些常见的双量子比特操作及其矩阵表示、公式表示以及电路表示：

1. CNOT门（Controlled-X门）：

   • 矩阵表示：
     CNOT = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ] \text{CNOT} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} CNOT= ​1000​0100​0001​0010​ ​
   • 公式表示：CNOT门在目标比特为$|0⟩$时不执行操作，在目标比特为$|1⟩$时对控制比特进行X门操作。
   • 电路表示：CNOT

2. SWAP门：

   • 矩阵表示：
     SWAP = [ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] \text{SWAP} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} SWAP= ​1000​0010​0100​0001​ ​
   • 公式表示：SWAP门交换两个比特的状态。
   • 电路表示：SWAP

3. CZ门（Controlled-Z门）：

   • 矩阵表示：
     CZ = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 ] \text{CZ} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} CZ= ​1000​0100​0010​000−1​ ​
   • 公式表示：CZ门在目标比特为$|1⟩$时对控制比特进行Z门操作。
   • 电路表示：CZ

这些是一些常见的双量子比特操作的示例。它们用于执行不同的控制操作，例如翻转、交换或相位操作，以便在量子计算中实现各种量子算法和任务。

电路表示及其运算

控制U门

“控制-U 门”，通常表示为C-U门，是一种常见的两量子比特门，其中门的作用取决于第一个量子比特（控制比特）的状态。其操作可以描述如下：

• 如果控制比特处于状态$|0⟩$，则门不对目标比特进行任何操作。
• 如果控制比特处于状态$|1⟩$，则门将对目标比特应用酉操作U。

就门如何影响基态而言，可以将其表示如下：

• 如果控制比特是$|0⟩$，则门不改变目标比特的状态。例如，如果目标比特处于状态$|a⟩$，结果仍然是$|a⟩$。

• 如果控制比特是$|1⟩$，则门将酉操作U应用于目标比特。如果目标比特处于状态$|a⟩$，结果变为U|a⟩。

控制-U门是量子计算和量子算法中的基本组件，允许根据控制比特的状态执行条件操作。它通常用于创建实施受控操作的量子电路。

控制-U门的具体矩阵形式如下，假设第一个比特是控制比特，第二个比特是目标比特，U 是被控制的酉操作矩阵：

$$C-U=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& U\end{array}\right]$$

这里，I 表示2x2的单位矩阵，0 表示2x2的零矩阵，U 是被控制的酉操作矩阵。

CN门

Other qubit Gates

H+CN

当将Hadamard门（H门）同时应用于多个量子比特时，可以从n个零的状态|0,…,0⟩创建2^n个状态的均匀叠加态。这可以表示如下：

从全零状态开始，同时将H门应用于每个量子比特：

$$|0,\dots ,0⟩\stackrel{H^{\otimes n}}{}\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum _{x=0}^{2^n-1}|x⟩$$

这个操作创建了对长度为n的所有可能比特字符串的叠加态。每个量子比特被放置在|0⟩和|1⟩的叠加态中，导致了所有2^n个可能状态的均匀叠加。

这种叠加态是量子计算中的一个基本概念，允许量子算法同时在所有可能状态上执行并行计算。

其他

控制-控制-非门（CCNOT）门:
CCNOT: 对于所有的(a, b, c)∈{0,1}^3，CCNOT的作用是 |a, b, c⟩ 变为 |a, b, c⨁(a∧b)⟩。

控制-控制-Z门（CC-Z）:
CC-Z: 对于所有的(a, b, c)∈{0,1}^3，CC-Z的作用是 |a, b, c⟩ 变为 (-1)^(a∧b∧c)|a, b, c⟩。

控制-p-相位旋转门:
对于所有的(a, b)∈{0,1}^2，s-gate的作用是 |a, b⟩ 变为 e^(iπab)|a, b⟩。

注意: s-gate 恒等于 Pauli-Y 门。

5、量子电路（3）

笔记

Controlled operations等价电路

Universal quantum gate sets

• 任何作用在k比特上的酉操作U都可以表示为CNOT门和单比特门的电路。
• 这个实现需要O(4^k)个门。
  因此，CNOT门和单比特门是通用的。

例如，使用R门和CX门来模拟控制-Rk门。

以下是使用LaTeX表示的控制-Rk门和控制-R门的模拟公式：

1. 控制-Rk门的模拟：
   $${CX}^{(k-1,k)}\cdot R_k\cdot {\text{CX}}^{(k-1,k)}$$
   其中，$C{X}^{(k-1,k)}$ 表示控制比特 k-1 上的X门作用在目标比特 k 上。

2. 控制-R门的模拟：
   $${CX}^{(0,k)}\cdot R\cdot {\text{CX}}^{(0,k)}$$
   这里，$C{X}^{(0,k)}$ 表示控制比特0上的X门作用在目标比特 k 上。

3. 等价关系公式：
   $$|R^{(k)}⟩={\text{CX}}^{(k-1,k)}\cdot R_k\cdot {\text{CX}}^{(k-1,k)}\cdot |R^{(k-1)}⟩$$
   其中 $|R^{(k)}⟩$表示k比特的状态，$|R^{(k-1)}⟩$ 表示k-1比特的状态。

等价关系

1. X门（又称Pauli-X门）：

   • $$X^2=I$$
   • $$X^T=X$$

2. Y门（又称Pauli-Y门）：

   • $$Y^2=I$$
   • $$Y^T=-Y$$
   • $$Y=iXZ$$，其中Z门是Pauli-Z门

3. Z门（又称Pauli-Z门）：

   • $$Z^2=I$$
   • $$Z^T=Z$$
   • $$Z=-iXY$$，其中Y门是Pauli-Y门

这些等价关系描述了Pauli门之间的运算性质，以及它们的平方等于单位矩阵的特性。这些门在量子计算中非常重要，因为它们用于构建各种量子电路操作。

旋转门

以下是量子计算中的旋转门，它们允许绕Bloch球上的不同轴旋转量子比特状态。这些门对于执行任意单比特操作非常重要。最常见的旋转门包括：

1. 绕Z轴旋转（Rz门）：

   • 矩阵表示：$$Rz(\theta )=\left[\begin{array}{cc}{e}^{-i\theta /2}& 0\\ 0& e^{i\theta /2}\end{array}\right]$$
   • 此门围绕Z轴将量子比特状态旋转一个角度$\theta$。

