day41 | 343. 整数拆分、96.不同的二叉搜索树
目录：
解题及思路学习
343. 整数拆分
https://leetcode.cn/problems/integer-break/
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。
示例 1:
输入:n = 2
输出:1
解释:2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
随想录：
动规五部曲，分析如下：
-
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
-
确定递推公式
递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); j*(i-j) 相当于拆分成两个数，而j * dp[i-j] 相当于拆成了两个及以上的数。
- dp的初始化
严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！
- 确定遍历顺序
确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
5.举例推导dp数组
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-raMBtmy7-1688377503822)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/29d38d75-7ca5-4489-bb9a-2a1bdb711ad1/Untitled.png)]
注意 枚举j的时候，是从1开始的。从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0，求最大乘积就没有意义了。至于 i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
vector<int> dp(n + 1);
dp[2] = 1;
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
}
}
return dp[n];
}
};
- 时间复杂度：O(n^2)
- 空间复杂度：O(n)
贪心的方法：每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性！
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
if (n == 2) return 1;
if (n == 3) return 2;
if (n == 4) return 4;
int result = 1;
while (n > 4) {
result *= 3;
n -= 3;
}
result *= n;
return result;
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
96.不同的二叉搜索树
https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1：
!https://assets.leetcode.com/uploads/2021/01/18/uniquebstn3.jpg
输入：n = 3
输出：5
思考：当节点为n的时候，是在n-1的基础上再去放的。应该是有一个对应关系的。
随想录：当n= 3 的时候，可以分为头节点为1，头节点为2和头节点为3的情况。
头节点为1 = 左子树0节点 x 右子树1节点
头节点为2 = 左子树为1节点 x 右子树为1节点
头节点为3 = 左子树为2节点 x 右子树为0节点
所以dp[3] = dp[0] * dp[1] + dp[1]* dp[1] + dp[2] * dp[0]
可以看出，n节点的状态是由所有小于n的状态推导出来的。
动规五部曲;
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ，都是一样的。
- 确定递推公式
dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量
- dp数组如何初始化
从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。所以初始化dp[0] = 1
- 确定遍历顺序
节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。
- 举例推导dp数组
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-na3nO9XQ-1688377503824)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/bdc56c06-eaab-4392-8ece-92f20bb9d65c/Untitled.png)]
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int> dp(n + 1);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
};
- 时间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
- 空间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
一大通分析，最后代码就十来行。扩勒哇 dp！
知识点记录
知识点
1、整数拆分
2、不同的二叉搜索树
个人反思
1、整数拆分，应该不止整数。其他拆分的方法，都可以用类似的思路，选择一个变量，从1慢慢到最大，那么剩下的部分，可以不拆，也可以拆。dp[i-j] 根据定义就代表了当数等于i-j 的时候拆分相乘的最大值。以后做拆解类题目，都可以参考本题的思路。
2、第二题，真是硬找规律。且当前状态和以往所有的状态都相关。所以下次，遇到dp类的题，多从不同的角度去分析，找规律。