[源码解析] 深度学习流水线并行 PipeDream(2)--- 计算分区

[源码解析] 深度学习流水线并行 PipeDream(2)— 计算分区

0x00 摘要

在前文中，我们介绍了PipeDream的总体架构和Profile阶段，本文我们继续介绍计算分区阶段。其功能是：依据profile结果确定所有层的运行时间，然后使用动态规划对模型进行划分，将模型划分为不同的stage，以及得到每个stage的replication数。计算结果具体如下图所示：

流水线并行其他文章链接如下:

[源码解析] 深度学习流水线并行Gpipe(1)—流水线基本实现

[源码解析] 深度学习流水线并行GPipe (2) ----- 梯度累积

[源码解析] 深度学习流水线并行之PipeDream(1)— Profile阶段

0x01 前言

1.1 Profile文件

我们首先看看profile文件 profiler/translation/profiles/gnmt/graph.txt 内容，这里只是做摘录。

node1 -- Input0 -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=0.0, parameter_size=0.000
node4 -- Embedding(32320, 1024, padding_idx=0) -- forward_compute_time=0.073, backward_compute_time=6.949, activation_size=6291456.0, parameter_size=132382720.000
node5 -- EmuBidirLSTM(  (bidir): LSTM(1024, 1024, bidirectional=True)  (layer1): LSTM(1024, 1024)  (layer2): LSTM(1024, 1024)) -- forward_compute_time=5.247, backward_compute_time=0.016, activation_size=12582912.0, parameter_size=67174400.000
node2 -- Input1 -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=0.0, parameter_size=0.000
node6 -- Dropout(p=0.2) -- forward_compute_time=0.077, backward_compute_time=0.196, activation_size=12582912.0, parameter_size=0.000
node7 -- LSTM(2048, 1024) -- forward_compute_time=3.190, backward_compute_time=5.348, activation_size=[6291456.0; 131072.0; 131072.0], parameter_size=50364416.000
node8 -- __getitem__(0) -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000
node9 -- __getitem__(1) -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=131072.0, parameter_size=0.000
node10 -- Dropout(p=0.2) -- forward_compute_time=0.064, backward_compute_time=0.128, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000
node11 -- LSTM(1024, 1024) -- forward_compute_time=2.491, backward_compute_time=4.203, activation_size=[6291456.0; 131072.0; 131072.0], parameter_size=33587200.000
node12 -- __getitem__(0) -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000
node13 -- __getitem__(1) -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=131072.0, parameter_size=0.000
node14 -- Add -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000
node15 -- Dropout(p=0.2) -- forward_compute_time=0.059, backward_compute_time=0.121, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000
node16 -- LSTM(1024, 1024) -- forward_compute_time=2.492, backward_compute_time=4.201, activation_size=[6291456.0; 131072.0; 131072.0], parameter_size=33587200.000
node17 -- __getitem__(0) -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000
......
	node1 -- node4
	node4 -- node5
	node2 -- node5
	node5 -- node6
	node6 -- node7
	node7 -- node8
	node7 -- node9
	node8 -- node10
	node10 -- node11
	node11 -- node12
	node11 -- node13
	node12 -- node14
	node8 -- node14
	node14 -- node15
	node15 -- node16
	node16 -- node17
	node16 -- node18
	node17 -- node19
	node14 -- node19
......

1.2 总体思路

在前文我们也提到了几个挑战，其中有：

• 如何高效划分流水线。
  • 模型特质和硬件拓扑会降低效率。分配算法也必须考虑模型特质和硬件拓扑。
  • 机器间的过度通信会降低硬件效率。
• 如何防止流水线瓶颈。
  • 由木桶原理我们可以知道，一个流水线管道的吞吐量由这个流水线上最慢环节的吞吐量决定。所以需要确保流水线中所有阶段都大致花费相同的计算时间，否则最慢的阶段将会成为整个流水线的瓶颈。

因此当跨机器将层划分为不同的阶段时，PipeDream的自动划分算法必须确保每个阶段大致执行相同的总工作量。同时还必须确保各阶段之间通信的数据量尽可能小，以避免通信中断。

PipeDream的自动划分算法总体目标是输出一个平衡的管道，算法如下：

• 将DNN层划分为多个阶段，以便每个阶段以大致相同的速率完成，即花费大致相同的计算时间。
• 尝试以拓扑感知的方式尽量减少worker之间的通信（例如，如果可能，向更高带宽的链路发送较大的输出）。
• 因为DNN并不总可以在可用的workers做平均分配，为了进一步改进负载平衡，PipeDream允许复制一个stage，即在这个stage上使用多个worker进行数据并行。

这个划分问题等价于最小化流水线的最慢阶段所花费的时间，并且具有最优子问题属性：在给定worker工作量前提下，吞吐量最大化的流水线由一系列子流水线构成，其中每一个子流水线针对较小worker工作量来最大化自己的输出。因此PipeDream使用动态规划来寻找最优解。

这里给出对应的架构图如下：

我们下面先看看计算分区之前的准备工作：图相关工作和构建反链。

0x02 图相关

图的定义位于 graph/graph.py 文件之中，主要数据结构有两个：Graph 和 Node。

2.1 Graph

Graph就是图的数据结构，其主要成员包括：

• nodes ：图内节点；
• edges ：图内每个节点的输出边；
• in_edges ：图的每个节点的输入边；
• _predecessors ：每个节点的前序节点；
• _successors ：每个节点的后序节点；
• _antichain_dag ：反链DAG；

class Graph(object):
    def __init__(self, node=None):
        self.nodes = {} # 节点
        if node is not None:
            self.nodes[node.node_id] = node
        self.edges = {} # 出边
        self.in_edges = {} # 入边

        self._predecessors = {} #每个节点的前序节点 
        self._successors = {} # 每个节点的后序节点
        self._augmented_antichains = {}
        self._deaugmented_augmented_antichains = {}
        self._next_antichains = {}
        self._antichain_dag = None # 反链DAG

        if node is not None:
            self.in_edges[node.node_id] = list()

节点定义如下，里面就是从profile获取到的结构，比如：

• forward_compute_time : 前向传播时间；
• backward_compute_time ：反向传播时间；
• activation_size : 激活值大小；
• parameter_size : 参数大小；

class Node(object):
    def __init__(self, node_id, node_desc="", forward_compute_time=0.0,
                 backward_compute_time=0.0, activation_size=0.0, parameter_size=0.0,
                 stage_id=None):
        self.node_id = node_id
        self.node_desc = node_desc
        self.forward_compute_time = forward_compute_time
        self.backward_compute_time = backward_compute_time
        self.activation_size = activation_size
        self.parameter_size = parameter_size
        self.stage_id = stage_id
        self.depth = None
        self.height = None

我们打印出运行时看看，可以发现 Graph 的具体情况。

gr = {Graph} 
 # 边
 edges = {dict: 39}
  'node1' = {list: 1} 
   0 = {Node} node4 -- Embedding(32320, 1024, padding_idx=0) -- forward_compute_time=0.073, backward_compute_time=6.949, activation_size=6291456.0, parameter_size=132382720.000
  'node4' = {list: 1} 
   0 = {Node} node5 -- EmuBidirLSTM(  (bidir): LSTM(1024, 1024, bidirectional=True)  (layer1): LSTM(1024, 1024)  (layer2): LSTM(1024, 1024)) -- forward_compute_time=5.247, backward_compute_time=0.016, activation_size=12582912.0, parameter_size=67174400.000
   ......

 # 输入边 
 in_edges = {dict: 44} 
  'node4' = {list: 1} 
   0 = {Node} node1 -- Input0 -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=0.0, parameter_size=0.000
  'node5' = {list: 2} 
   0 = {Node} node4 -- Embedding(32320, 1024, padding_idx=0) -- forward_compute_time=0.073, backward_compute_time=6.949, activation_size=6291456.0, parameter_size=132382720.000
   1 = {Node} node2 -- Input1 -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=0.0, parameter_size=0.000
   ......
  
 # 节点 
 nodes = {dict: 48}
  'node1' = {Node} node1 -- Input0 -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=0.0, parameter_size=0.000
  'node4' = {Node} node4 -- Embedding(32320, 1024, padding_idx=0) -- forward_compute_time=0.073, backward_compute_time=6.949, activation_size=6291456.0, parameter_size=132382720.000
  'node5' = {Node} node5 -- EmuBidirLSTM(  (bidir): LSTM(1024, 1024, bidirectional=True)  (layer1): LSTM(1024, 1024)  (layer2): LSTM(1024, 1024)) -- forward_compute_time=5.247, backward_compute_time=0.016, activation_size=12582912.0, parameter_size=67174400.000
 ......

# 前置节点
_predecessors = {dict: 36} 
 'node4' = {set: 0} set()
  __len__ = {int} 0
 'node5' = {set: 1} {<graph.graph.Node object at 0x7fb055e4bf28>}
  {Node} node4 -- Embedding(32320, 1024, padding_idx=0) -- forward_compute_time=0.073, backward_compute_time=6.949, activation_size=6291456.0, parameter_size=132382720.000
  __len__ = {int} 1
 'node6' = {set: 2} {<graph.graph.Node object at 0x7fb055e4bf98>, <graph.graph.Node object at 0x7fb055e4bf28>}
  {Node} node5 -- EmuBidirLSTM(  (bidir): LSTM(1024, 1024, bidirectional=True)  (layer1): LSTM(1024, 1024)  (layer2): LSTM(1024, 1024)) -- forward_compute_time=5.247, backward_compute_time=0.016, activation_size=12582912.0, parameter_size=67174400.000
  {Node} node4 -- Embedding(32320, 1024, padding_idx=0) -- forward_compute_time=0.073, backward_compute_time=6.949, activation_size=6291456.0, parameter_size=132382720.000
  __len__ = {int} 2
 'node7' = {set: 3} {<graph.graph.Node object at 0x7fb055e4bf98>, <graph.graph.Node object at 0x7fb055e4bf28>, <graph.graph.Node object at 0x7fb055e670f0>}
  {Node} node5 -- EmuBidirLSTM(  (bidir): LSTM(1024, 1024, bidirectional=True)  (layer1): LSTM(1024, 1024)  (layer2): LSTM(1024, 1024)) -- forward_compute_time=5.247, backward_compute_time=0.016, activation_size=12582912.0, parameter_size=67174400.000
  {Node} node4 -- Embedding(32320, 1024, padding_idx=0) -- forward_compute_time=0.073, backward_compute_time=6.949, activation_size=6291456.0, parameter_size=132382720.000
  {Node} node6 -- Dropout(p=0.2) -- forward_compute_time=0.077, backward_compute_time=0.196, activation_size=12582912.0, parameter_size=0.000
  __len__ = {int} 3

 # 其他变量
  _antichain_dag = {NoneType} None
  _augmented_antichains = {dict: 0} {}
  _deaugmented_augmented_antichains = {dict: 0} {}
  _next_antichains = {dict: 0} {}
  _successors = {dict: 0} {}

2.2 构建图

图是由profile文件的字符串构建出来。找出来profile文件内容我们就可以知道，具体是针对每行进行不同处理。

node1 -- Input0 -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=0.0, parameter_size=0.000
node4 -- Embedding(32320, 1024, padding_idx=0) -- forward_compute_time=0.073, backward_compute_time=6.949, activation_size=6291456.0, parameter_size=132382720.000
node5 -- EmuBidirLSTM(  (bidir): LSTM(1024, 1024, bidirectional=True)  (layer1): LSTM(1024, 1024)  (layer2): LSTM(1024, 1024)) -- forward_compute_time=5.247, backward_compute_time=0.016, activation_size=12582912.0, parameter_size=67174400.000
	node1 -- node4
	node4 -- node5
	node2 -- node5

