方阵的特征值、特征向量以及特征多项式和特征方程

方阵的特征值、特征向量以及特征多项式和特征方程

一、 特征值和特征向量

定义：设$\mathbf{A}$是$n$阶矩阵，如果数$\lambda$和$n$维非零列向量$\mathbf{x}$使得关系式

$$\mathbf{Ax}=\lambda \mathbf{x}\text{\hspace{1em}(1a)}$$
成立，那么，这样的数$\lambda$称为矩阵$\mathbf{A}$的特征值，非零向量$\mathbf{x}$称为矩阵$\mathbf{A}$所对应于特征值$\lambda$的特征向量。

二、特征方程和特征多项式

2.1 特征方程

式（1a）也可写作：
$$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})\mathbf{x}=0\text{\hspace{1em}(1b)}$$
这是$n$个未知数$n$个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
$$|A-\lambda E|=0\text{\hspace{1em}(2a)}$$
即
∣ a 11 − λ a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 − λ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n − λ ∣ = 0 (2b) \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}{{a_{11}} - \lambda }&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}} - \lambda }& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}} - \lambda }\end{array}} \right| = 0 \tag{2b} ​a11​−λa21​⋮an1​​a12​a22​−λ⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​−λ​ ​=0(2b)

式(2)是以$\lambda$为未知数的一元$n$次方程，称为矩阵$\mathbf{A}$的特征方程。

2.2 特征多项式

特征方程的左端$|A-\lambda E|$是$\lambda$的$n$次多项式，记作$f(\lambda )$,称为矩阵$\mathbf{A}$的特征多项式。
即
f ( λ ) = ∣ A − λ E ∣ = ∣ a 11 − λ a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 − λ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n − λ ∣ f(\lambda ) = |{\bf{A}} - {\bf{\lambda E}}| = \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}{{a_{11}} - \lambda }&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}} - \lambda }& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}} - \lambda }\end{array}} \right| f(λ)=∣A−λE∣= ​a11​−λa21​⋮an1​​a12​a22​−λ⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​−λ​ ​

2.3 特征方程与特征多项式的关系

若特征多项式为$f(\lambda )$，则特征方程为：
$$f(\lambda )=0$$

2.4 特征方程的解和解的个数

根据矩阵的特征值的定义，易知，矩阵$\mathbf{A}$的特征值就是矩阵$\mathbf{A}$的特征方程$f(\lambda )=0$的解。
特征方程在复数范围内恒有解，其解的个数为特征方程的次数（重根按重数计算），因此，$n$阶矩阵$\mathbf{A}$在复数范围内有$n$个特征值，或者说矩阵$\mathbf{A}$的特征方程有$n$个解。

三、矩阵特征值的性质

设$n$阶矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij})$的特征值为$${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$$
则这些特征值有以下性质：
性质（1）：特征值之和等于其对角线元素之和。
$${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$$

性质（2）：矩阵A特征值之积等于其行列式的值。
$${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|\mathbf{A}|$$