MATLAB数值分析学习笔记：线性代数方程组的求解和高斯-赛德尔方法

迭代法是前面介绍的消元法的有效替代，线性代数方程组常用的迭代法有高斯-赛德尔方法和雅克比迭代法，下面会讲到二者的不同之处，大家会发现两者的实现原理其实类似，只是方法不同，本篇只重点介绍高斯-赛德尔方法。

原理：

看了我之前的笔记的同学应该已经对迭代法不再陌生了，无非就是首先取初始值，然后选取一个方法进行迭代，直到满足终止条件为止，简单概括为：

 高斯-赛德尔方法也是如此，首先猜测xi的初始值（i=1,2···n），一种简单的方法是xi=0.

把这些初始值（除了x1）带入第一个方程，就可以解出x1的新值为把这个新的x1和其他初始值（除了x2）带入第二个方程，解出新的x2，以此类推，直到第一个迭代过程结束，重复迭代直到下面的终止准则成立（迭代过程收敛）

在高斯-赛德尔方法中，一旦计算出某个xi的新值，就会作为已知被代入到下一个方程中，二前文提到的雅克比迭代法则不是如此，该方法一一次迭代为单位进行更新，也就是说，xi的新值不会马上被代入到下一个方程中，而是等到本次迭代之后再带入到下一次迭代，下面引用《工程于科学数值方法的MATLAB实现》（第4版）的一张图说明问题

 左边为高斯-赛德尔方法，右边为雅克比迭代法。

 代码实现：

function x = GuessSeidel(A,b,es,maxit)
%%GuessSeidel:高斯-赛德尔方法求解线性方程组
%   高斯-赛德尔方法是一种迭代法，首先猜测各个xi的初始值（一个简单的方法是设各个xi为0）
%将这些初始值带入到第一个方程解出x1,然后更新x1，将xi带入第二个方程x2，更新x2
%依次迭代，直至数值解非常接近真实值为止
%判断条件：对任意的i，有ea(i)=abs((x(i)-xold(i))/x(i))<=es
%即：max(ea)<=es

%%输入
%A=系数矩阵
%b=右侧矩阵
%es=终止准则（default = 0.00001%）
%maxit=最大迭代次数（default = 50）
%输出：
%x=解向量

%%代码实现
%思路：解向量可以简单的表示为x=d-C*x
%其中di=b_i/a_ii,C的对角线元素为0。
if nargin<2,error('至少输入系数矩阵和右侧矩阵'),end
if nargin<4||isempty(maxit),maxit=50;end
if nargin<3||isempty(es),es=0.0000001;end

[m,n]=size(A);
if m~=n,error('系数矩阵必须为方阵'), end

%求解C
C = A;
for i = 1:n
    C(i,i)=0;
    x(i) = 0;%顺便求初始x
end
x=x';
for i = 1:n
    C(i,1:n) = C(i,1:n)/A(i,i);
end
%求解d
for i=1:n
    d(i)=b(i)/A(i,i);
end
%开始迭代
iter=0;
while(1)
    xold=x;%记录上次的x
    for i=1:n
        x(i)=d(i) - C(i,:)*x;%求解并更新xi
        if x(i)~=0
            ea(i)=abs((x(i)-xold(i))/x(i));
        end
    end
    iter = iter+1;
    if max(ea)<=es || iter>=maxit,break, end
end

end

问题求解：

问题：

下面分别用了 高斯-赛德尔方法，逆矩阵法和高斯消元法求解该问题。

%%使用高斯赛德尔方法求解一组线性方程组
A=[3 -0.1 -0.2;0.1 7 -0.3;0.3 -0.2 10];
b=[7.85 -19.3 71.4]';
%下分别使用高斯赛德尔，逆矩阵法，选主元高斯法求解问题
x_1=GuessSeidel(A,b,1e-1,20)
x_2=inv(A)*b
x_3=GaussPivot(A,b)

>> GuessSeidel_test
x_1 =
    3.0000
   -2.5000
    7.0000
x_2 =
    3.0000
   -2.5000
    7.0000
x_3 =
    3.0000
   -2.5000
    7.0000

声明：文章来源于笔者学习【美】Steven C. CHapra所著，林赐译 《工程于科学数值方法的MATLAB实现》（第4版）的笔记，如有谬误或想深入了解，请翻阅原书。