构建图具体代码如下：

@staticmethod
def from_str(graph_str):
    gr = Graph()
    graph_str_lines = graph_str.strip().split('\n') 
    for graph_str_line in graph_str_lines: # 逐行处理
        if not graph_str_line.startswith('\t'):
            node = Node.from_str(graph_str_line.strip()) # 构建节点
            gr.nodes[node.node_id] = node
        else:
            # 构建边
            [in_node_id, node_id] = graph_str_line.strip().split(" -- ")
            if node_id not in gr.in_edges: # 每个节点的输入边
                gr.in_edges[node_id] = [gr.nodes[in_node_id]]
            else:
                gr.in_edges[node_id].append(gr.nodes[in_node_id])
            if in_node_id not in gr.edges: # 每个节点的输出边
                gr.edges[in_node_id] = [gr.nodes[node_id]]
            else:
                gr.edges[in_node_id].append(gr.nodes[node_id])
    return gr

构建节点具体代码如下：

    @staticmethod
    def from_str(node_str):
        node_str_tokens = node_str.strip().split(" -- ")
        node_id = node_str_tokens[0] # 节点名字
        node_desc = node_str_tokens[1] # 节点描述
        node_metadata = node_str_tokens[2] # 元数据
        stage_id = None
        if len(node_str_tokens) > 3:
            stage_id = int(node_str_tokens[3].split("=")[1]) # 阶段信息
        [forward_compute_time, backward_compute_time, activation_size, parameter_size] = node_metadata.split(", ")
        forward_compute_time = float(forward_compute_time.split("=")[1]) # 前向传播计算时间
        backward_compute_time = float(backward_compute_time.split("=")[1]) # 后向传播计算时间
        if "[" in activation_size:
            activation_size = activation_size.split("=")[1] # 激活值大小
            activation_size = sum([float(x) for x in activation_size.lstrip("[").rstrip("]").split("; ")])
        else:
            activation_size = float(activation_size.split("=")[1])
        parameter_size = float(parameter_size.split("=")[1]) # 参数大小
        # 构建节点
        return Node(node_id, node_desc, forward_compute_time=forward_compute_time,
                    backward_compute_time=backward_compute_time, activation_size=activation_size,
                    parameter_size=parameter_size, stage_id=stage_id)

2.3 反链

在有向无环图中，有如下的一些概念：

• 链 ：一条链是一些点的集合，在此链上的任意两个点x, y，满足以下条件：或者 x 能到达 y ，或者 y 能到达 x 。也可以认为是某一个偏序集S的全序子集（所谓全序是指其中任意两个元素可以比较）

• 反链 ：一条反链也是一些点的集合，在此链上任意两个点x, y，满足如下条件： x 不能到达 y，且 y 也不能到达 x。也可以认为是某一个偏序集S的子集，其中任意两个元素不可比较。

在PipeDream的图数据结构之中，也有反链的概念。反链节点定义如下：

class AntichainNode(Node):
    def __init__(self, node_id, antichain, node_desc=""):
        self.antichain = antichain
        self.output_activation_size = 0.0
        super(AntichainNode, self).__init__(node_id, node_desc)

因为此处过于复杂，所以我们会在下面用一节专门分析。

0x03 构建反链

因为本节概念比较绕，所以我们先提前剧透。

寻找某节点后续反链的目的就是找到下一个图分割点 A（可能是若干node的组合），为了确定 A 的运行时间（或者其他信息），我们需要找到 A 的增强反链。

此处具体代码位于optimizer_graph_hierarchical.py 文件。

我们利用如下逻辑来演示：

+-------+       +-------+
| node1 |       | node2 |
+---+---+       +---+---+
    |               |
    |               |
    |               |
    v               v
+---+---+       +---+---+        +-------+        +-------+
| node4 +-----> | node5 +------> | node6 +------->+ node7 |
+-------+       +-------+        +-------+        +-+-+---+
                                                    | |
                                                    | |
                                      +-------------+ |
                                      |               |
                                      v               v
                                 +----+--+        +---+---+
                                 | node9 |        | node8 +-----+
                                 +-------+        +---+---+     |
                                                      |         |
                    +---------------------------------+         |
                    |                                           |
                    v                                           |
               +----+---+       +--------+        +--------+    |
               | node10 +-----> | node11 +------> | node12 |    |
               +--------+       +---+----+        +----+---+    |
                                    |                  |        |
                                    |                  |        |
                                    v                  v        |
                                +---+----+        +----+---+    |
                                | node13 |        | node14 +<---+
                                +--------+        +-+----+-+
                                                    |    |
                                             +------+    +---+
                                             |               |
                                             v               v
                                        +----+---+        +--+-----+
                                        | node15 |        | node19 |
                                        +--------+        +--------+

3.1 main函数入口

我们首先从 main 函数看起。main函数第一部分是构建反链和拓扑排序，具体如下：

• 从图中移除source节点。目的是排除干扰，因为input必然在第一层，没必要让优化器再来选择把输入放在哪里，所以先去除，后续转换模型时候会再加上。
• 对图的输出进行处理，移除没有用到的输出。
• 得到反链DAG。
• 对反链DAG进行拓扑排序，得到一个排序好的节点列表。

具体代码如下：

def main(all_num_machines, profile_filename, network_bandwidths, memory_size,
         straight_pipeline, use_memory_constraint, use_fewer_machines,
         activation_compression_ratio, output_directory,
         print_configuration=True, verbose=False):
    gr = graph.Graph.from_str(open(profile_filename, 'r').read())

    # Zero out all metadata associated with inputs in graph, since the optimizer
    # shouldn't really get a choice with where to place the input (should always
    # be in the first stage).
    # 排除干扰，因为input必然在第一层，没必要让优化器再来选择把输入放在哪里，所以先去除，后续会再加上。
    sources = gr.sources() # 对图的输入进行处理
    nodes_to_remove = OrderedDict()
    for source in sources:
        if source.node_desc.startswith("Input"): # 只处理input
            source.forward_compute_time = 0.0
            source.backward_compute_time = 0.0
            source.activation_size = 0.0
            source.parameter_size = 0.0
            nodes_to_remove[source] = []
            for out_node in gr.edges[source.node_id]:
                nodes_to_remove[source].append(out_node) # 记录这些删除source对应了哪些out节点，因为后续还要处理
            gr.remove_node(source) # 在图中移除这些input source

    # Remove all unneeded sinks that are not used, makes code generation and
    # optimization easier.
    sinks = gr.sinks() # 对图的输出进行处理，移除没有用到的输出
    for sink in sinks:
        if sink.node_desc.startswith("__getitem__"):
            gr.remove_node(sink)

    antichain_gr = gr.antichain_dag() # 得到反链DAG
    states = antichain_gr.topological_sort() # 拓扑排序，得到一个排序好的节点列表

    # 后续代码暂时省略

这里再取出反链节点定义如下，可以看出来和代码对应关系。

class AntichainNode(Node):
    def __init__(self, node_id, antichain, node_desc=""):
        self.antichain = antichain
        self.output_activation_size = 0.0
        super(AntichainNode, self).__init__(node_id, node_desc)

3.2 增强反链

首先要介绍先增强反链概念。每个节点的增强反链包括：本身节点 + 部分前序节点。

这个前序节点的选取算法是：

1. 获取本节点的全部前序节点列表；
2. 如果一个前序节点的"出边目的节点"不在全部前序节点列表，且"出边目的节点"不为本身，则选取此前序节点为增强反链的一部分。

从下面图例中可以看出来，如果某一个节点 A，其前置节点中有一个分叉节点 Z，且这个分叉之中，有一个分叉绕过了节点 A，则对于节点 A，他的增强反链就是 [A, Z]。

对于增强反链概念，可以理解为：对于节点 A，他只有把节点 Z 一起考虑，才能唯一确定自己节点的运行时间。因为如果思考节点 A 的运行时间，我理解的大致思路是：

• 因为各个阶段可以流水线并行，所以 A 的运行时间应该是以下三个时间的最大值：A的计算时间，A的输入时间，A的输出时间。
• A 的输入时间是以下两个时间的最大值： X --> A 节点输出时间，Z --> A 节点的输出时间。
• 但是因为不清楚 Z 的内部运行机制，所以不能确定 Z 的两个输出之间是否有依赖关系，比如 “必须先完成 Z–> D，才能输出 Z–> A”， 所以，也需要考虑 Z --> D 的传输时间。

所以，需要把 [ A，Z ] 放在一起作为一个状态考虑，事实上 PipeDream 就是这么处理的，用 [ A，Z ] 这个状态来统一计算。

因为作为一个状态考虑，所以给节点 A 计算输出激活值大小，具体是通过遍历其反链（增强反链）来计算，就是把其增强反链的前序节点给自己的输出都叠加起来。

    +-----+            +-----+
    |  X  |            |  Z  |
    +--+--+            +--+-++
       |                  | |
       |                  | |
       +------+   +-------+ |
              |   |         |
              v   v         |
             ++---++        |
             |  A  |        |
             ++-+--+        |
              | |           |
    +---------+ |           |
    |           |           |
    v           v           v
+---+-+      +--+--+      +-+---+
|  B  |      |  C  |      |  D  |
+-----+      +-----+      +-----+

在代码之中，_augmented_antichains 是增强反链，也是一个字典类，key是节点名字，value是 key 节点的增强反链，比如：

augment_antichain函数作用就是对每个节点，找到其增强反链。

def augment_antichain(self, antichain):
    # 参数 antichain 是一个节点列表
    antichain_key = tuple(sorted(antichain))
    # 如果key已经在扩大反链之中，就直接返回对应key的增强反链
    if antichain_key in self._augmented_antichains:
        return self._augmented_antichains[antichain_key]
    extra_nodes = set()
    all_predecessors = set()
    # 遍历参数list之中的反链节点，获取每个节点的前置节点，归并在all_predecessors之中。
    for antichain_node in antichain:
        predecessors = self.predecessors(antichain_node)
        all_predecessors = all_predecessors.union(predecessors)
    # 遍历参数list之中的反链节点
    for antichain_node in antichain:
        # 获取每个反链节点的前置节点列表
        predecessors = self.predecessors(antichain_node)
        # 遍历每个前置节点
        for predecessor in predecessors:
            # 看每个前置节点的出边，如果出边不在前置节点列表之中，且 出边节点不等于本反链节点
            for out_node in self.edges[predecessor.node_id]:
                if out_node not in predecessors and out_node.node_id != antichain_node:
                    # 把这个前置节点插入到附加节点列表中
                    extra_nodes.add(predecessor.node_id)
    # 最终把个附加节点列表插入到增强节点之中
    self._augmented_antichains[antichain_key] = list(extra_nodes) + antichain
    return self._augmented_antichains[antichain_key]

比如对应下图中的逻辑，初始化之后，_augmented_antichains 就是

_augmented_antichains = {dict: 1} 
 ('node4',) = {list: 1} ['node4']

后续迭代node 5之后，_augmented_antichains 就是

_augmented_antichains = {dict: 2} 
 ('node4',) = {list: 1} ['node4']
 ('node5',) = {list: 1} ['node5']
 __len__ = {int} 2

继续迭代，增强反链为：

_augmented_antichains = {dict: 7} 
('node4',) = {list: 1} ['node4'] # node4的增强反链只有自己
('node5',) = {list: 1} ['node5'] # node5的增强反链只有自己
('node6',) = {list: 1} ['node6']
('node7',) = {list: 1} ['node7']
('node8',) = {list: 1} ['node8']
('node10',) = {list: 2} ['node8', 'node10'] # node10的增强反链是'node8', 'node10'
('node14',) = {list: 1} ['node14']
('node11',) = {list: 2} ['node8', 'node11'] # node11的增强反链是'node8', 'node11'
('node15',) = {list: 2} ['node14', 'node15']
('node19',) = {list: 1} ['node19']
('node12',) = {list: 2} ['node8', 'node12']
('node16',) = {list: 2} ['node14', 'node16']
('node23',) = {list: 2} ['node20', 'node23']
('node17',) = {list: 2} ['node14', 'node17']  