2. 绕X轴旋转（Rx门）：

   • 矩阵表示：$$Rx(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta /2)& -i\sin (\theta /2)\\ -i\sin (\theta /2)& \cos (\theta /2)\end{array}\right]$$
   • 此门围绕X轴将量子比特状态旋转一个角度$\theta$。

3. 绕Y轴旋转（Ry门）：

   • 矩阵表示：$$Ry(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta /2)& -\sin (\theta /2)\\ \sin (\theta /2)& \cos (\theta /2)\end{array}\right]$$
   • 此门围绕Y轴将量子比特状态旋转一个角度$\theta$。

这些旋转门的参数是角度$\theta$，它们用于执行任意单比特转换。选择不同的$\theta$决定了应用于量子比特状态的旋转量，允许对量子状态进行灵活的操作。

1比特通用操作

这些操作符可以用来构建所有的1比特操作。定理如下：
对于每个1比特酉操作U，存在实数a、b、c、d，使得
$$U=e^{ia}Rx(\theta )Ry(\varphi )Rz(\lambda )$$
其中$a、b、c、d$是实数。
从这个更小的操作集合可以生成任何可能的1比特门。这意味着，使用旋转操作Rx、Ry和Rz，我们可以实现所有可能的1比特操作。

其作用

控制-控制-U门

一个特殊情况…

• 假设U = V^2，其中V是某个酉矩阵。
  问题：这真的是一个特殊情况吗？

不，这不是一个特殊情况。在量子计算中，控制-控制-U门通常表示为一个操作，其中U代表一个酉操作，而不仅仅是U的平方。在通用的控制-控制-U门中，U可以是任何酉操作，而不限于某个酉操作的平方。因此，这并不是一个特殊情况，而是一种通用的量子门操作。

$C^{k}U$门

继续模拟$C^{k}U$门，一些特点包括：

• 辅助工作空间被“清理”。
• 模拟需要O(k)个门操作。
• 这可以在没有辅助工作空间的情况下完成，但需要O(k^2)个门操作。

这意味着在模拟Cku门时，可以通过使用干净的辅助工作空间来提高效率，而不需要额外的辅助比特，从而减少门操作的数量。

Construct arbitrary states如何构造任意状态（没搞懂，只看了一遍）

准备任意状态

以固定输入为例，比如 $|000⟩$，我们如何准备一个任意的三比特状态 $|abc⟩$？

其中 $a$、$b$、$c$ ∈ {0,1} 且 $j=0,1$

• 我们将考虑所有的“分支”：
  $|000⟩$；$|001⟩$…$|110⟩$；$|111⟩$

对于每个分支，我们分别：

1. 分配一个振幅。
2. 分配一个相位。

To assign amplitudes分配振幅

分配振幅的方法如下：

首先，我们需要明确一个三比特状态 $|abc⟩$ 具有八个可能的分支，其中 $a,b,c$ 可以分别为 0 或 1。

• 对于每个分支，我们将分配一个振幅 ${\alpha }_{abcj}$，其中 $a,b,c$ 为相应的比特值，$j$ 为该分支的编号。

• 因此，我们得到了八个不同的振幅：${\alpha }_{0000},{\alpha }_{0001},{\alpha }_{0010},{\alpha }_{0011},{\alpha }_{0100},{\alpha }_{0101},{\alpha }_{0110},{\alpha }_{0111}$。

• 这些振幅构成了我们期望的三比特状态 $|abc⟩$ 的波函数的一部分。

• 在实际应用中，这些振幅可以是任意复数。

• 
  

分配相位

接下来，我们将继续为每个分支分配相应的相位，然后展示如何创建一个任意的三比特状态。

• 为了分配相位，我们需要引入相位角度 ${\theta }_{abcj}$，其中 $a,b,c$ 表示相应的比特值，$j$ 表示分支编号。

• 我们需要选择相位角度 ${\theta }_{abcj}$ 以确保所创建的状态是有效的。

• 通常，我们可以选择 ${\theta }_{abcj}$ 为零，因为这将使事情变得更容易。

• 一旦我们分配了振幅和相位，我们将通过将它们组合在一起来构建所需的状态。最终，我们将获得一个任意的三比特状态 $|abc⟩$。

• 下面是该状态的波函数表示：

$$|abc⟩=\sum _{j=0}^7{\alpha }_{abcj}{e}^{i{\theta }_{abcj}}|j⟩$$

通过分配适当的振幅和相位，我们可以创建任何所需的三比特状态。

6、量子电路（4）

Actually using QMgates

这是一个著名的量子计算示例，它涉及了量子纠缠和量子态叠加的原理。

Alice总是获胜的原因在于量子态的叠加和干涉效应。为什么Alice总是获胜：

1. 初始硬币状态：Alice准备的硬币状态是 $|0⟩+|1⟩$，这是一个等概率的叠加态，其中 $|0⟩$ 代表正面，$|1⟩$ 代表反面。

2. Bob的操作：Bob可以对硬币应用一个Flip操作，这实际上是一个X门，将 $|0⟩$ 变成 $|1⟩$，将 $|1⟩$ 变成 $|0⟩$。

3. Alice的操作：Alice接收到硬币后，她执行了一个Hadamard操作（H门）：$|0⟩\to \frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$。这将硬币状态变为 $(|0⟩+|1⟩)$。

4. 游戏结果：在Alice执行H门之后，硬币的状态变为 $(|0⟩+|1⟩)$。这是一个均匀的叠加态，因此无论她选择叫出“正面”还是“反面”，硬币都会以相等的概率处于两种可能的状态。

Alice总是获胜的原因在于她的Hadamard操作引入了叠加态，使得硬币处于正面和反面的均匀叠加状态。因此，无论她选择哪一面，都有50%的概率获胜。这展示了量子叠加态的力量，其中硬币处于两种状态的叠加，而不是经典硬币只能处于一种状态。

Heisenberg不确定性原理。

赫列沃定理（Holevo’s Theorem）是量子信息理论中的一个重要定理，它涉及到在量子力学中传递和存储信息的极限。这个定理提出了在量子态之间传递信息的局限性，即信息的可获取性。

