多元线性回归

1.概念

在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用意义更大。

2.定义

2.1.数据

2.2.矩阵

第二行可以写成：

位于第二行第一列的数字写成：

2.3.定义函数

1.回归方程

2.列向量

由此可知，方程为：

再设两个矩阵

方程变化成：

损失方程为：

3.梯度下降

4.鸢尾花数据集

数据集下载：
https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/iris/

import pandas as pd
import numpy as np
import time
import random


def MGD_train(X, y, alpha=0.0001, maxIter=1000, theta_old=None):
    '''
    MGD训练线性回归
    传入:
        X       :  已知数据  
        y       :  标签
        alpha   :  学习率
        maxIter :  总迭代次数 
    返回:
        theta : 权重参数
    '''
    # 初始化权重参数
    theta = np.ones(shape=(X.shape[1],))
    if not theta_old is None:
        # 假装是断点续训练
        theta = theta_old.copy()

    # axis=1 表示横轴，方向从左到右；axis=0 表示纵轴，方向从上到下
    for i in range(maxIter):
        # 预测
        y_pred = np.sum(X * theta, axis=1)
        # 全部数据得到的梯度
        gradient = np.average((y - y_pred).reshape(-1, 1) * X, axis=0)
        # 更新学习率
        theta += alpha * gradient
    return theta


def SGD_train(X, y, alpha=0.0001, maxIter=1000, theta_old=None):
    '''
    SGD训练线性回归
    传入:
        X       :  已知数据
        y       :  标签
        alpha   :  学习率
        maxIter :  总迭代次数

    返回:
        theta : 权重参数
    '''
    # 初始化权重参数
    theta = np.ones(shape=(X.shape[1],))
    if not theta_old is None:
        # 假装是断点续训练
        theta = theta_old.copy()
    # 数据数量
    data_length = X.shape[0]
    for i in range(maxIter):
        # 随机选择一个数据
        index = np.random.randint(0, data_length)
        # 预测
        y_pred = np.sum(X[index, :] * theta)
        # 一条数据得到的梯度
        gradient = (y[index] - y_pred) * X[index, :]
        # 更新学习率
        theta += alpha * gradient
    return theta


def MBGD_train(X, y, alpha=0.0001, maxIter=1000, batch_size=10, theta_old=None):
    '''
    MBGD训练线性回归
    传入:
        X          :  已知数据
        y          :  标签
        alpha      :  学习率
        maxIter    :  总迭代次数
        batch_size :  没一轮喂入的数据数

    返回:
        theta : 权重参数
    '''
    # 初始化权重参数
    theta = np.ones(shape=(X.shape[1],))

    if not theta_old is None:
        # 假装是断点续训练
        theta = theta_old.copy()

    # 所有数据的集合
    all_data = np.concatenate([X, y.reshape(-1, 1)], axis=1)
    for i in range(maxIter):
        # 从全部数据里选 batch_size 个 item
        X_batch_size = np.array(random.choices(all_data, k=batch_size))

        # 重新给 X, y 赋值
        X_new = X_batch_size[:, :-1]
        y_new = X_batch_size[:, -1]

        # 将数据喂入，更新 theta
        theta = MGD_train(X_new, y_new, alpha=0.0001, maxIter=1, theta_old=theta)
    return theta


def GD_predict(X, theta):
    '''
    用于预测的函数
    传入:
        X     : 数据
        theta : 权重
    返回:
        y_pred: 预测向量
    '''
    y_pred = np.sum(theta * X, axis=1)
    # 实数域空间 -> 离散三值空间，则需要四舍五入
    y_pred = (y_pred + 0.5).astype(int)
    return y_pred


def calc_accuracy(y, y_pred):
    '''
    计算准确率
    传入:
        y        : 标签
        y_pred   : 预测值
    返回:
        accuracy : 准确率
    '''
    return np.average(y == y_pred) * 100
# 读取数据
iris_raw_data = pd.read_csv('iris.data', names  =['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'class'])
# 将三种类型映射成整数
Iris_dir = {'Iris-setosa': 1, 'Iris-versicolor': 2, 'Iris-virginica': 3}
iris_raw_data['class'] = iris_raw_data['class'].apply(lambda x:Iris_dir[x])
# 训练数据 X
iris_data = iris_raw_data.values[:, :-1]
# 标签 y
y = iris_raw_data.values[:, -1]
# 用 MGD 训练的参数
start = time.time()
theta_MGD = MGD_train(iris_data, y)
run_time = time.time() - start
y_pred_MGD = GD_predict(iris_data, theta_MGD)
print("MGD训练1000轮得到的准确率{:.2f}% 运行时间是{:.2f}s".format(calc_accuracy(y, y_pred_MGD), run_time))
# 用 SGD 训练的参数
start = time.time()
theta_SGD = SGD_train(iris_data, y)
run_time = time.time() - start
y_pred_SGD = GD_predict(iris_data, theta_SGD)
print("SGD训练1000轮得到的准确率{:.2f}% 运行时间是{:.2f}s".format(calc_accuracy(y, y_pred_SGD), run_time))
# 用 MBGD 训练的参数
start = time.time()
theta_MBGD = MBGD_train(iris_data, y)
run_time = time.time() - start
y_pred_MBGD = GD_predict(iris_data, theta_MBGD)
print("MBGD训练1000轮得到的准确率{:.2f}% 运行时间是{:.2f}s".format(calc_accuracy(y, y_pred_MBGD), run_time))

结果：

MGD训练1000轮得到的准确率92.67% 运行时间是0.00s
SGD训练1000轮得到的准确率93.33% 运行时间是0.02s
MBGD训练1000轮得到的准确率92.67% 运行时间是0.02s