图例中可以看出来，因为有 node 8的出边 [node 8，node 14] 存在，对于 node 10, node 11, node 12 来说，他们必须把 node 8 加入自己的增强反链之中。

对于 node 10，我们可以认为，必须结合 node 8之后，node 10 才能确定 node 10 的运行时间。下面图上标记出来了 node 10 的 augmented 反链（本身节点 + 部分前序节点）。

+-------+       +-------+
| node1 |       | node2 |
+---+---+       +---+---+
    |               |
    |               |
    |               |
    v               v
+---+---+       +---+---+        +-------+        +-------+
| node4 +-----> | node5 +------> | node6 +------->+ node7 |
+-------+       +-------+        +-------+        +-+-+---+
                                                    | |
                                                    | |
                                      +-------------+ |
                                      |               |
                                      v               v  augmented
                                 +----+--+        +---+---+
                                 | node9 |        | node8 +-----+
                                 +-------+        +---+---+     |
                                                      |         |
                    +---------------------------------+         |
                    |                                           |
                    v                                           |
               +----+---+       +--------+        +--------+    |
     antichain | node10 +-----> | node11 +------> | node12 |    |
               +--------+       +---+----+        +----+---+    |
             augmented              |                  |        |
                                    |                  |        |
                                    v                  v        |
                                +---+----+        +----+---+    |
                                | node13 |        | node14 +<---+
                                +--------+        +-+----+-+
                                                    |    |
                                             +------+    +---+
                                             |               |
                                             v               v
                                        +----+---+        +--+-----+
                                        | node15 |        | node19 |
                                        +--------+        +--------+

3.3 后续反链

在代码之中，_next_antichains 是一个字典类，key是节点名字，value是 key 节点的后续反链。

比如，对于 node A 来说，下一个反链是 [ node B, node C ]，其中 node B 和 node C 彼此之间无法排序。寻找反链的目的就是找到下一个图分割点。

    +-----+            +-----+
    |  X  |            |  Z  |
    +--+--+            +--+-++
       |                  | |
       |                  | |
       +------+   +-------+ |
              |   |         |
              v   v         |
             ++---++        |
             |  A  |        |
             ++-+--+        |
              | |           |
    +---------+ |           |
    |           |           |
    v           v           v
+---+-+      +--+--+      +-+---+
|  B  |      |  C  |      |  D  |
+-----+      +-----+      +-----+

对于每个节点 antichain ，next_antichains 函数获取其后续反链。

    def next_antichains(self, antichain):
        # 构建antichain的反链key，其实就是 antichain 自己作为key
        antichain_key = tuple(sorted(antichain))
        # 如果key已经在后续反链之中，则返回这个后续反链
        if antichain_key in self._next_antichains:
            return self._next_antichains[antichain_key]

        next_antichains = []
        antichain_set = set(antichain)
        # 获取 antichain 的增强反链
        augmented_antichain = self.augment_antichain(antichain)
        # 遍历增强反链
        for augmented_antichain_node in augmented_antichain:
            # 遍历增强反链某节点的出边
            next_nodes = self.edges[augmented_antichain_node] if augmented_antichain_node in self.edges else []
            # 遍历增强反链某节点的出边
            for next_node in next_nodes:
                # 如果出边节点已经在反链集合之中，跳过，进入下一循环
                if next_node.node_id in antichain_set:
                    continue
                # 如果出边节点是后续反链，则假如到反链列表   
                if self.is_next_antichain(augmented_antichain, next_node.node_id):
                    next_antichain = self.construct_antichain(augmented_antichain,
                                                              augmented_antichain_node,
                                                              next_node.node_id)
                    next_antichains.append(next_antichain)
        # 最终把反链列表设置为key对应的反链            
        self._next_antichains[antichain_key] = next_antichains
        return self._next_antichains[antichain_key]

is_next_antichain 方法用来判断某新节点是否为后续反链。

def is_next_antichain(self, augmented_antichain, new_node):
    successors = self.successors(new_node)
    augmented_antichain_set = set(augmented_antichain)
    # 遍历新节点的后续节点
    for successor in successors:
        # 如果后续节点有一个在增强节点之中，就返回false，说明不是后续反链
        if successor.node_id in augmented_antichain_set:
            return False
    # 否则就是后续反链      
    return True

_next_antichains举例如下，大家可以结合之前的增强反链对比看看。

• 以 node 10 为例，其增强节点为：[ node 8，node 10 ]，
• 遍历这些增强节点，看每一个增强节点的出边。8 的出边 [ node 10，node 14 ]，10 的出边是 [ node 11]。
• 所以有三个点 node 10，node 11，node 14 可以继续看。其中node 10 已经在[ node 8，node 10 ]之中，所以不考虑。
• 用 14 调用 is_next_antichain。
  • is_next_antichain 之中，augmented_antichain 为 [ node 8, node 10]，new_node 是 node 14。
  • 得到 successors 集合为 [ node31，node16，node23，node44，node48 …] 等22个节点，这些节点都不在 [ node 8, node 10] 之中，所以 is_next_antichain 为 true，14 是后续反链节点之一。
• 用 11 调用 is_next_antichain。
  • is_next_antichain 之中，augmented_antichain 为 [ node 8, node 10]，new_node 是 node 11。
  • 得到 successors 集合为 [ node16，node40，node23，…] 等节点，这些节点都不在 [ node 8, node 10] 之中，所以 is_next_antichain 为 true，11 是后续反链节点之一。

所以 node 10 的后续反链是 [ [‘node14’] ，[ ‘node11’] ]。

对比 看看，node 10 的增强反链是 [‘node8’, ‘node10’]，

_next_antichains = {dict: 99} 
 ('node4',) = {list: 1} [['node5']]
 ('node5',) = {list: 1} [['node6']]
 ('node6',) = {list: 1} [['node7']]
 ('node7',) = {list: 1} [['node8']]
 ('node8',) = {list: 2} [['node10'], ['node14']]
 ('node10',) = {list: 2} [['node14'], ['node11']] # 这里
 ('node14',) = {list: 2} [['node15'], ['node19']]
 ('node11',) = {list: 2} [['node14'], ['node12']]
 ('node15',) = {list: 2} [['node19'], ['node16']]
 ('node19',) = {list: 1} [['node23']]
 ('node12',) = {list: 2} [['node14'], ['node14']]
 ('node16',) = {list: 2} [['node19'], ['node17']]

具体如下图，可以看出来，node 11和 node 14确实是 node 10的后续反链，就是在这两个节点上可以对于图进行分割。

可以这么理解：对于 node 10 来说，下一个反链是 [ node 11, node 14]，其中 node 11 和 node 14 彼此之间无法排序。寻找后续反链的目的就是找到下一个图分割点。

+-------+       +-------+
| node1 |       | node2 |
+---+---+       +---+---+
    |               |
    |               |
    |               |
    v               v
+---+---+       +---+---+        +-------+        +-------+
| node4 +-----> | node5 +------> | node6 +------->+ node7 |
+-------+       +-------+        +-------+        +-+-+---+
                                                    | |
                                                    | |
                                      +-------------+ |
                                      |               |
                                      v               v  augmented
                                 +----+--+        +---+---+
                                 | node9 |        | node8 +-----+
                                 +-------+        +---+---+     |
                                                      |         |
                    +---------------------------------+         |
                    |                                           |
                    v              next                         |
               +----+---+       +--------+        +--------+    |
     antichain | node10 +-----> | node11 +------> | node12 |    |
               +--------+       +---+----+        +----+---+    |
             augmented              |                  |        |
                                    |                  |        |
                                    v             next v        |
                                +---+----+        +----+---+    |
                                | node13 |        | node14 +<---+
                                +--------+        +-+----+-+
                                                    |    |
                                             +------+    +---+
                                             |               |
                                             v               v
                                        +----+---+        +--+-----+
                                        | node15 |        | node19 |
                                        +--------+        +--------+

3.4 总体构建

antichain_dag 的目的是依据 增强反链列表 和 后续反链列表来构建一个反链 DAG。

我们以上面的图例进行讲解，以 node 8 为例。

def antichain_dag(self):
    if self._antichain_dag is not None:
        return self._antichain_dag

    antichain_dag = Graph()
    antichain_id = 0
    antichain = [self.sources()[0].node_id] # 获取source第一个节点。
    # 构建首节点，同时利用 augment_antichain 来往_augmented_antichains 之中添加首节点。
    source_node = AntichainNode("antichain_%d" % antichain_id, self.augment_antichain(antichain))
    antichain_dag.source = source_node
    antichain_queue = [antichain] # 把第一个节点插入queue
    antichain_mapping = {tuple(sorted(antichain)): source_node}

    # 如果queue之中还有节点
    while len(antichain_queue) > 0:
        antichain = antichain_queue.pop(0) # 弹出第一个节点，赋值为 antichain，这里为 node 8
        # key就是由 antichain 节点名字构建，比如 antichain_key = {tuple: 1} node8
        antichain_key = tuple(sorted(antichain)) 
        # 如果 antichain_key 已经位于self._next_antichains之中，即 antichain_key 的后续反链已经被记录，就跳过去
        if antichain_key in self._next_antichains:  
            continue
        # 获取 antichain 的后续反链，对于8，这里是[[10],[14]]
        next_antichains = self.next_antichains(antichain)
        # 遍历后续反链[10,14]
        for next_antichain in next_antichains:
            # 下一个反链节点的key 10
            next_antichain_key = tuple(sorted(next_antichain))
            if next_antichain_key not in antichain_mapping: # 如果存在，就跳过
                antichain_id += 1
                # 下一反链节点 10 被设置为其增强节点 [ 8, 10 ]
                next_antichain_node = AntichainNode("antichain_%d" % antichain_id, self.augment_antichain(next_antichain))
                # 设置 antichain_mapping
                antichain_mapping[next_antichain_key] = next_antichain_node
            # 向 反链DAG 插入边：    
            antichain_dag.add_edge(antichain_mapping[antichain_key],
                                   antichain_mapping[next_antichain_key])
            # 把最新反链节点插入queue，下次迭代使用
            antichain_queue.append(next_antichain)

    self._antichain_dag = antichain_dag
    return antichain_dag

这里其实目的是设置 antichain_mapping。

流程是：

• 从 antichain_queue 弹出第一个节点，赋值为 antichain，这里为 node 8。
• 获取 antichain 的后续反链，对于8，这里是[[10],[14]]。
• 遍历后续反链 [10,14]。
• 以 10 为例，设置下一个反链节点的key 为 10。
• 下一反链节点 10 被设置为其增强节点 [ 8, 10 ]，即 (‘node10’,) = {AntichainNode} antichain_5 – [‘node8’, ‘node10’]。