赫列沃定理的核心结论是，在量子力学中，如果你有一个集合的量子态，无论这些态如何多样，你不能以高于该集合的熵（信息量）的方式来传递信息。这意味着，尽管在量子力学中存在叠加态和纠缠等概念，但在某种意义上，信息的传递仍然受到物理规律的局限。

这个定理对于量子通信、量子计算和量子信息理论等领域都有重要应用，它强调了量子力学中信息的非经典性质，并帮助我们理解在量子系统中信息传递的极限。

贝尔基底（Bell Basis）

是描述两个纠缠态的一组基底。纠缠态是一种特殊的量子态，其中两个或多个粒子之间存在非常强烈的量子关联，无论它们之间有多远。这种关联通常会导致粒子之间的状态在某些方面是相互关联的，即使它们之间的距离很远。

贝尔基底包括四个正交的态，通常写为：|Φ+⟩、|Φ−⟩、|Ψ+⟩和|Ψ−⟩。这些态是贝尔基底的四个基本元素，每一个都代表了一种特殊的纠缠态。这些态在量子信息和量子通信领域中非常有用，因为它们可以用来描述和操控纠缠态，以实现量子通信和量子计算等应用。

这些贝尔基底在实验中，经常用于测试贝尔不等式和验证量子力学的纠缠性质。

密集编码（Dense Coding）

是一种量子通信协议，它允许Alice使用仅一个量子比特向Bob传输两个经典比特的信息。这是通过事先共享一个特殊的纠缠态来实现的。密集编码利用了量子纠缠的奇特性质，让信息传输更为高效。

密集编码的步骤如下：

1. 预共享纠缠态：首先，Alice和Bob需要共享一个特殊的两比特纠缠态，通常使用Bell基底中的其中一个。这个纠缠态不能被分解为两个独立的比特，所以Alice和Bob的比特之间是纠缠的。

2. Alice的编码：Alice希望传输两个经典比特的信息，她可以使用一个量子比特来编码这些信息。她将这个量子比特与她拥有的纠缠态中的一个比特进行相互作用，实施一个特定的门操作。

3. 传输量子比特：Alice将这个与纠缠态相互作用后的量子比特发送给Bob。

4. Bob的解码：Bob接收到Alice发送的量子比特后，可以实施一个特定的解码操作，根据传输来的量子比特和他们共享的纠缠态，恢复出Alice发送的两个经典比特的信息。

这样，Alice只需发送一个量子比特，就能够传输两个经典比特的信息，从而实现了高效的信息传输。
密集编码是量子通信领域中的一个重要应用，充分利用了量子纠缠的优势。

Holevo’s theorem revisited

Holevo’s theorem 说明了在一定条件下，从多个量子态中提取信息的极限。下面是 Holevo’s theorem 的过程用公式表示：
准备量子态 - 这个量子比特可以写成
$$|\psi ⟩=|0⟩e^{i{\theta }_0}|0⟩+|a|e^{i{\theta }_1}|1⟩$$

我们知道 $|{\theta }_0{|}^2+|{\theta }_1{|}^2=1$，所以 $|a|$ 由 $|{\theta }_0|$ 决定。这留下了三个实参数。

现在分离一个共同的相位：
$$|\psi ⟩=e^{i{\theta }_0}(|0⟩+|a|e^{i({\theta }_1-{\theta }_0)}|1⟩)$$

从物理上来说，全局相位因子是无法观测到的，所以我们可以去掉 $e^{i{\theta }_0}$。

这留下了两个实参数。

计算公式

当我们计算 Holevo’s 定理时，通常涉及量子测量的熵和经典信息的不确定性。以下是 Holevo’s 定理的计算公式：

1. 量子态 $\rho$ 和初始系统状态 $\sigma$ 之间的量子测度（量子相对熵）：
   $$S(\rho ,\sigma )=\text{Tr}(\rho \log \rho -\rho \log \sigma )$$

2. 不确定性关系的经典部分，用于测量 $x$ 的概率：
   $$H(X)=-\sum _{x}P(x)\log P(x)$$

3. 从量子态 $\rho$ 中提取的经典信息的上限（Holevo信息量）：
   $$\chi (\rho )=S(\rho ,\sigma )-\sum _{x}P(x)S({\rho }_x)$$

4. 从量子态中提取的信息上限：
   $$I(X:\rho )\le \chi (\rho )$$

这些公式表示 Holevo’s 定理的关键步骤，其中 $S$ 表示量子相对熵，$H(X)$ 表示经典不确定性，$\chi (\rho )$ 表示Holevo信息量，$I(X:\rho )$ 表示经典信息和量子信息的关系。

这些公式中的符号和参数需要根据特定的问题和场景进行定义和替代。这些公式通常用于分析从量子态中提取信息的上限。

Holevo定理与不确定性原理

• 准备一个量子比特需要任意数量的比特。
• 测量一个量子比特会得到确切的一比特信息！
• 那重复测量呢？
• 当我们测量一个态时，我们会对它了解一些，但会破坏进一步了解的可能性。
• 这是不确定性原理的一个特例。

量子克隆

在量子计算中，克隆是一个有趣的概念。根据量子力学的原理，你不能简单地复制一个未知量子比特的状态，这是著名的“No-Cloning定理”的一部分。
然而，在某些情况下，你可以制备一个与原始量子比特具有相同状态的量子比特。这不是复制，而是创建一个新的比特，也就是所谓的克隆操作。

克隆操作的数学表示如下：

假设我们有一个初始的量子比特表示为 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$，我们希望制备一个克隆，表示为 $|\chi ⟩$。

根据No-Cloning定理，我们不能简单地复制 $|\psi ⟩$。但是，有一个特殊情况下的线性操作可以在某种程度上“克隆” $|\psi ⟩$，这个操作是所谓的量子门操作。在这种情况下，克隆操作的数学表示是：

$$|\chi ⟩=U|\psi ⟩$$

其中 $U$ 是一个单比特门操作。这个操作允许我们创建一个新的量子比特 $|\chi ⟩$，它在某些方面类似于原始的 $|\psi ⟩$。这就是克隆操作的数学表示，它允许我们从一个已知的量子比特制备一个具有相同状态的新量子比特。

