C语言使用深度优先遍历（DFS）进行逆拓扑排序如何判断有向图是否含有环

前言

本文采用邻接表法存储图，具体结构如下：

typedef struct Edge {
    int weight;
    int vertexIndex;
    struct Edge *next;
} *Edge;

typedef struct Vertex {
    void *data;
    Edge firstEdge;
} *Vertex, *VertexList;

struct AdjacentListGraph {
    VertexList *vertexList;
    int vertexCount;
    int edgeCount;
    int size;

    int (*compare)(void *, void *);
};

详情请看用C语言实现所有图状结构及相关算法

深度优先遍历

深度优先遍历（DFS）的算法思想是：

• 从图的某一顶点出发，访问它的任一邻接顶点；再从邻接顶点出发，访问邻接顶点的任一邻接顶点；如此往复直到访问到一个所有邻接顶点都被访问的顶点为止；
• 接着回退一步，看看前一次访问的顶点是否还有其它没有被访问的邻接顶点；如果有，则访问此邻接顶点，之后再进行前述过程；如果没有，则再回退一步，重复上述过程，直到连通图中所顶点都被访问过为止。

void DFS(AdjacentListGraph graph, int vertexIndex, bool isVisited[], LinkedQueue DFSDataQueue) {
    Vertex vertex = graph->vertexList[vertexIndex - 1];
    linkedQueueEnQueue(DFSDataQueue, vertex->data);
    isVisited[vertexIndex - 1] = true;
    for (Vertex j = firstVertex(graph, vertex->data); j != NULL; j = nextVertex(graph, vertex->data, j->data)) {
        int index = getVertexIndex(graph, j->data);
        if (!isVisited[index - 1]) {
            DFS(graph, index, isVisited, DFSDataQueue);
        }
    }
}

/**
 * 深度优先遍历
 * @param graph 图
 * @param data 起始结点
 * @param DFSDataQueue 用于保存遍历顶点
 */
void DFSTraverse(AdjacentListGraph graph, void *data, LinkedQueue DFSDataQueue) {
    bool *isVisited = calloc(graph->vertexCount, sizeof(bool));
    int index = getVertexIndex(graph, data);
    DFS(graph, index, isVisited, DFSDataQueue);
    for (int i = 1; i <= graph->vertexCount; ++i) {
        if (!isVisited[i - 1]) {
            DFS(graph, i, isVisited, DFSDataQueue);
        }
    }
}

深度优先遍历改造成逆拓扑排序

逆拓扑排序的算法思想如下：

• 在AOV网中选一个没有后继的顶点，然后从图网中删除该顶点以及以这个顶点为终点的边。
• 重复上面的步骤，直到网为空或网中不存在无后继的顶点为止。

没有后继的顶点就是在深度优先遍历递归函数出栈时的点，所以只需要在每次函数出栈时将当前顶点输出到遍历队列即可：

void DFS(AdjacentListGraph graph, int index, bool isVisited[], LinkedQueue queue) {
    isVisited[index - 1] = true;
    Vertex vertex = graph->vertexList[index - 1];
    for (Edge edge = vertex->firstEdge; edge != NULL; edge = edge->next) {
        if (!isVisited[edge->vertexIndex - 1]) {
            DFSInTopological(graph, edge->vertexIndex, isVisited, queue);
        }
    }
    linkedQueueEnQueue(queue, vertex->data);
}

/**
 * 深度优先算法求逆拓扑排序
 * @param graph
 * @param queue
 */
void DFSInTopologicalSort(AdjacentListGraph graph, LinkedQueue queue) {
    bool *isVisited = calloc(graph->vertexCount, sizeof(bool));
    for (int i = 1; i <= graph->vertexCount; ++i) {
        if (!isVisited[i - 1]) {
            DFS(graph, i, isVisited, queue);
        }
    }
}

有环图问题

拓扑排序算法可以用于检测图中是否含有环：如果拓扑序列中含有所有图中的结点，那么该图就没有环，否则就含有环。但是使用DFS改造的算法即使传入的图有环，拓扑序列中也包含所有图中的顶点。那么就该解决这个问题，解决思想如下：

• 如果一个图存在环，那么就意味着在DFS时访问到了一个已经访问的顶点并且该顶点对应的DFS函数还未出栈。
• 我们在DFS中使用了一个布尔类型的isVisited数组来标记是否已经访问过该顶点，只需要将其改成一个整型数组，并且有以下值：
  • 0：表示未访问过
  • 1：表示已访问过
  • 2：已经访问过并且当前顶点对应的DFS函数还未出栈
• 那么只需要在每次进入DFS函数时将该顶点的 isVisited数组的值设置为2，然后在该函数出栈时再设置为1，在函数运行的时候如果再次访问到了该顶点，只需要判断该顶点的isVisited数组是否是2就可以知道有没有环了。

void DFS(AdjacentListGraph graph, int index, int isVisited[], LinkedQueue queue) {
    isVisited[index - 1] = 2;
    Vertex vertex = graph->vertexList[index - 1];
    for (Edge edge = vertex->firstEdge; edge != NULL; edge = edge->next) {
        if (isVisited[edge->vertexIndex - 1] == 0) {
            DFS(graph, edge->vertexIndex, isVisited, queue);
        }
        if (isVisited[edge->vertexIndex - 1] == 2) {
            throw Error(CYCLIC_GRAPH_ERROR, "图中含有环，逆拓扑排序失败");
        }
    }
    isVisited[index - 1] = 1;
    linkedQueueEnQueue(queue, vertex->data);
}

/**
 * 深度优先算法求逆拓扑排序
 * @param graph
 * @param queue
 */
void DFSInTopologicalSort(AdjacentListGraph graph, LinkedQueue queue) {
    int *isVisited = calloc(graph->vertexCount, sizeof(bool));
    for (int i = 1; i <= graph->vertexCount; ++i) {
        if (isVisited[i - 1] == 0) {
            DFS(graph, i, isVisited, queue);
        }
    }
}