可以看到，寻找某节点后续反链的目的就是找到下一个图分割点 A，然后为了确定 A 的运行时间（或者其他信息），需要找到 A 的增强反链（一些增强反链就是一些状态），A 的 antichain_mapping 就是其增强反链。

antichain_mapping 示例如下：

antichain_mapping = {dict: 99} 
 ('node4',) = {AntichainNode} antichain_0 -- ['node4']
 ('node5',) = {AntichainNode} antichain_1 -- ['node5']
 ('node6',) = {AntichainNode} antichain_2 -- ['node6']
 ('node7',) = {AntichainNode} antichain_3 -- ['node7']
 ('node8',) = {AntichainNode} antichain_4 -- ['node8']
 ('node10',) = {AntichainNode} antichain_5 -- ['node8', 'node10'] # 最新设置
 ('node14',) = {AntichainNode} antichain_6 -- ['node14']
 ('node11',) = {AntichainNode} antichain_7 -- ['node8', 'node11']
 ('node15',) = {AntichainNode} antichain_8 -- ['node14', 'node15']
 ('node19',) = {AntichainNode} antichain_9 -- ['node19']
 ('node12',) = {AntichainNode} antichain_10 -- ['node8', 'node12']
 ('node16',) = {AntichainNode} antichain_11 -- ['node14', 'node16']
 ('node23',) = {AntichainNode} antichain_12 -- ['node20', 'node23']
 ('node17',) = {AntichainNode} antichain_13 -- ['node14', 'node17']

antichain_dag 示例如下，可以认为就是增强反链DAG：

antichain_dag = {Graph}
	nodes = {dict: 99} 
   'antichain_0' = {AntichainNode} antichain_0 -- ['node4']
   'antichain_1' = {AntichainNode} antichain_1 -- ['node5']
   'antichain_2' = {AntichainNode} antichain_2 -- ['node6']
   'antichain_3' = {AntichainNode} antichain_3 -- ['node7']
   'antichain_4' = {AntichainNode} antichain_4 -- ['node8']
   'antichain_5' = {AntichainNode} antichain_5 -- ['node8', 'node10']
   'antichain_6' = {AntichainNode} antichain_6 -- ['node14']
   'antichain_7' = {AntichainNode} antichain_7 -- ['node8', 'node11']
   'antichain_8' = {AntichainNode} antichain_8 -- ['node14', 'node15']
   'antichain_9' = {AntichainNode} antichain_9 -- ['node19']
   'antichain_10' = {AntichainNode} antichain_10 -- ['node8', 'node12']
   'antichain_11' = {AntichainNode} antichain_11 -- ['node14', 'node16']
   'antichain_12' = {AntichainNode} antichain_12 -- ['node20', 'node23']
   'antichain_13' = {AntichainNode} antichain_13 -- ['node14', 'node17']
   'antichain_14' = {AntichainNode} antichain_14 -- ['node20', 'node30', 'node23']
   'antichain_15' = {AntichainNode} antichain_15 -- ['node20', 'node36', 'node23']
   'antichain_16' = {AntichainNode} antichain_16 -- ['node20', 'node43', 'node23']
   'antichain_17' = {AntichainNode} antichain_17 -- ['node20', 'node23', 'node24']

3.5 拓扑排序

得到了增强反链之后，需要进行拓扑排序之后才能使用。

antichain_gr = gr.antichain_dag()
states = antichain_gr.topological_sort()

得出拓扑排序的目的是：如果按照拓扑序列的顶点次序，在到达某节点之前，可以保证它的所有前序活动都已经完成，从而整个工程顺序执行，不会冲突。

在图论中，**拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）**的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：

1. 每个顶点出现且只出现一次。
2. 若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

有向无环图（DAG）才有拓扑排序，非DAG图没有拓扑排序一说。一个有向无环图可以有一个或多个拓扑排序序列。

例如，下面这个图：

+--------+                  +--------+
|        +----------------> |        |
|   1    |                  |   4    +------------+
|        |    +-----------> |        |            |
+-----+--+    |             +---+----+            |
      |       |                 |                 v
      |       |                 |              +--+--+
      |       |                 |        +---> |  5  |
      |       |                 |        |     +-----+
      v       |                 |        |
              |                 v        |
+--------+    |             +---+-----+  |
|        +----+             |         |  |
|    2   +----------------->+    3    +--+
|        |                  |         |
+--------+                  +---------+

得到拓扑排序后的结果是 { 1, 2, 4, 3, 5 }。

这里的拓扑排序算法使用的是深度优先排序。

    def topological_sort(self):
        # Algorithm from https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_sorting
        self.sorted_nodes = []
        self.marked_nodes = set()
        self.temporarily_marked_nodes = set()
        nodes = list(self.nodes.values())
        nodes.sort(key=lambda x: x.node_desc)
        for node in nodes:
            if node.node_id in self.marked_nodes:
                continue
            self.topological_sort_helper(node.node_id)
        return [self.nodes[node_id] for node_id in self.sorted_nodes]

    def topological_sort_helper(self, node_id):
        if node_id in self.marked_nodes:
            return
        if node_id in self.temporarily_marked_nodes:
            raise Exception("Graph has a cycle")
        self.temporarily_marked_nodes.add(node_id)
        if node_id in self.edges:
            out_nodes = list(self.edges[node_id])
            out_nodes.sort(key=lambda x: (x.node_desc, x.height))
            for out_node in out_nodes:
                self.topological_sort_helper(out_node.node_id)
        self.marked_nodes.add(node_id)
        self.temporarily_marked_nodes.remove(node_id)
        self.sorted_nodes.insert(0, node_id)

最终结果举例如下，可以和上面的反链DAG antichain_dag 比对，看看异同：

states = {list: 99} 
 00 = {AntichainNode} antichain_0 -- ['node4']
 01 = {AntichainNode} antichain_1 -- ['node5']
 02 = {AntichainNode} antichain_2 -- ['node6']
 03 = {AntichainNode} antichain_3 -- ['node7']
 04 = {AntichainNode} antichain_4 -- ['node8']
 05 = {AntichainNode} antichain_5 -- ['node8', 'node10']
 06 = {AntichainNode} antichain_7 -- ['node8', 'node11']
 07 = {AntichainNode} antichain_10 -- ['node8', 'node12']
 08 = {AntichainNode} antichain_6 -- ['node14']
 09 = {AntichainNode} antichain_8 -- ['node14', 'node15']
 10 = {AntichainNode} antichain_11 -- ['node14', 'node16']
 11 = {AntichainNode} antichain_13 -- ['node14', 'node17']
 12 = {AntichainNode} antichain_9 -- ['node19']
 13 = {AntichainNode} antichain_12 -- ['node20', 'node23']
 14 = {AntichainNode} antichain_18 -- ['node23', 'node20', 'node26']
 15 = {AntichainNode} antichain_17 -- ['node23', 'node20', 'node24']
 16 = {AntichainNode} antichain_32 -- ['node23', 'node20', 'node28']
 17 = {AntichainNode} antichain_31 -- ['node23', 'node20', 'node26', 'node24']
 18 = {AntichainNode} antichain_63 -- ['node23', 'node20', 'node26', 'node28']
 19 = {AntichainNode} antichain_33 -- ['node20', 'node26', 'node29']
 20 = {AntichainNode} antichain_16 -- ['node20', 'node43', 'node23']
 21 = {AntichainNode} antichain_30 -- ['node23', 'node20', 'node43', 'node26']
 22 = {AntichainNode} antichain_29 -- ['node23', 'node20', 'node43', 'node24']
 23 = {AntichainNode} antichain_59 -- ['node23', 'node20', 'node43', 'node28']

我们 也可以和如下增强反链比对，看到 states 就是对增强反链DAG进行拓扑排序之后的结果，按照这个顺序进行训练是符合逻辑的。

_augmented_antichains = {dict: 99} 
 ('node4',) = {list: 1} ['node4']
 ('node5',) = {list: 1} ['node5']
 ('node6',) = {list: 1} ['node6']
 ('node7',) = {list: 1} ['node7']
 ('node8',) = {list: 1} ['node8']
 ('node10',) = {list: 2} ['node8', 'node10']
 ('node14',) = {list: 1} ['node14']
 ('node11',) = {list: 2} ['node8', 'node11']
 ('node15',) = {list: 2} ['node14', 'node15']
 ('node19',) = {list: 1} ['node19']
 ('node12',) = {list: 2} ['node8', 'node12']
 ('node16',) = {list: 2} ['node14', 'node16']
 ('node23',) = {list: 2} ['node20', 'node23']
 ('node17',) = {list: 2} ['node14', 'node17']
 ('node23', 'node30') = {list: 3} ['node20', 'node30', 'node23']
 ('node23', 'node36') = {list: 3} ['node20', 'node36', 'node23']
 ('node23', 'node43') = {list: 3} ['node20', 'node43', 'node23']
 ('node24',) = {list: 3} ['node23', 'node20', 'node24']
 ('node26',) = {list: 3} ['node23', 'node20', 'node26']
 ('node23', 'node30', 'node36') = {list: 4} ['node20', 'node36', 'node30', 'node23']
 ('node23', 'node30', 'node43') = {list: 4} ['node20', 'node43', 'node30', 'node23']
 ('node31',) = {list: 3} ['node20', 'node26', 'node31']
 ('node24', 'node30') = {list: 4} ['node23', 'node20', 'node30', 'node24']
 ('node26', 'node30') = {list: 4} ['node23', 'node20', 'node30', 'node26']
 ('node23', 'node36', 'node43') = {list: 4} ['node20', 'node43', 'node36', 'node23']
 ('node37',) = {list: 4} ['node32', 'node20', 'node26', 'node37']
 ('node24', 'node36') = {list: 4} ['node23', 'node20', 'node36', 'node24']
 ('node26', 'node36') = {list: 4} ['node23', 'node20', 'node36', 'node26']
 ('node44',) = {list: 2} ['node40', 'node44']
 ('node24', 'node43') = {list: 4} ['node23', 'node20', 'node43', 'node24']
 ('node26', 'node43') = {list: 4} ['node23', 'node20', 'node43', 'node26']
 ('node24', 'node26') = {list: 4} ['node23', 'node20', 'node26', 'node24']

3.6 总结

因为目前的算法比较复杂，所以我们暂时总结一下目前为止的工作：

• 计算出了每个节点的增强反链，最终得到增强反链组合 _augmented_antichains 。
• 计算出了每个节点的后续反链。寻找某节点后续反链的目的就是找到下一个图分割点 A，然后为了确定 A 的运行时间（或者其他信息），需要找到 A 的增强反链（一些增强反链就是一些状态）。_next_antichains 是后续反链组合。
• antichain_dag 函数依据 _next_antichains 和 _augmented_antichains 进行处理，构建一个反链 DAG，就是变量 antichain_dag。
• 得到了增强反链DAG之后，需要进行拓扑排序之后才能使用。得出拓扑排序的目的是：如果按照拓扑序列的顶点次序，在到达某节点之前，可以保证它的所有前序活动都已经完成，从而整个工程顺序执行，不会冲突。
• states 就是对增强反链DAG进行拓扑排序之后的结果，按照这个顺序进行训练是符合逻辑的。所以后续工作就是在 states 基础上运行。

0x04 计算分区

至此，图已经依据后续反链被分割成若干状态（states），每个状态很重要的一个属性是其增强反链。states 就是对增强反链进行拓扑排序之后的结果，按照这个顺序进行训练是符合逻辑的。

自动分区算法具体分为两部分。

• compute_partitioning 是使用动态规划算法对于这些状态得出一个最优化结果，但是没有做具体分区。
• analyze_partitioning 是利用最优化结果来做具体分区，排序后得到了一个偏序结果。

下面我们逐一分析。

4.1 main函数的逻辑

main函数接下来与计算分区相关的逻辑如下：

• 为每个状态设置index。
• 给每个状态计算出输出激活值大小，具体是通过遍历其反链（增强反链），可以认为就是其必要前序节点给自己的输出。
• 给每个状态计算其信息，比如计算时间，激活大小，参数大小等等，都是通过前置节点完成的 。
• 得到总体输出大小 output_activation_sizes & 所有前置节点id，后面计算分区时候需要。
• 依据profile估计出系统内部的计算时间，compute_times_row 是 i 节点到 后续节点（i+1, i+2, …）的计算时间，下面类似。
• 依据profile估计出系统内部的激活值大小。
• 依据profile估计出系统内部的参数大小。
• 遍历机器集&网络带宽组合。流水线可以是straight（数目为1）或者并行（数目为num_machines），依据目前的信息，以及机器数量，网络带宽等，使用动态规划算法计算分区。假如机器集&网络带宽组合有两个，则会用每个组合进行一次动态规划算法，最后 all_As.append(A) 这里就是两个动态规划的结果，就是考虑到各种必要因素之后的最优结果。

具体代码如下：

def main(all_num_machines, profile_filename, network_bandwidths, memory_size,
         straight_pipeline, use_memory_constraint, use_fewer_machines,
         activation_compression_ratio, output_directory,
         print_configuration=True, verbose=False):
    gr = graph.Graph.from_str(open(profile_filename, 'r').read())