飞散操作（Fan-out）并不等同于克隆

• 回想一下… CNOT 门可以复制比特：
  |00〉⊗|00〉 → |00〉⊗|00〉
  |01〉⊗|01〉 → |01〉⊗|01〉
  |10〉⊗|11〉 → |11〉⊗|10〉
• 为什么这不违反克隆定理呢？

尽管 CNOT 门看起来可以复制比特，但实际上它并不违反克隆定理。
这是因为 CNOT 门的操作是依赖于两个比特之间的纠缠关系。当你在一个纠缠态中应用 CNOT 门时，它会改变两个比特之间的关系，但并不会复制一个单独的比特。

克隆定理阐述了你不能简单地复制一个未知量子比特的状态。
在这里，CNOT 门所做的是创建一个新的纠缠态，而不是复制一个比特的状态。因此，这并不违反克隆定理。

Partial Measurements

可参考：https://blog.csdn.net/xiaoweite1/article/details/128243010

对多比特状态进行部分测量

• 当我们测量量子态 |p〉 的一部分时会发生什么？
• 有两个问题：

1. 观察到什么？以什么概率？
2. 量子态剩下什么？

请注意：

• 酉算符 U 将某些正交向量映射到计算基底。
• 这样，我们可以在任何基底中对 |p〉 进行测量。

部分测量步骤

量子电路中的部分测量（Partial Measurements）是指对一个量子系统的一部分进行测量，而不是整个系统。这通常涉及到在多比特量子系统上进行测量，以获取关于其中一个或多个比特的信息。

假设我们有一个多比特量子系统，其中要测量的比特集合为 A，其他比特组成的集合为 B。系统的总状态表示为 |ψ⟩。

当我们对 A 部分进行测量时，我们得到的结果为 i（可能的测量结果），并且系统的状态塌缩为对应的条件态 |ψ_i⟩，表示为：

$$|i{⟩}_A\otimes |{\psi }_i{⟩}_B$$

比特集合 A 上的测量导致了系统状态的塌缩。测量结果 i 可能会有不同的概率，由比特集合 B 上的系统状态 |ψ_i⟩ 给出。

部分测量允许我们获取有关多比特系统中特定比特的信息，而不必测量整个系统。这在量子信息处理中是非常重要的，因为它允许我们对系统的一部分进行操作，而不会干扰其他部分。

案例

当涉及到部分测量时，我们可以使用下面的公式来表示过程：

假设我们有一个两比特系统，其状态表示为 $|ab⟩$，其中 $a$ 和 $b$ 表示两个比特的状态。我们希望对其中一个比特（比如 a 比特）进行测量。

首先，我们可以使用一个 CNOT 门来与比特 $b$ 交互，将其作为控制比特，$a$ 作为目标比特：

$$|ab⟩\stackrel{\text{CNOT}}{}|a,a\oplus b⟩$$

在这里，$\oplus$ 表示按位异或运算，它根据控制比特 $b$ 来翻转目标比特 $a$。

然后，我们可以使用一个测量操作，如 Z 基测量，来确定目标比特 $a$ 的状态。这个测量操作可以表示为：

$$\begin{array}{rl}|0⟩& \to |0⟩\\ |1⟩& \to -|1⟩\end{array}$$

如果我们测量结果是 $|0⟩$，那么我们知道 $a$ 比特的状态是 $|0⟩$；如果测量结果是 $|1⟩$，那么 $a$ 比特的状态是 $|1⟩$。

这就是一个部分测量的过程，我们测量了两比特系统中的一个比特，并根据测量结果确定了该比特的状态，同时不干扰整个系统。这种过程在量子计算和量子通信中非常有用。

7、

Quantum Teleportation

发送量子比特存在一个重要问题，即如何在经典通信渠道上传输量子信息。这是因为在经典通信渠道上，信息以经典比特的形式传输，而量子信息以量子比特（或qubit）的形式存在。当我们试图将一个qubit从一个位置传输到另一个位置时，我们需要解决以下问题：

1. No-Cloning Theorem: 根据量子力学的"不克隆定理"，不可能通过复制原始qubit来创建一个完全相同的副本。这使得在经典通信渠道上直接复制和传输qubit非常困难。

2. Quantum Superposition and Entanglement: 量子信息通常以叠加态和纠缠态的形式存在。这使得传输量子信息时需要处理这些量子特性，而在经典通信中无法直接表示。

3. Quantum Decoherence: 量子信息容易受到外部环境的干扰，导致量子干涉和相干性的丧失。在经典通信渠道上，这种干扰会导致信息的丧失。

一些量子通信协议和技术，如量子密钥分发（Quantum Key Distribution，QKD）和量子电传输协议。这些方法利用了量子纠缠和非经典的量子性质，以安全地传输和接收量子信息。

传递一个比特的信息（考点，刚好没复习到。。。和后面的压缩编码弄混了）

总览

电路图

Local Realism*

概率和为1

The Greenburger - Horn-Zeilinger（|GHZ>一种特殊多体量子态）

|GHZ>代表“Greenberger-Horne-Zeilinger”态，是量子力学中的一种特殊多体量子态。GHZ态最初由丹麦物理学家D. M. Greenberger、M. A. Horne和A. Zeilinger在1989年提出。

GHZ态，例如三粒子GHZ态，可以表示为：

$$|GHZ⟩=\frac{|000⟩+|111⟩}{\sqrt{2}}$$

这表示三个量子比特的纠缠态，其中粒子在基态$|0⟩$和激发态$|1⟩$之间存在纠缠关系，使得它们同时处于这两种状态的叠加态。GHZ态的特殊性质使其在量子信息和量子计算中具有重要应用，包括量子纠缠和Bell不等式测试等。

GHZ态还可以扩展到更多的粒子，例如四粒子GHZ态，五粒子GHZ态等，其中所有粒子都处于相同的叠加态。这些态通常用于研究纠缠、Bell不等式、以及用于量子通信和量子计算的应用。

The Greenburger - Horn-Zeilinger argument*

“Greenberger-Horne-Zeilinger” 纠缠态论证，通常简称为 GHZ 论证，是一个用于展示量子力学的非经典性的论证。以下是 GHZ 论证的中文描述，每个公式都使用$$符号包围，每个数学符号都使用$符号包围。

