PCA和SVD

以下示例来自这篇神文

同时这有一篇关于SVD分解的理解，个人感觉讲的也很好

PCA算法

总结一下PCA的算法步骤：

设有m条n维数据。

1）将原始数据按列组成n行m列矩阵X

2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值

3）求出协方差矩阵

4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量

5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P

6）Y=PX即为降维到k维后的数据

实例

这里是上文提到的

为例，我们用PCA方法将这组二维数据其降到一维。

因为这个矩阵的每行已经是零均值，这里我们直接求协方差矩阵：

然后求其特征值和特征向量，具体求解方法不再详述，可以参考相关资料。求解后特征值为：

其对应的特征向量分别是：

其中对应的特征向量分别是一个通解，c1c1和c2c2可取任意实数。那么标准化后的特征向量为：

因此我们的矩阵P是：

可以验证协方差矩阵C的对角化：

最后我们用P的第一行乘以数据矩阵，就得到了降维后的表示：

降维投影结果如下图：