    # Zero out all metadata associated with inputs in graph, since the optimizer
    # shouldn't really get a choice with where to place the input (should always
    # be in the first stage).
    # 排除干扰，因为input必然在第一层，没必要让优化器再来选择把输入放在哪里，所以先去除，后续会再加上。
    sources = gr.sources() # 对图的输入进行处理
    nodes_to_remove = OrderedDict()
    for source in sources:
        if source.node_desc.startswith("Input"): # 只处理input
            source.forward_compute_time = 0.0
            source.backward_compute_time = 0.0
            source.activation_size = 0.0
            source.parameter_size = 0.0
            nodes_to_remove[source] = []
            for out_node in gr.edges[source.node_id]:
                nodes_to_remove[source].append(out_node) # 记录这些删除source对应了哪些out节点，因为后续还要处理
            gr.remove_node(source) # 在图中移除这些input source

    # Remove all unneeded sinks that are not used, makes code generation and
    # optimization easier.
    sinks = gr.sinks() # 对图的输出进行处理，移除没有用到的输出
    for sink in sinks:
        if sink.node_desc.startswith("__getitem__"):
            gr.remove_node(sink)

    antichain_gr = gr.antichain_dag() # 得到反链DAG
    states = antichain_gr.topological_sort() # 拓扑排序，得到一个排序好的节点列表

    ###########################################################################
    # 之前代码在上节分析过，我们本节从这里继续分析
    ###########################################################################
    
    states_indices = {} # 为每个状态设置index
    for i in range(len(states)):
        states_indices[states[i]] = i
        
##################################### 运行时如下        
#states_indices = {dict: 99} 
# antichain_0 -- ['node4'] = {int} 0
# antichain_1 -- ['node5'] = {int} 1
# antichain_2 -- ['node6'] = {int} 2
# antichain_3 -- ['node7'] = {int} 3
# antichain_4 -- ['node8'] = {int} 4
# ......
         
    # 给每个状态计算出输出激活值大小，具体是通过遍历其反链（增强反链），可以认为就是其必要前序节点给自己的输出
    for i in range(len(states)):
        for antichain_node in states[i].antichain:
            states[i].output_activation_size += gr.nodes[antichain_node].activation_size
       
    # 给每个状态计算其信息，比如计算时间，激活大小，参数大小等等，都是通过前置节点完成的      
    for i in range(len(states)):
        antichain = states[i].antichain
        all_predecessors = gr.all_predecessors(antichain)
        states[i].compute_time = 0.0
        states[i].activation_size = 0.0
        states[i].parameter_size = 0.0
        for predecessor in all_predecessors: # 计算所有前置节点的信息
            states[i].compute_time += ((predecessor.forward_compute_time +
                                        predecessor.backward_compute_time) / 1000.0)
            states[i].activation_size += predecessor.activation_size
            states[i].parameter_size += predecessor.parameter_size
    gr.reset()

    # 得到总体输出大小 & 所有前置节点id，后面计算分区时候需要
    output_activation_sizes = [state.output_activation_size for state in states]
    all_predecessor_ids = [[states_indices[predecessor] for predecessor in
                            antichain_gr.predecessors(states[i].node_id)]
                           for i in range(len(states))]

##################################### 运行时如下      
# output_activation_sizes = {list: 99} 
# 00 = {float} 6291456.0
# 01 = {float} 12582912.0
# 02 = {float} 12582912.0
# 03 = {float} 6553600.0    
# .....
# all_predecessor_ids = {list: 99} 
#  00 = {list: 0} []
#  01 = {list: 1} [0]
#  02 = {list: 2} [0, 1]
#  03 = {list: 3} [0, 1, 2]
#  04 = {list: 4} [0, 1, 2, 3]
#  05 = {list: 5} [2, 3, 4, 0, 1]
#  06 = {list: 6} [2, 3, 4, 0, 1, 5]
#  07 = {list: 7} [6, 2, 3, 4, 0, 1, 5]
# ......
    
    compute_times = [] # 初始化计算时间
    activation_sizes = [] # 初始化激活值大小
    parameter_sizes = [] # 初始化参数值大小
    for i in range(len(states)+1): # 具体计算每一个节点的信息，去除他之前节点的影响
        compute_times_row = []
        activation_sizes_row = []
        parameter_sizes_row = []
        for j in range(len(states)): # 去除之前的节点
            if i == 0: # 列表中第一个节点
                compute_times_row.append(states[j].compute_time) # i 到 j 的计算时间
                activation_sizes_row.append(states[j].activation_size)
                parameter_sizes_row.append(states[j].parameter_size)
            else: # 列表中后续节点
                if j > (i-1):
                    compute_times_row.append(states[j].compute_time -
                        states[i-1].compute_time) # i 到 j 的计算时间
                    activation_sizes_row.append(states[j].activation_size -
                        states[i-1].activation_size)
                    parameter_sizes_row.append(states[j].parameter_size -
                        states[i-1].parameter_size)
                else:
                    compute_times_row.append(None)
                    activation_sizes_row.append(None)
                    parameter_sizes_row.append(None)
        compute_times.append(compute_times_row) # 依据profile估计出系统内部的计算时间，compute_times_row 是 i 节点到 后续节点（i+1, i+2, ...）的计算时间，下面类似
        activation_sizes.append(activation_sizes_row) # 依据profile估计出系统内部的激活值大小
        parameter_sizes.append(parameter_sizes_row) # 依据profile估计出系统内部的参数大小

##################################### 运行时如下  
# compute_times = {list: 100} 
# 000 = {list: 99} [0.0070220000000000005, 0.012285, 0.012558, 0.021096000000,...
# 001 = {list: 99} [None, 0.005263, 0.005535999999999999, 0.014074000000000003, ...
# 002 = {list: 99} [None, None, 0.00027299999999999894, 0.008811000000000003, ...
# 003 = {list: 99} [None, None, None, 0.008538000000000004, 0.008538, ...
# 004 = {list: 99} [None, None, None, None, -3.469446951953614e-18, 0.000191999999...

    counter = 1
    all_As = []
    num_machines_in_machine = 1 #第一个节点就是1
    # all_num_machines, network_bandwidths 是用户在输入中指定
    # 遍历机器集&网络带宽组合。流水线可以是straight（数目为1）或者并行（数目为num_machines）
    for num_machines, network_bandwidth in zip(all_num_machines, network_bandwidths):
        print("Solving optimization problem with %d machines with inter-machine bandwidth of %.2f GB/s" % (num_machines, network_bandwidth / 10**9))
        import numpy as np
        print(np.array(compute_times))
        # 依据目前的信息，以及机器数量，网络带宽等计算分区
        A = compute_partitioning(compute_times, activation_sizes, parameter_sizes,
                                 output_activation_sizes, all_predecessor_ids,
                                 num_machines, num_machines_in_machine,
                                 network_bandwidth,
                                 final_level=(counter==len(network_bandwidths)))
        num_machines_in_machine = num_machines # 因为计算完了，所以设置为本阶段的机器数目
        for i in range(len(compute_times)): # 遍历机器
            for j in range(len(compute_times[0])): # 后续机器
                compute_times[i][j] = A[i][j][-1][0] # 记录计算时间（本阶段最后一个机器的计算时间）
        counter += 1
        all_As.append(A) # 添加逻辑关系，就是里面包括了不同阶段的优化逻辑
    print(np.array(compute_times))
    
    # 省略后续代码

其中compute_times 是一个计算时间的二维数组，也可以认为是矩阵，具体举例如下。

[w12,w13,w14,w15], // 第一个节点到后续节点的计算时间

[None, w23,w24,w25], // 第二个节点到后续节点的计算时间

[None, None, w34, w35], // 第三个节点到后续节点的计算时间

[None, None, None, w45], // 第四个节点到后续节点的计算时间

activation_sizes 和 parameter_sizes 与之类似。

4.2 动态规划

4.2.1 总体思路

这里有一些动态规划的算法需要分析。

分割算法试图减少模型的整体训练时间。对于流水线系统，这个问题等价于最小化流水线最慢阶段所花费的时间。该问题具有最优化子问题性质；在给定机器计数的情况下，使吞吐量最大化的管道由子管道组成，这些子管道分别使自己这个子管道的吞吐量最大化。因此，我们可以用动态规划来寻找这个问题的最优解。

分区算法获取profiling步骤的输出，并计算：

1）将层划分为多个阶段，

2）每个阶段的复制因子（worker数），

3）保持训练管道繁忙的最佳动态小批量数。

PipeDream的优化器假设机器拓扑是分层的，并且可以被组织成多个级别，如下图所示。一个级别内的带宽是相同的，而跨级别的带宽是不同的。我们假设 k 级由 mk 个 k-1层组件构成 ，这些组件通过带宽为Bk的链路连接。在下图中，m2=2，m1=4。此外，我们定义m0为1。即 4 个 m0 构成一个 m1, 2个 m1 构成一个 m2。

层 0 就是绿色矩形，代表最底层的计算设备，比如GPU，4个GPU构成了一个层1（虚线矩形，代表一个服务器），2个层1构成了一个层2（就是下图全部模块）。

PipeDream的优化器从最低层到最高层逐步解决动态规划问题。直观地说，这个过程在服务器中找到最佳分区，然后使用这些分区在服务器之间最优地分割模型。

4.2.2 具体分析

假设 A(j, m) 表示使用m台机器在第1层和第j层之间的最佳管道中，最慢阶段所用的时间。

我们算法的目标是找到 A(N,M) 和相应的划分。让T( i → j,m) 表示跨越层 i 到 j 的单级所用的时间，此时间在m台机器上复制。

其中：

• max中的左项是在此阶段中所有层的总计算时间，右项是此阶段中所有层的总通信时间。

• 因为计算和通信可以重叠，所以不需要相加，直接取最大数值。

• 由1到j的由m个机器组成的最佳流水线可以是单个阶段复制m次，也可以由多个阶段组成。

当最佳管道包含多个阶段时，它可以被分解成一个最优的子管道（由从1到 i 的 由m − m′ 个机器组成）和后续的一个单独阶段（由i+1到j 的被 m’ 个机器复制组成）。因此，利用最优子问题的性质，我们得到

其中，max中：

• 第一项是第1层和第i层之间的最优子管道（由m-m’个机器组成）的最慢阶段所用的时间。

• 第二项是在层 i 和 i + 1 之间传递激活和梯度所用的时间。

• 第三项是最后单个阶段的时间（由 m’ 个数据并行的机器组成）。

我们具体看看如何计算，假设一个图逻辑如下：

                       +----------------+
+-----+                |                +--------+
|     +------------->  |  k[m_prime]    |        |          +-----+
|  i  |                |                |        +--------->+     |
|     +----+           +----------------+                   |  j  |
+-----+    |                                      +-------->+     |
           |           +----------------+         |         +-----+
           |           |                |         |
           +-------->  |  k[m-m_prime]  +---------+
                       |                |
                       +----------------+

在 (A [i] [k] [m-m_prime] [0], last_stage_time, output_transfer_time, input_transfer_time ）之中选一个最大的：

• A [i] [k] [m-m_prime] [0] ：i 到 k 之间的计算时间，是已经计算好的子问题。
• last_stage_time ：last_stage_time 是 (k 到 j 的计算时间) + 传输时间。
  • 其中compute_times[k + 1] [j] 是k 到 j 的计算时间，compute_times[k + 1] 就对应了k的输出。
  • 传输时间是依据k 到 j 的下一阶段参数大小（parameter_sizes[k + 1 ] [j]）计算得出。
  • 即：last_stage_time = compute_times[k + 1] +（parameter_sizes[k + 1 ] [j]）
• input_transfer_time ：使用 k 的输出激活大小计算出来的传输时间（就是 j 的输入）。
• output_transfer_time ：使用 j 的输出激活大小计算出来的传输时间。