GHZ 论证的一个三粒子例子：

• 假设有三个粒子，每一个都处于纠缠态 $|0⟩+|1⟩$，即：

$$|\psi ⟩=\frac{|000⟩+|111⟩}{\sqrt{2}}$$

• 接下来对这三个粒子进行一系列的测量。我们测量粒子 1，2 和 3 的 $X$ 自旋（泡利矩阵 $X$ 表示自旋在 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 之间的翻转）。
• 然后我们对测量结果进行比较，如果满足以下关系：

$$X_1\cdot X_2\cdot X_3=-I$$

其中 $X_i$ 表示第 $i$ 个粒子的 $X$ 自旋算符，$I$ 是单位矩阵。

GHZ 论证的结论：

• 如果上述关系成立，这意味着这三个粒子处于一个高度纠缠的态，这种态在经典物理学中是无法实现的。GHZ 论证展示了量子力学的一种非经典性质，即纠缠，它在经典物理学中无法解释。

这个论证的关键是，这种高度纠缠态无法用经典的局域隐藏变量理论来描述，这是 Bell 不确定性原理的一种扩展。 GHZ 论证揭示了量子力学与经典物理学之间的根本差异。

8、Quantum Algorithm

量子算法是一类旨在在量子计算机上执行的算法。与在经典计算机上运行的经典算法不同，量子算法利用量子力学原理执行某些类型的计算，以更高效地执行特定任务或解决经典计算机难以处理的问题。

最著名的量子算法之一是Shor算法，它可以指数级别地更快地因式分解大数，远远超过了已知的经典算法。这对于密码学具有重要影响，因为许多加密方法依赖于大数因式分解的困难性。

另一个重要的量子算法是Grover算法，它可以在无序数据库中进行二次搜索，比经典算法快。这在搜索未排序的列表或数据库等任务中有应用。

量子算法通常利用量子特性，如叠加、纠缠和干涉，以实现其计算优势。然而，需要注意的是，量子计算机仍处于早期开发阶段，构建和维护稳定、具有错误校正功能的量子硬件是一项重大挑战。

目前，实用的量子计算机相对较小且容易出现错误，但持续的研究和开发旨在克服这些挑战，释放量子算法的全部潜力。

Deutsch’s algorithm（一次确认黑盒函数）

德沃什算法（Deutsch's algorithm）是量子计算中的一个早期算法，用于演示量子计算的速度优势。
该算法由David Deutsch于1985年提出，是量子计算的一个基本示例。

问题描述： 德沃什算法主要用于解决黑盒子问题，其中存在一个未知的布尔函数 $f$，该函数接受一个二进制输入 $x$ 并产生一个二进制输出 $f(x)$。问题的目标是确定函数 $f$ 的性质。

算法描述： 德沃什算法的目标是检查函数 $f$ 是否具有“恒等”性质，即是否对所有可能的输入都产生相同的输出。这是一个二元函数，可以表示为 $f:\{0,1\}\to \{0,1\}$。

1. 初始化：首先，创建一个量子系统，包含两个量子比特。初始状态为 $|00⟩$。

2. 量子操作：应用以下量子门操作（Uf 为黑盒子函数）：

   $$|00⟩\stackrel{H}{}\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)\otimes |0⟩\stackrel{U_f}{}\frac{1}{\sqrt{2}}|f(0)⟩\otimes |f(1)⟩$$

   这一步使我们的系统处于以下状态之一：

   • 若 $f(0)=f(1)$，则系统处于 $|00⟩$ 或 $|11⟩$，也就是系统处于基态。
   • 若 $f(0)\ne f(1)$，则系统处于 $|01⟩$ 或 $|10⟩$，也就是系统处于叠加态。

3. 后续操作：最后，对第一个量子比特应用一个Hadamard门。

   $$H|f(0)⟩=(-1{)}^{f(0)}\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+(-1{)}^{f(0)}|1⟩)$$

4. 测量：现在测量第一个量子比特的状态。如果得到 $|0⟩$，则意味着 $f$ 具有恒等性质；如果得到 $|1⟩$，则意味着 $f$ 不具有恒等性质。

这就是德沃什算法的主要思想。通过这个算法，我们可以在仅一次调用黑盒子函数的情况下确定 $f$ 的性质，而经典计算需要两次调用才能实现。
这展示了量子计算在某些特定问题上的速度优势。这个算法虽然简单，但它揭示了量子计算中一些重要的原理，如叠加和干涉。

one-out-of-four search（压缩编码，用一比特传送两比特的信息）

“One-out-of-four search” 是一个经典问题，通常用于演示量子计算的速度优势。这个问题的目标是在四个元素的数据库中查找特定的目标元素。

问题描述： 假设有一个包含四个元素的数据库，其中包含一个目标元素。数据库中的每个元素都有一个唯一的标签，如下所示：

1. $|00⟩$ 对应标签 00
2. $|01⟩$ 对应标签 01
3. $|10⟩$ 对应标签 10
4. $|11⟩$ 对应标签 11

目标是确定目标元素的标签，即 00、01、10 或 11。

经典解法： 在经典计算中，需要查询数据库四次以确定目标元素的标签。这需要平均查询两次才能找到目标。

量子算法： 使用量子计算，可以在一次查询中找到目标元素，这是一个量子搜索算法的示例。以下是算法的描述：

1. 初始化：首先，创建一个量子系统，包含两个量子比特，初始状态为 $|00⟩$。

2. 量子操作：应用Hadamard门到每个量子比特，即 $H|00⟩=\frac{1}{2}(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)$。

3. 查询：现在，应用一个查询操作，也被称为 Oracle 或黑盒子函数。这个函数会将目标元素的标签反转，其他元素保持不变。例如，如果目标是标签 11，Oracle 会执行以下操作：

   $$|00⟩\stackrel{Oracle}{}|00⟩$$
   $$|01⟩\stackrel{Oracle}{}|01⟩$$
   $$|10⟩\stackrel{Oracle}{}|10⟩$$
   $$|11⟩\stackrel{Oracle}{}-|11⟩$$

