坐标变换与坐标系变换

一、几个概念

• 欧拉角
• 固定轴变换与连续轴变换

定理1 所谓欧拉角和固定角顺序相反指的是：如果一个物体分别绕自己的xyz坐标轴旋转αβγ角度相当于物体绕世界坐标轴的zyx分别旋转γβα角度。
定理2 a frame到b frame的坐标系变换（frame transform），也表示了b frame在a frame的描述，也代表了把一个点在b frame里坐标变换成在a frame里坐标的坐标变换

1.1 欧拉角

Euler angles, 应用广泛，不同的研究领域有不同术语习惯，但意义相同。

extrinsic=fixed=static,外旋=固定轴=静态；
intrisic=rotating,内旋=连续轴=旋转轴

二、 坐标旋转与坐标系旋转

• 1. source、target frame是在进行坐标变换时的概念，source是坐标变换的源坐标系，target是目标坐标系。这个时候，这个变换代表的是坐标变换
• 2. parent、child frame是在描述坐标系变换时的概念，parent是原坐标系，child是变换后的坐标系，这个时候这个变换描述的是坐标系变换，也是child坐标系在parent坐标系下的描述。
• 3. a frame到b frame的坐标系变换（frame transform），也表示了b frame在a frame的描述，也代表了把一个点在b frame里坐标变换成在a frame里坐标的坐标变换。
• 4. 从parent到child的坐标系变换（frame transform）等同于把一个点从child坐标系向parent坐标系的坐标变换，等于child坐标系在parent frame坐标系的姿态描述。

2.1 坐标与基

2.1.1 基

基的概念源于线性代数，一般指向量空间的基，其定义为：

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基的一般使用一维行向量表示：

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【在我的理解里】，基实际上是坐标系的一组向量表示。三维坐标系( x y z ) (x y z)(xyz)中，设其一组基为(α1, α2, α3)。所以请把基当做坐标系吧。

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Fig2. 三维直角坐标系

2.1.2 坐标

在线性代数中，坐标的全称为，向量关于基的坐标。其定义为：

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坐标一般用一维列向量表示：

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【在我的理解中】，坐标是指坐标系下一组数值。如三维坐标系下某点坐标为(x, y, z)。

2.2 基变换

2.2.1 基变换定义

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2.2.2 基变换大白话

• 基变换就是把一组基变到另一组基。
• 而用在导航方面来讲，就是从一个坐标系转换到另一个坐标系。
• 注意，基变换是右乘的，即过渡矩阵A被乘在右边。

2.3 坐标变换

2.3.1 坐标变换定义

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2.3.2 坐标变换大白话

• 坐标变换就把一个点（或一个向量）从一个坐标系转换到另一个坐标系去。举个栗子：东北天坐标下点B坐标为(1, 2, 3)，通过坐标变换到北西天坐标系，在北西天坐标系下B点坐标是(x, x, x)。
• 上面那点就是说，同一个点（或向量）在不同坐标系下的坐标分别是什么？
• 注意，坐标变换，是左乘的。过渡矩阵A是乘在左边的。（在这里和均只表示一个象征作用，象征变换阵，下同）

参考

• 1. 坐标变换与基变换——左乘与右乘
• 2. ROS中的TF
• 3. XYZ Fixed Angles 和 ZYX Euler Angles的比较