因为传输和计算是可以重叠的，所以可以这样取最大数值。

最后得到的 A 就是动态规划优化的结果，其中每一个元素 A[i][j][m] 是个三元组 (min_pipeline_time, optimal_split, optimal_num_machines)。 A[i][j][m] 表示节点 i 到 节点 j 之间的计算结果。三元组就是 (最小流水线时间，i 到 j 之间那个最佳分割点，最优机器数目)。

大致阶段如下图所示：

                                                       +----------------+
                                                       | i              |
                                                       |                |
                                                       |                |
                                                       +--+------+------+
                                                          |      |
                                                          |      +----------+
                                  A[i][k][m+m_prime][0]   |                 |
                                                          |                 |
                                                          v                 v
                                        +-----------------+-------+    +----+--------+
                                        | k[m-m_prime]            |    | k[m_prime]  |
                                        |                         |    |             |
last_stage_time = compute_times[k+1][j] |                         |    |             |
            + (parameter_sizes[k+1][j]) | output_activation_sizes |    |             |
                                        |                         |    |             |
                                        |                         |    |             |
                                        +-----------------+-------+    +-----+-------+
                                     input_transfer_time  |                  |
                                                          |      +-----------+
                                                          |      |
                                                          |      |
                                                          v      v
                                             +------------+------+------+
                                             | j                        |
                                             |                          |
                                             |                          |
                                             |                          |
                                             |  output_activation_sizes |
                                             |                          |
                                             +------------------+-------+
                                          output_transfer_time  |
                                                                |
                                                                |
                                                                v

具体代码如下：

def compute_partitioning(compute_times, activation_sizes, parameter_sizes,
                         output_activation_sizes, all_predecessor_ids,
                         num_machines, num_machines_within_machine,
                         bandwidth, final_level=True):
    # 初始化
    A = []
    for i in range(len(compute_times)): # 遍历所有节点
        row_A = []
        for j in range(len(compute_times[0])): # 所有后续节点（即第一个节点的所有后续节点）
            row_row_A = []
            for m in range(num_machines): # 机器数目
                row_row_A.append((None, None, None))
            row_A.append(row_row_A)
        A.append(row_A)

    # 得到计算时间
    for i in range(len(compute_times)): # 遍历所有节点
        for j in range(i, len(compute_times[0])): # 所有后续节点
            cum_compute_time = compute_times[i][j] # i --> j 的计算时间
            cum_activation_size = activation_sizes[i][j] # i --> j 的激活大小
            cum_parameter_size = parameter_sizes[i][j] # i --> j 的参数大小
            max_m = 1 if straight_pipeline else num_machines # 线性还是并行流水线
            for m in range(max_m): # 遍历流水线下一阶段的机器
                # 存储的数据大小
                stashed_data_size = math.ceil((num_machines - (m+1)) / (m+1)) * \
                                              (cum_activation_size + cum_parameter_size)
                # memory_size 是用户传进来的参数，就是每个机器有效的内存  
                # use_memory_constraint 也是用户传进来的参数，就是使用的内存限制
                if use_memory_constraint and stashed_data_size > memory_size:
                    continue
                # 数据并行通讯时间依据参数尺寸，带宽，下一阶段机器数量计算    
                data_parallel_communication_time = (4 * m * cum_parameter_size) / (bandwidth * (m+1))
                # 除以本阶段机器数量，如果本阶段机器多，当然就是分开计算了
                data_parallel_communication_time /= num_machines_within_machine

                if cum_compute_time is None:
                    # 需要计算下一阶段中，每个机器的计算时间，所以还要除以(m+1)
                    A[i][j][m] = (None, None, None) # 直接赋值
                else:
                    # 三元组，分别是[(计算时间 + 通信时间), None，(m+1)]，对应的意义是 min_pipeline_time, optimal_split, optimal_num_machines，就对应了前面的公式 2
                    A[i][j][m] = (sum([cum_compute_time,
                                       data_parallel_communication_time]) / (m+1), None, (m+1))

    # 需要得到最小计算时间                
    min_machines = 1
    max_i = len(compute_times) if not final_level else 1
    for i in range(max_i): # 遍历节点
        for m in range(min_machines, num_machines): # 遍历下一阶段机器的可能选择
            for j in range(i+1, len(compute_times[0])): # 遍历 i 的后续节点
                (min_pipeline_time, optimal_split, optimal_num_machines) = A[i][j][m]
                if use_fewer_machines and m > 0 and ( # 如果设置了用尽量少的机器，则如果小于min_pipeline_time，就设置新的 min_pipeline_time
                    min_pipeline_time is None or A[i][j][m-1][0] < min_pipeline_time):
                    (min_pipeline_time, optimal_split, optimal_num_machines) = A[i][j][m-1]
                # 遍历 j 节点的前置机器 k，注意，j 是 i 的后续节点之一
                # 就是在 i --> k --> j 之间找到一个计算时间最小的，其中A[i][k][m-m_prime][0]已经是一个最优子问题了
                for k in all_predecessor_ids[j]:
                    # 如果k已经在之前计算过了，就跳过
                    if i > 0 and k in all_predecessor_ids[i-1]:
                        continue
                    # 设置质数    
                    max_m_prime = 2 if straight_pipeline else (m+1)
                    for m_prime in range(1, max_m_prime): # prime就是看看如何分割
                        # 输入传输时间 input_transfer_time 使用 k 的输出激活尺寸计算
                        input_transfer_time = (2.0 * output_activation_sizes[k]) / \
                            (bandwidth * m_prime)
                        # 输出传输时间 output_transfer_time 使用 j 的输出激活尺寸计算
                        output_transfer_time = None
                        if j < len(output_activation_sizes) -1:
                            output_transfer_time = (2.0 *
                                output_activation_sizes[j]) / (bandwidth * m_prime)
                        # last_stage_time 设置为 k 到 j 的计算时间, compute_times[k+1] 就对应了k的输出
                        last_stage_time = compute_times[k+1][j]
                        if last_stage_time is None:
                            continue
                        # 设置为 k 到 j 的下一阶段参数尺寸
                        last_stage_parameter_size = parameter_sizes[k+1][j]
                        # 设置为 k 到 j 的存储数据尺寸
                        stashed_data_size = (activation_sizes[k+1][j]) + last_stage_parameter_size
                        # 依据机器数据计算
                        stashed_data_size *= math.ceil((num_machines - (m+1)) / m_prime)
                        # 超过机器内存就跳过
                        if use_memory_constraint and stashed_data_size > memory_size:
                            continue
                        # 加上传输时间，所以 last_stage_time 是 (k 到 j 的计算时间) + 传输时间
                        last_stage_time = sum([last_stage_time,
                                               ((4 * (m_prime - 1) *
                                                last_stage_parameter_size) / (bandwidth * m_prime))])
                        last_stage_time /= m_prime

                        # 如果从i到k没有边，则跳过
                        if A[i][k][m-m_prime][0] is None:
                            continue
                        # 如果i到k已经有计算时间，则选一个较大的    
                        pipeline_time = max(A[i][k][m-m_prime][0], last_stage_time)
                        if activation_compression_ratio is not None: # 如果压缩
                            # 在(A[i][k][m-m_prime][0], last_stage_time, output_transfer_time, input_transfer_time 之中选一个最大的)
                            input_transfer_time /= activation_compression_ratio
                            # output_transfer_time 也压缩
                            if output_transfer_time is not None:
                                output_transfer_time /= activation_compression_ratio
                            # 选一个大的    
                            pipeline_time = max(pipeline_time, input_transfer_time)
                            if output_transfer_time is not None:
                                pipeline_time = max(pipeline_time, output_transfer_time)
                                
                        # 如果比min_pipeline_time小，则设定 min_pipeline_time，为了下一次循环
                        if min_pipeline_time is None or min_pipeline_time > pipeline_time:
                            optimal_split = (k, m-m_prime) # 选一个优化分割点
                            optimal_num_machines = m_prime
                            min_pipeline_time = pipeline_time
                # 设置            
                A[i][j][m] = (min_pipeline_time, optimal_split, optimal_num_machines)

    return A

all_As 就是动态规划的结果，示例如下：

all_As = {list: 2}  
 0 = {list: 100} 
  000 = {list: 99} 
   00 = {list: 5} [(0.0070220000000000005, None, 1), (0.1689894, None, 2), (0.14943257777777777, None, 3), (0.1258643, None, 4), (0.107310576, None, 5)]
   01 = {list: 5} [(0.012285, None, 1), (0.0070220000000000005, (0, 0), 1), (0.0865995, (0, 0), 2), (0.07639255555555556, (0, 0), 3), (0.06429175000000001, (0, 0), 4)]
   02 = {list: 5} [(0.012558, None, 1), (0.0070220000000000005, (0, 0), 1), (0.0070220000000000005, (1, 1), 1), (0.0070220000000000005, (1, 1), 2), (0.0070220000000000005, (1, 1), 3)]
   03 = {list: 5} [(0.021096, None, 1), (0.012285, (1, 0), 1), (0.008538, (2, 1), 1), (0.008538, (2, 2), 1), (0.008538, (2, 3), 1)]
   ......
  __len__ = {int} 100
  
1 = {list: 100} 
 000 = {list: 99} 
  00 = {list: 5} [(0.107310576, None, 1), (0.080131832, None, 2), (0.05930489777777778, None, 3), (0.046685052000000005, None, 4), (0.03840710336000001, None, 5)]
  01 = {list: 5} [(0.06429175000000001, None, 1), (0.072057299, None, 2), (0.05690740466666667, None, 3), (0.0460065055, None, 4), (0.03840166136, None, 5)]
  02 = {list: 5} [(0.0070220000000000005, None, 1), (0.043422424, None, 2), (0.037817488, None, 3), (0.031689068, None, 4), (0.026947711359999998, None, 5)]
  03 = {list: 5} [(0.008538, None, 1), (0.0419991328, (2, 0), 1), (0.043422424, (2, 1), 1), (0.0396227304, None, 4), (0.033697556608, None, 5)]
 ......
  __len__ = {int} 100
 __len__ = {int} 2

4.2.3 区别

我们接下来要分析代码作者两个相似名字变量之间的区别。

activation_sizes ：某个节点所有前置节点的activation_size 之和。

for predecessor in all_predecessors:
    states[i].compute_time += ((predecessor.forward_compute_time +
                                predecessor.backward_compute_time) / 1000.0)
    states[i].activation_size += predecessor.activation_size
    states[i].parameter_size += predecessor.parameter_size

用来计算stashed数据大小，用来看看是否超过了节点配置的内存额度。

stashed_data_size = (activation_sizes[k+1][j]) + last_stage_parameter_size
stashed_data_size *= math.ceil((num_machines - (m+1)) / m_prime)
if use_memory_constraint and stashed_data_size > memory_size:
		continue

output_activation_sizes : 某个节点所有增强反链的activation_size之和。

for i in range(len(states)):
    for antichain_node in states[i].antichain:
        states[i].output_activation_size += gr.nodes[antichain_node].activation_size

用来计算输出传播时间和输入传播时间。

input_transfer_time = (2.0 * output_activation_sizes[k]) / \
    (bandwidth * m_prime)
output_transfer_time = None
if j < len(output_activation_sizes) -1:
    output_transfer_time = (2.0 *
        output_activation_sizes[j]) / (bandwidth * m_prime)

0x05 分析分区

5.1 main函数逻辑

前面计算分区只是得到了一个动态规划优化结果，需要在analyze_partitioning之中进行分析划分之后，赋予到各个层（stage）。

main函数接下来与计算分区相关的逻辑如下：

• states是反链DAG的结果，all_As 就是动态规划得到的优化结果，可能是多个。
• splits 初始化时候就只有一个二元组元素：最初的划分 (0, len(states))。
• 遍历all_As的动态优化结果，对于每个动态优化结果，遍历其各个逻辑关系，调用 analyze_partitioning 对分区进行分析，在splits分割中遍历，splits会逐步更新（分割点逐步逐阶段细化），analyze_partitioning 返回一个 partial_splits。
• 遍历 partial_splits，对于每一个分割点，获取其增强反链（states）的所有前置节点，给这些节点打上stage_id。这里是从前往后遍历，所以stage_id数值是逐步增加。
• 把图写到文件之中。后续 convert_graph_to_model.py 会把这个文件转换成模型。
• 做分析对比。