   这一步使目标元素变为负号。这可以通过量子门实现，通常使用 CNOT 门。

4. 反演操作：接下来，应用Hadamard门到每个量子比特，再次反转它们。

5. 测量：最后，测量两个量子比特。如果得到结果 $|11⟩$，则意味着目标元素的标签是 11。

这就是 “one-out-of-four search” 问题的量子解法，它展示了量子计算在某些问题上的速度优势。这个算法充分利用了量子叠加和干涉的性质，使得在一次查询中就能够找到目标元素。

Deutsch-Jozsa algorithm（确定给定函数的类型）

Deutsch-Jozsa 算法是一个量子计算算法，用于解决一种特定的问题，称为 “Deutsch 问题” 或 “Deutsch-Jozsa 问题”。这个问题可以概括为确定某个函数是“恒等函数”（对于所有输入都返回相同值）还是“均值函数”（对于一半的输入返回 0，另一半返回 1）。
Deutsch-Jozsa 算法的目标是：确定给定函数的类型，而不是找到确切的函数值。

问题描述： 给定一个函数 $f:\{0,1{\}}^n\to \{0,1\}$，其中 $n$ 是输入比特数。函数 $f$ 可能是恒等函数（对于所有输入都返回相同值，即全 0 或全 1）或均值函数（对于一半输入返回 0，另一半返回 1）。

经典解法： 在经典计算中，确定给定函数是恒等函数还是均值函数需要查询函数两次。Deutsch-Jozsa 算法通过仅进行一次查询就能确定函数类型，充分利用了量子计算的优势。

Deutsch-Jozsa 算法： 以下是算法的描述：

1. 初始化：首先，创建一个量子系统，包含 $n+1$ 个量子比特。这些比特以状态 $|0{⟩}^{\otimes n}|1⟩$ 初始化，其中 $|1⟩$ 用于存储输出。

2. Hadamard 变换：对前 $n$ 个比特应用 Hadamard 变换，即 $H^{\otimes n}|0{⟩}^{\otimes n}=\frac{1}{\sqrt{2^n}}{\sum }_{x=0}^{2^n-1}|x⟩$。

3. Oracle 操作：应用一个特殊的 Oracle 操作，根据函数 $f$ 的类型对前 $n$ 个比特执行操作。如果 $f$ 是恒等函数，将不会有任何变化。如果 $f$ 是均值函数，将会对态进行翻转，即将振幅取反。Oracle 操作可以使用量子门实现。

4. Hadamard 变换：再次对前 $n$ 个比特应用 Hadamard 变换。

5. 测量：测量前 $n$ 个比特。如果测量结果是全 0，则表示 $f$ 是恒等函数；如果测量结果不是全 0，则表示 $f$ 是均值函数。

Deutsch-Jozsa 算法通过在一次查询中确定函数类型，展示了量子计算的优越性。与经典算法相比，它显著提高了问题的解决效率。这个算法也是量子计算的一个基本示例，展示了量子并行性和量子干涉的概念。

三个算法的公式部分

9、Grover Algorithm（考的原题）

Grover算法是一种用于搜索未排序数据库中特定项的量子算法。它的时间复杂度为 $O(\sqrt{N})$，其中 $N$ 是数据库中的项数。以下是Grover算法的中文描述和相关公式：

问题描述： 假设有一个包含 $N$ 个项的数据库，其中只有一个项是标记为目标项，其余项都是非目标项。目标是找到这个目标项。

Grover算法：

1. 初始化：首先，创建一个量子系统，包含 $n$ 个量子比特。初始化这些比特，以将所有可能状态均匀分布在所有项上。这可以通过应用 Hadamard 变换来实现，即 $H^{\otimes n}|0{⟩}^{\otimes n}$。

2. Oracle 操作：应用一个特殊的 Oracle 操作，该操作标记目标项。Oracle 操作可以使用量子门实现。它通过翻转目标项的相位，使其变为 $-1$。

3. 反相位变换：应用另一种操作，称为 Grover 操作或反相位变换。它涉及将均匀分布的振幅调整为增加目标项振幅，减小非目标项振幅。Grover 操作通常会多次重复以增加目标项的振幅。

4. 幅度放大：重复执行 Oracle 操作和 Grover 操作多次。通常，算法会执行 $\sqrt{N}$ 次重复操作以达到最佳幅度放大。

5. 测量：最后，测量量子比特。测量结果几乎肯定会是目标项。

笔记

Another query / promise algorithm

Grover算法的时间复杂度为 $O(\sqrt{N})$，相较于经典算法，它在搜索问题上提供了指数级的加速。该算法在许多应用中非常有用，如数据库搜索、密码学和优化问题等。

The naming of the parts算法的每个步骤

Grover搜索算法是一种用于在无序数据库中搜索目标项的量子算法。

1. 初始化：

   • 初始化一个量子寄存器，包括 $n$ 个量子比特，其中 $n$ 是数据库中的项数。
   • 使用Hadamard门操作，将所有量子比特初始化为均匀的叠加态：
     $$|s⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{x=0}^{N-1}|x⟩$$

2. Oracle操作（标记操作）：

   • 创建一个标记函数 $f(x)$，其中 $f(x)=1$ 表示目标项，$f(x)=0$ 表示非目标项。
   • 将Oracle操作表示为一个相位反转操作：
     $$U_f|x⟩=(-1{)}^{f(x)}|x⟩$$

3. Grover操作（反相位变换）：

   • 应用Hadamard门操作，将量子寄存器中的量子比特初始化为均匀的叠加态。
   • 应用Grover算符 $G$，它包括两部分：
     • 幅度放大：反转标记项的相位
     • 幅度放大：增加均匀项的振幅

   $$G=H^{\otimes n}{U}_f{H}^{\otimes n}$$

4. 幅度放大：

   • 重复应用Grover操作大约 $\sqrt{N}$ 次。

5. 测量：

   • 最后，测量量子寄存器以获得目标项的估计位置。

通过适当的重复次数，该算法可以高效地搜索无序数据库中的目标项。

初始状态准备The initial state preparation

The Grover operator包含电路图

The first oracle第一个标记操作

剩下的步骤见PPT

Phases change, but the state remains the same在搜索时改变了相位，但保持了状态不变

Grover搜索算法在搜索时改变了相位，但保持了状态不变。
一个重要的约定是，最后一个量子比特的状态始终保持在(|0>-|1>)之间。
这确保了在不同分支之间引入了相对相位差，但尽管最后一个量子比特是目标，它的状态不会改变。

The action starts here！Grover搜索算法的工作原理

Grover搜索算法的工作原理如下：

1. 初始化：首先，将搜索空间中的每个状态均匀叠加，这意味着每个状态的振幅相等。算法开始时的状态表示为：

$$|s⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{x=0}^{N-1}|x⟩$$

其中N表示搜索空间的大小。

2. Oracle：应用一个称为"Oracle"的标记函数。Oracle标记了问题的解，将其相位反转。这个操作可以表示为：

$$U_w|x⟩=\{\begin{array}{ll}-|x⟩,& \text{if }x\text{ is a solution}\\ |x⟩,& \text{if }x\text{ is not a solution}\end{array}$$

3. Amplitude Amplification：通过一系列Grover操作增加目标状态的振幅，减少非目标状态的振幅。Amplitude Amplification操作包括以下步骤：

   a. 计算平均振幅的幅值：

   $$\mu =\frac{1}{N}\sum _{x=0}^{N-1}{U}_w|x⟩$$

   b. 反转所有状态的相位：

   $$|s^{\prime }⟩=U_s|s⟩$$

   这里，$U_s$ 是一个操作，其作用是绕平均振幅 $\mu$ 反转相位。

   c. 反转目标状态的相位：

   $$|s^{\prime \prime }⟩=U_w|s^{\prime }⟩$$

   d. 再次反转所有状态的相位：

   $$|s^{\prime \prime \prime }⟩=U_s|s^{\prime \prime }⟩$$

4. 重复操作：重复步骤2和3大约$\frac{\pi }{4}\sqrt{N}$次（这是Grover算法的最佳重复次数）。

5. 测量：最后，对搜索空间进行测量，以确定目标状态。测量后，得到目标状态的概率将接近1。

这就是Grover搜索算法的工作原理，它能够在未排序的数据库中高效地找到目标项。

Grover through the looking-glass

“Grover through the Looking Glass” ，用于描述使用 Grover 搜索算法来反转一组状态的振幅。

1. 初始化：首先，我们将搜索空间中的每个状态均匀叠加，这意味着每个状态的振幅相等。算法开始时的状态表示为：

   $$|s⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{x=0}^{N-1}|x⟩$$

   其中 N 表示搜索空间的大小。

2. Oracle 操作：Oracle 是一个函数，它标记了问题的解，将解的振幅反转。在算法中，Oracle 的操作可以表示为：

   $$U_w|x⟩=\{\begin{array}{ll}-|x⟩,& \text{如果 }x\text{ 是解}\\ |x⟩,& \text{如果 }x\text{ 不是解}\end{array}$$

3. Amplitude Amplification 操作：Amplitude Amplification 是 Grover 算法的核心部分，它通过一系列操作增加目标状态的振幅，减少非目标状态的振幅。这包括以下步骤：

   a. 计算平均振幅的幅值：

   $$\mu =\frac{1}{N}\sum _{x=0}^{N-1}{U}_w|x⟩$$

   b. 反转所有状态的相位：

   $$|s^{\prime }⟩=U_s|s⟩$$

   这里，$U_s$ 是一个操作，其作用是绕平均振幅 $\mu$ 反转相位。

   c. 反转目标状态的相位：

   $$|s^{\prime \prime }⟩=U_w|s^{\prime }⟩$$

   d. 再次反转所有状态的相位：

   $$|s^{\prime \prime \prime }⟩=U_s|s^{\prime \prime }⟩$$

4. 重复操作：重复步骤 2 和 3 大约 $\frac{\pi }{4}\sqrt{N}$ 次（这是 Grover 算法的最佳重复次数）。

5. 测量：最后，对搜索空间进行测量，以确定目标状态。测量后，得到目标状态的概率将接近 1。

这就是 Grover 搜索算法的工作原理，它能够在未排序的数据库中高效地找到目标项。“Grover through the Looking Glass” 描述了如何通过改变相位来实现搜索。

10、Quantum Fourier Transforms量子傅里叶变换

笔记

Introduction

等比数列（Geometric Series）

等比数列是一个数列，其中每一项等于前一项乘以一个常数，称为公比。等比数列的一般形式如下：
对于首项 $a$ 和公比 $r$，等比数列的第 $n$ 项是 $a_n=a\cdot r^{n-1}$。
其中，$n$ 是项的位置，$a_1=a$ 是首项，$r$ 是公比。
这个数列的前 $n$ 项和可以用以下公式表示：
$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

单位根（Roots of Unity）

单位根是复数域中的一组特殊复数，它们可以用于描述周期性现象，如振动和波动。单位根的一般形式如下：

对于正整数 $n$，单位根是 ${\omega }_n=e^{2\pi i/n}$，其中 $i$ 是虚数单位。
单位根的主要特征是它们的幂运算，特别是当你将它们的 $n$ 次幂相加时，它们总是等于零。

Shor’s algorithm

Shor’s Algorithm（Shor算法）是一种用于分解大整数的量子算法。该算法的核心是利用量子计算机来找到大整数的质因数。

背景：

Shor’s Algorithm是由美国计算机科学家Peter Shor于1994年提出的，它是一种基于量子计算原理的算法。该算法的主要应用之一是用于分解大整数，这在现代密码学中具有重要意义。

问题描述：

给定一个大整数 $N$，我们希望找到它的质因数分解，即找到两个质数 $p$ 和 $q$，使得 $N=p\cdot q$。

算法过程：

Shor’s Algorithm的主要思路如下：

1. 初始化： 随机选择一个小于 $N$ 的整数 $a$。

2. 寻找最大公约数： 使用经典算法（如辗转相除法）找到 $a$ 和 $N$ 的最大公约数 $d$。如果 $d>1$，则已经找到了一个非平凡因子，算法结束。

3. 量子计算： 利用量子计算机执行以下步骤：

   a. 幂运算： 计算 $x^r\mathrm{mod}N$，其中 $x$ 是 $a$，$r$ 是一个随机选择的整数。这将创建一个量子态，其中包含了周期性信息。

   b. 量子傅里叶变换： 应用量子傅里叶变换，以确定周期 $r$。

   c. 寻找因子： 如果 $r$ 为偶数且 $a^{r/2}\ne -1\mathrm{mod}N$，则可以使用 $d=\text{gcd}(a^{r/2}-1,N)$ 和 $d=\text{gcd}(a^{r/2}+1,N)$ 寻找非平凡因子。