具体代码如下：

def main(all_num_machines, profile_filename, network_bandwidths, memory_size,
         straight_pipeline, use_memory_constraint, use_fewer_machines,
         activation_compression_ratio, output_directory,
         print_configuration=True, verbose=False):
    gr = graph.Graph.from_str(open(profile_filename, 'r').read())

    # Zero out all metadata associated with inputs in graph, since the optimizer
    # shouldn't really get a choice with where to place the input (should always
    # be in the first stage).
    # 排除干扰，因为input必然在第一层，没必要让优化器再来选择把输入放在哪里，所以先去除，后续会再加上。
    sources = gr.sources() # 对图的输入进行处理
    nodes_to_remove = OrderedDict()
    for source in sources:
        if source.node_desc.startswith("Input"): # 只处理input
            source.forward_compute_time = 0.0
            source.backward_compute_time = 0.0
            source.activation_size = 0.0
            source.parameter_size = 0.0
            nodes_to_remove[source] = []
            for out_node in gr.edges[source.node_id]:
                nodes_to_remove[source].append(out_node) # 记录这些删除source对应了哪些out节点，因为后续还要处理
            gr.remove_node(source) # 在图中移除这些input source

    # Remove all unneeded sinks that are not used, makes code generation and
    # optimization easier.
    sinks = gr.sinks() # 对图的输出进行处理，移除没有用到的输出
    for sink in sinks:
        if sink.node_desc.startswith("__getitem__"):
            gr.remove_node(sink)

    antichain_gr = gr.antichain_dag() # 得到反链DAG
    states = antichain_gr.topological_sort() # 拓扑排序，得到一个排序好的节点列表

    ###########################################################################
    # 计算阶段
    ###########################################################################
    states_indices = {} # 为每个状态设置index
    for i in range(len(states)):
        states_indices[states[i]] = i
        
##################################### 运行时如下        
#states_indices = {dict: 99} 
# antichain_0 -- ['node4'] = {int} 0
# antichain_1 -- ['node5'] = {int} 1
# antichain_2 -- ['node6'] = {int} 2
# antichain_3 -- ['node7'] = {int} 3
# antichain_4 -- ['node8'] = {int} 4
# ......
         
    # 给每个状态计算出输出激活值大小，具体是通过遍历其反链（增强反链），可以认为就是其必要前序节点给自己的输出
    for i in range(len(states)):
        for antichain_node in states[i].antichain:
            states[i].output_activation_size += gr.nodes[antichain_node].activation_size
       
    # 给每个状态计算其信息，比如计算时间，激活大小，参数大小等等，都是通过前置节点完成的      
    for i in range(len(states)):
        antichain = states[i].antichain
        all_predecessors = gr.all_predecessors(antichain)
        states[i].compute_time = 0.0
        states[i].activation_size = 0.0
        states[i].parameter_size = 0.0
        for predecessor in all_predecessors: # 计算所有前置节点的信息
            states[i].compute_time += ((predecessor.forward_compute_time +
                                        predecessor.backward_compute_time) / 1000.0)
            states[i].activation_size += predecessor.activation_size
            states[i].parameter_size += predecessor.parameter_size
    gr.reset()

    # 得到总体输出大小 & 所有前置节点id，后面计算分区时候需要
    output_activation_sizes = [state.output_activation_size for state in states]
    all_predecessor_ids = [[states_indices[predecessor] for predecessor in
                            antichain_gr.predecessors(states[i].node_id)]
                           for i in range(len(states))]

##################################### 运行时如下      
# output_activation_sizes = {list: 99} 
# 00 = {float} 6291456.0
# 01 = {float} 12582912.0
# 02 = {float} 12582912.0
# 03 = {float} 6553600.0    
# .....
# all_predecessor_ids = {list: 99} 
#  00 = {list: 0} []
#  01 = {list: 1} [0]
#  02 = {list: 2} [0, 1]
#  03 = {list: 3} [0, 1, 2]
#  04 = {list: 4} [0, 1, 2, 3]
#  05 = {list: 5} [2, 3, 4, 0, 1]
#  06 = {list: 6} [2, 3, 4, 0, 1, 5]
#  07 = {list: 7} [6, 2, 3, 4, 0, 1, 5]
# ......
    
    compute_times = [] # 初始化计算时间
    activation_sizes = [] # 初始化激活值大小
    parameter_sizes = [] # 初始化参数值大小
    for i in range(len(states)+1): # 具体计算每一个节点的信息，去除他之前节点的影响
        compute_times_row = []
        activation_sizes_row = []
        parameter_sizes_row = []
        for j in range(len(states)): # 去除之前的节点
            if i == 0: # 列表中第一个节点
                compute_times_row.append(states[j].compute_time) # i 到 j 的计算时间
                activation_sizes_row.append(states[j].activation_size)
                parameter_sizes_row.append(states[j].parameter_size)
            else: # 列表中后续节点
                if j > (i-1):
                    compute_times_row.append(states[j].compute_time -
                        states[i-1].compute_time) # i 到 j 的计算时间
                    activation_sizes_row.append(states[j].activation_size -
                        states[i-1].activation_size)
                    parameter_sizes_row.append(states[j].parameter_size -
                        states[i-1].parameter_size)
                else:
                    compute_times_row.append(None)
                    activation_sizes_row.append(None)
                    parameter_sizes_row.append(None)
        compute_times.append(compute_times_row) # 依据profile估计出系统内部的计算时间，compute_times_row 是 i 节点到 后续节点（i+1, i+2, ...）的计算时间，下面类似
        activation_sizes.append(activation_sizes_row) # 依据profile估计出系统内部的激活值大小
        parameter_sizes.append(parameter_sizes_row) # 依据profile估计出系统内部的参数大小

##################################### 运行时如下  
# compute_times = {list: 100} 
# 000 = {list: 99} [0.0070220000000000005, 0.012285, 0.012558, 0.021096000000,...
# 001 = {list: 99} [None, 0.005263, 0.005535999999999999, 0.014074000000000003, ...
# 002 = {list: 99} [None, None, 0.00027299999999999894, 0.008811000000000003, ...
# 003 = {list: 99} [None, None, None, 0.008538000000000004, 0.008538, ...
# 004 = {list: 99} [None, None, None, None, -3.469446951953614e-18, 0.000191999999...

    counter = 1
    all_As = []
    num_machines_in_machine = 1 #第一个节点就是1
    # all_num_machines, network_bandwidths 是用户在输入中指定
    # 遍历机器集&网络带宽组合。流水线可以是straight（数目为1）或者并行（数目为num_machines）
    for num_machines, network_bandwidth in zip(all_num_machines, network_bandwidths):
        print("Solving optimization problem with %d machines with inter-machine bandwidth of %.2f GB/s" % (num_machines, network_bandwidth / 10**9))
        import numpy as np
        print(np.array(compute_times))
        # 依据目前的信息，以及机器数量，网络带宽等计算分区
        A = compute_partitioning(compute_times, activation_sizes, parameter_sizes,
                                 output_activation_sizes, all_predecessor_ids,
                                 num_machines, num_machines_in_machine,
                                 network_bandwidth,
                                 final_level=(counter==len(network_bandwidths)))
        num_machines_in_machine = num_machines # 因为计算完了，所以设置为本阶段的机器数目
        for i in range(len(compute_times)): # 遍历机器
            for j in range(len(compute_times[0])): # 后续机器
                compute_times[i][j] = A[i][j][-1][0] # 记录计算时间（本阶段最后一个机器的计算时间）
        counter += 1
        all_As.append(A) # 添加逻辑关系，就是里面包括了不同阶段的优化逻辑
    print(np.array(compute_times))
    
    ###########################################################################
    # 我们从这里继续分析
    ###########################################################################
    
    # 分析阶段
    # 在 analyze_partitioning 内部做了具体分析
    # 这里最重要的是对 gr.all_predecessors 做设置，就是设置 gr 之中每个node的stage_id，这样就是利用stage_id把初始流水线重新划分
    splits = [(0, len(states))] # 如何分割，states是反链DAG的结果，所以 splits 初始化时候就只有一个二元组元素：最初的划分 (0, len(states))
    i = len(all_As) - 1 # all_As 就是动态规划得到的优化结果
    while i >= 0: # 遍历优化的出来的各个逻辑关系
        print("======================================")
        print("Level %d" % (i+1))
        print("======================================")
        new_splits = []
        stage_id = 0 # 在后续的convert_graph_to_model.py 之中会使用到
        for (start, end) in splits: # 在分割中遍历，splits会逐步更新
            # 依据新的splits中的二元组重新计算
            partial_splits = \
                analyze_partitioning(all_As[i], states, start, end,
                                     network_bandwidths[i], all_num_machines[i],
                                     activation_compression_ratio,
                                     print_configuration, verbose)
            start_point = start # 起始点
            for split in partial_splits: # 遍历分析得出的节点
                new_splits.append((start_point, split)) # 添加一个新的二元祖
                if i == 0:
                    predecessors = gr.all_predecessors(states[split-1].antichain)
                    for predecessor in predecessors:
                        if predecessor.stage_id is None:
                            predecessor.set_stage_id(stage_id) # 设置所在阶段
                start_point = split # 下一个阶段
                stage_id += 1 # 增加所在阶段
            new_splits.append((start_point, end)) # 添加一个新的二元祖
            if i == 0:                
                predecessors = gr.all_predecessors(states[end-1].antichain)
                for predecessor in predecessors:
                    if predecessor.stage_id is None:
                        predecessor.set_stage_id(stage_id) # 设置所在阶段
            stage_id += 1 # 增加所在阶段
        
        print("Total number of stages: %d" % stage_id)
        splits = new_splits # 加入新的分割
        i -= 1

    # 以下是为了把图写到文件之中。后续convert_graph_to_model.py会把这个文件转换成模型 
    for source in nodes_to_remove: # 之前移除了input节点，现在需要加回到图中
        for out_node in nodes_to_remove[source]: # input对应的哪些输出
            source.stage_id = 0
            gr.add_edge(source, out_node)

    if output_directory is not None:
        total_num_machines = 1
        for num_machines in all_num_machines:
            total_num_machines *= num_machines
        gr.to_dot(os.path.join(output_directory, "gpus=%d" % total_num_machines))
        gr_str = str(gr)
        with open(os.path.join(output_directory, "gpus=%d.txt" % total_num_machines), 'w') as f:
            f.write(gr_str)

    # 以下是为了做分析对比        
    # 计算数据并行需要的时间，以便接下来做比较，这个时间要比动态规划时间长。        
    total_time = states[-1].compute_time # 最后一个阶段的计算时间，是没有经过优化的最初计算时间
    total_parameter_size = states[-1].parameter_size
    data_parallel_total_time = total_time # 先赋值为最后一阶段的计算时间
    num_machines_in_machine = 1 # 本阶段的机器数目
    # 遍历流水线上各个阶段，因为没有优化，所以就是严格按照用户原始配置的流水线阶段来逐一计算
    for (num_machines, network_bandwidth) in zip(all_num_machines, network_bandwidths):
        # 计算传输时间。num_machines是下一阶段流水线机器数目，所以带宽需要乘以这个数字
        data_parallel_communication_time = (
            (4 * (num_machines - 1) * total_parameter_size) /
            (network_bandwidth * num_machines)) / num_machines_in_machine
        # 总时间需要加上传输时间
        data_parallel_total_time = sum(
            [data_parallel_total_time, data_parallel_communication_time]) / num_machines
        # 下个迭代中，本阶段的机器数目需要设置为num_machines
        num_machines_in_machine = num_machines