4. 输出结果： 如果找到了非平凡因子，则输出 $d$ 和 $N/d$ 作为 $N$ 的质因数分解。

时间复杂度：

Shor’s Algorithm的时间复杂度主要取决于找到周期 $r$ 的部分。在最坏情况下，时间复杂度为多项式级别，具体取决于输入整数 $N$ 的大小。

应用：

Shor’s Algorithm对于大整数的质因数分解具有广泛的应用，尤其在破解传统加密算法（如RSA加密）中具有重要意义。这个算法展示了量子计算机在某些问题上的强大能力，特别是在破解经典计算机难以解决的问题时。

How 2 QFT?二进制量子傅里叶变换

二进制量子傅里叶变换（Binary Quantum Fourier Transform，2-Qubit QFT）是一种量子算法，用于对两个量子比特上的状态进行傅里叶变换。它是一种在量子计算中广泛应用的算法之一。

电路图

算法过程

二进制量子傅里叶变换，使用量子门和操作符来完成状态变换。这个算法用于将经典数据转换为量子态，以便在量子计算中进行后续的计算和分析。下面是如何执行二进制QFT的步骤：

1. 初始化： 准备两个量子比特，并赋予它们初始状态 $|a⟩$ 和 $|b⟩$，它们的初始状态可以是任何组合。

2. Hadamard门操作： 对第一个量子比特应用Hadamard门（H门）和对第二个量子比特应用H门，以便进行叠加。这一步可以用以下公式表示：

   第一个量子比特：$$H|a⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+(-1{)}^a|1⟩)$$

   第二个量子比特：$$H|b⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+(-1{)}^b|1⟩)$$

3. 控制相位门操作： 接下来，对第二个量子比特应用一个控制相位门（Controlled Phase Gate），其相位依赖于第一个量子比特的状态。这一步可以使用以下公式表示：

   控制相位门：$$CPh|a,b⟩=|a,b\oplus (a\cdot b)⟩$$

   其中，$\oplus$ 表示异或运算，$\cdot$ 表示逻辑与运算。

4. 交换操作： 最后，我们交换两个量子比特的状态。这一步也是傅里叶变换的一部分。

5. 输出： 这时，两个量子比特的状态已经完成了二进制QFT。我们可以测量这两个量子比特以获取它们的状态。

时间复杂度

二进制QFT的时间复杂度取决于量子比特的数量。对于两个量子比特的情况，时间复杂度是常数级别的。

应用：

二进制QFT在量子计算中具有多种应用，包括量子编码、量子模拟和量子算法的设计。它是量子计算中的基本操作之一，用于将经典数据转换为量子态，以便进行后续的计算和分析。

11、

笔记

tr(A)是矩阵A对角线求和（考点）

other information for quantum mechanics

Trace矩阵操作-迹

“迹”（Trace）是一个用于矩阵的操作，表示对矩阵主对角线上所有元素求和。以下是常见的迹操作的基本公式表示：

1. 迹的定义：对于一个方阵 $A$，它的迹 $\text{Tr}(A)$ 是主对角线上所有元素的和。数学上表示如下：

   $$\text{Tr}(A)=\sum _i{A}_{ii}$$

2. 迹的性质：迹操作满足以下性质：

   a. 线性性质：对于任意标量 $c$ 和方阵 $A,B$，迹具有线性性质，即：

   $$\text{Tr}(cA)=c\text{Tr}(A)$$

   b. 循环性质：对于方阵 $A,B$，迹具有循环性质，即：

   $$\text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA)$$

   c. 矩阵转置：对于方阵 $A$，迹与其转置矩阵的迹相同，即：

   $$\text{Tr}(A)=\text{Tr}(A^{\top })$$

3. 迹的计算：对于一个矩阵 $A$，可以使用主对角线上的元素求和来计算迹。例如，对于 $2\times 2$ 矩阵：

   $$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

   它的迹为 $\text{Tr}(A)=a+d$。

4. 迹的迹运算：迹操作在多个矩阵相乘的情况下，可以使用线性性质和循环性质来简化。例如，对于三个矩阵的乘积 $ABC$，迹可以按如下方式计算：

   $$\text{Tr}(ABC)=\text{Tr}(BCA)=\text{Tr}(CAB)$$

迹操作在线性代数和矩阵计算中经常用于计算矩阵的性质和特征。

算符的对易子（commutator）和反对易子（anti-commutator）:描述不同物理量之间的关系和性质（考点，原题）

1. 对易子：对于两个算符 $A$ 和 $B$，它们的对易子表示为 $[A,B]$，计算方式如下：

   $$[A,B]=AB-BA$$

   如果 $[A,B]=0$，也就是 $AB=BA$，我们说 $A$ 与 $B$ 对易。

2. 反对易子：反对易子用花括号表示为 $\{A,B\}$，计算方式如下：

   $$\{A,B\}=AB+BA$$

   如果 $\{A,B\}=0$，也就是 $\{A,B\}=0$，我们说 $A$ 与 $B$ 反对易。

3. 对易子和反对易子之间的关系：对易子和反对易子之间存在一些关系，可以表示为：

   • $[A,B]+\{A,B\}=AB-BA+AB+BA=2AB$
   • $[A,B]+\{A,B\}=2AB$
   • $[A,B]=\{B,A\}$

The density operator密度算符$\rho$ （考点，原题）

密度算符（Density Operator）是量子力学中描述量子态的工具，通常用希腊字母 $\rho$ 表示。它以概率的形式描述了一个系统处于不同量子态的概率分布。

密度算符的公式表示为：

$$\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$$

其中：

• $\rho$ 是密度算符。
• $p_i$ 是系统处于第 $i$ 个量子态的概率。
• $|{\psi }_i⟩$ 是第 $i$ 个量子态的态矢量。
• $⟨{\psi }_i|$ 是