    # 这个是用动态规划算法得出来的优化时间    
    pipeline_parallel_total_time = A[0][len(states)-1][num_machines-1][0]

    # 可以看到用户需要注意哪些数据
    if verbose:
        print()
        print("Time taken by single-stage pipeline:", total_time)
        print("Time per stage in pipeline:", pipeline_parallel_total_time)
        print("Throughput increase (compared to single machine):",
              total_time / pipeline_parallel_total_time)
        dp_str = ",".join([str(elem) for elem in all_num_machines])
        print(("[Note that single-machine and (%s)-machine DP might not fit "
               "given memory constraints]") % dp_str)
        print("Throughput increase of (%s)-machine DP compared to single "
              "machine:" % dp_str, total_time / data_parallel_total_time)
        print("Throughput increase (compared to (%s)-machine DP):" % dp_str,
              data_parallel_total_time / pipeline_parallel_total_time)
    return pipeline_parallel_total_time, data_parallel_total_time    

5.2 分析阶段

分析阶段具体可以参见下面注释。

def analyze_partitioning(A, states, start, end, network_bandwidth, num_machines,
                         activation_compression_ratio, print_configuration, verbose):
    # start，end 是本组节点的起始点，终止点
    metadata = A[start][end-1][num_machines-1] # 这是个三元组  (min_pipeline_time, optimal_split, optimal_num_machines)
    next_split = metadata[1] # metadata[1] 是 optimal_split，即 (k, m-m_prime)
    remaining_machines_left = num_machines
    splits = []
    replication_factors = []
    prev_split = end - 1 # 前一个分割点
    
    while next_split is not None: #是否继续分割
        num_machines_used = metadata[2] # optimal_num_machines
        if verbose:
            print("-------------------------------------")
            print("Number of machines used: %d..." % num_machines_used)
            print("Split between layers %d and %d..." % (next_split[0], next_split[0] + 1))
            print("Split before antichain %s..." % (states[next_split[0]+1].antichain))
        splits.append(next_split[0]+1) # 得到了 k + 1，这是关键点，因为最后返回的是splits
        compute_time = states[prev_split-1].compute_time - \
            states[next_split[0]].compute_time
        parameter_size = states[prev_split-1].parameter_size - \
            states[next_split[0]].parameter_size

        dp_communication_time = (4 * (num_machines_used - 1) * parameter_size) \
            / (network_bandwidth * num_machines_used)
        pp_communication_time_input = ( # 下个阶段的数据输入时间
            2.0 * states[next_split[0]].output_activation_size *
            (1.0 / float(num_machines_used))) / network_bandwidth
        pp_communication_time_output = ( # 上个阶段的数据输出时间
            2.0 * states[prev_split-1].output_activation_size *
            (1.0 / float(num_machines_used))) / network_bandwidth
        # 如果需要压缩，就进行压缩
        if activation_compression_ratio is not None:
            pp_communication_time_input /= activation_compression_ratio
            pp_communication_time_output /= activation_compression_ratio
        if activation_compression_ratio is None:
            pp_communication_time_input = 0.0
            pp_communication_time_output = 0.0

        compute_time /= num_machines_used # 本阶段计算时间
        dp_communication_time /= num_machines_used # 数据并行时间

        if verbose:
            print(("Compute time = %f, Data-parallel communication time = %f, "
                   "Pipeline-parallel communication time = %f...") % (
                compute_time, dp_communication_time,
                max(pp_communication_time_input, pp_communication_time_output)))
        prev_split = splits[-1] # 设定新的前一分割点
        # next_split 格式是 (k, m-m_prime)，就是 optimal_split 的格式
        # A[i][j][m] 格式是 (min_pipeline_time, optimal_split, optimal_num_machines)
        metadata = A[start][next_split[0]][next_split[1]]
        next_split = metadata[1] # 设定新的下一次分割点，就是 optimal_split
        replication_factors.append(num_machines_used) # 每个阶段的 replication factor
        remaining_machines_left -= num_machines_used # 剩余机器
    if verbose:
        print("-------------------------------------")
        print("Number of machines used: %d..." % metadata[2])

    #     
    num_machines_used = metadata[2]
    remaining_machines_left -= num_machines_used # 剩余的机器
    compute_time = states[prev_split-1].compute_time 
    parameter_size = states[prev_split-1].parameter_size
    dp_communication_time = ((4 * (num_machines_used - 1) * parameter_size) /
                             (network_bandwidth * num_machines_used)) 
    compute_time /= num_machines_used # 计算时间
    dp_communication_time /= num_machines_used # 数据并行通信时间

    if verbose:
        print("Compute time = %f, Data-parallel communication time = %f..." %
              (compute_time, dp_communication_time))
        print("-------------------------------------")
    if print_configuration:
        print("Number of machines in budget not used: %d..." %
              remaining_machines_left)
        print()
        print("(Split start, split end) / compute time taken per stage "
              "/ replication factor per stage:")
    # 下面就是打印 (Split start, split end) / compute time taken per stage / replication factor per stage    
    prev_split = start
    splits.reverse() # 
    splits.append(end)
    replication_factors.append(num_machines_used)
    replication_factors.reverse()
    for i in range(len(splits)):
        time = 0.0
        if prev_split > 0:
            time = states[splits[i]-1].compute_time - states[prev_split-1].compute_time
        else:
            time = states[splits[i]-1].compute_time
        if print_configuration:
            print((prev_split, splits[i]), time, replication_factors[i])
        prev_split = splits[i]
    if print_configuration:
        print()
    return splits[:-1] # 最后一个不返回

我们还是用样例进行说明。

这里是从后面进行分割，举例分析如下，这里设定了总机器数目为10：

回忆在计算分区之中，A[i][j][m] = (min_pipeline_time, optimal_split, optimal_num_machines)，optimal_split = (k, m-m_prime) 是一个本阶段优化点。

所以在本函数之中，start = 0, end = 99，所以 metadata 为A[0][99][10]，即 (0.01903199999999998, (95, 8), 1)，next_split = (95, 8)，prev_split = end - 1 = 98。

next_split 就是下一个分割点，splits 是目前的分割序列。

第一轮while循环：

因为next_split = (95, 8)，所以 splits = append(next_split[0]+1) = [96]，因此计算 states[prev_split-1] - states[next_split[0]] = state[97] - state[95]。这样把0~99分成了 0 ～95 和 96 ~ 99。

然后 prev_split = 96，去找A[ 0 ] [ 95] [8] 得到 meta = (0.019031999999999993, (78, 7), 1)，next_split = (78, 7)。

所以下一轮从78这个分割点开始分割。

第二轮while循环：

因为next_split = (78, 7)，所以 splits = [96, 79]，这就是新的分割序列。，因此计算 states[96-1] - states[next_split[0]] = state[96] - state[78]。这样就使用 splits = [96, 79] 把0~99分成了 0 ～78，79 ~ 95 和 96 ~ 99。

然后 prev_split =79，去找A[ 0 ] [ 78 ] [ 7 ] 得到 meta = (0.011081, (48, 6), 1)，next_split = (48, 6)。

所以下一轮从 48 这个分割点开始分割，以此类推。

while循环之后，得到 splits = [96, 79, 49, 15, 12, 7, 5, 3, 1]。

于是下面代码需要把顺序调整过来。

prev_split = start
splits.reverse()
splits.append(end)
replication_factors.append(num_machines_used)
replication_factors.reverse()

得到：splits = { 1，3，5，7，12，15，49，79，96 }。然后加上 end = 99。

最后返回 splits[:-1]，即返回 { 1，3，5，7，12，15，49，79，96 }，去掉刚刚添加的end。

而依据 { 1，3，5，7，12，15，49，79，96 } 得到的最终分割序列 是 [(0, 1), (1, 3), (3, 5), (5, 7), (7, 12), (12, 15), (15, 49), (49, 79), (79, 96), (96, 99)]，这个列表会在后续"设定stage"之中会用到。

5.3 设定stage

目前我们得到了一个理想分割序列，但是事情没有结束，我们回忆一下分区算法的目的：依据profile结果确定所有层的运行时间，然后使用动态规划对模型进行划分，将模型划分为不同的stage，以及得到每个stage的replication数。

所以，分析的最终目的是给模型的每一个子层分配一个stage，如果某些子层属于同一个stage，这些子层最终就被分配到同一个worker（节点）上执行。

因为这里涉及到多个子网，所以我们依然用实例来分析。

如果分成了两个子网，假设：

all_num_machines = [5,5]
network_bandwidths = [800000000, 1000000000]

初始化 splits = [0,99]。

第一轮 while 中，i = 1，

对于 splits 结果[(0, 99)] 遍历，每一段应用analyze_partitioning，得到 partial_splits 为 [3, 6, 30, 75, 99]。

最后，splits 更新为：[(0, 3), (3, 6), (6, 30), (30, 75), (75, 99)]。

此时不会设置stage_id。

第二轮 while 中，i = 0，

对于第一轮的 splits 结果 [(0, 3), (3, 6), (6, 30), (30, 75), (75, 99)] 进行遍历，对于这里的每一段也应用 analyze_partitioning，比如对 (0,3) 应用analyze_partitioning，对 (3,6) 应用 analyze_partitioning，对(6,30) 也应用 analyze_partitioning，…，最后得到新的 partial_splits 为 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13, 28, 30, 45, 49, 51, 75, 79, 96, 99]。

最后，splits 更新为：[(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 8), (8, 10), (10, 13), (13, 28), (28, 30), (30, 45), (45, 49), (49, 51), (51, 75), (75, 79), (79, 96), (96, 99)]。

这个列表就是理想分割序列。

在此轮中，得到了partial_splits之后，会遍历 for split in partial_splits: 然后对于每一个 split，利用

states[split-1].antichain 获取其增强反链的所有前置节点，给这些节点打上 split 对应的 stage_id。

回忆一下增强反链的意义：

• 每个节点的增强反链包括：本身节点 + 部分前序节点。
• 对于增强反链概念，可以理解为：对于节点 A，他只有把节点 Z 一起考虑，才能唯一确定自己节点的运行时间。

所以，对于 split = 1，1 - 1 = 0，于是就得到 states[0].antichain ，就是 ‘node4’，那么 ‘node4’ 自己被打上了一个stage_id=0，说明 ‘node4’ 被分到了一个 “与stage_id=0 所对应” 的 worker 节点上训练。

如果有疑问，我们回忆一下state如何构建，就是有序的 “节点组合”。

antichain_gr = gr.antichain_dag()
states = antichain_gr.topological_sort()

具体如下。

states = {list: 99} 
 00 = {AntichainNode} antichain_0 -- ['node4'] # states[0].antichain
 01 = {AntichainNode} antichain_1 -- ['node5']
 02 = {AntichainNode} antichain_2 -- ['node6']
 03 = {AntichainNode} antichain_3 -- ['node7']
 04 = {AntichainNode} antichain_4 -- ['node8']
 05 = {AntichainNode} antichain_5 -- ['node8', 'node10']
 06 = {AntichainNode} antichain_7 -- ['node8', 'node11']
 07 = {AntichainNode} antichain_10 -- ['node8', 'node12']
 08 = {AntichainNode} antichain_6 -- ['node14']
 09 = {AntichainNode} antichain_8 -- ['node14', 'node15']
 10 = {AntichainNode} antichain_11 -- ['node14', 'node16']
 11 = {AntichainNode} antichain_13 -- ['node14', 'node17']
 12 = {AntichainNode} antichain_9 -- ['node19']
 13 = {AntichainNode} antichain_12 -- ['node20', 'node23']
 14 = {AntichainNode} antichain_18 -- ['node23', 'node20', 'node26']
 15 = {AntichainNode} antichain_17 -- ['node23', 'node20', 'node24']
 16 = {AntichainNode} antichain_32 -- ['node23', 'node20', 'node28']
 17 = {AntichainNode} antichain_31 -- ['node23', 'node20', 'node26', 'node24']
 18 = {AntichainNode} antichain_63 -- ['node23', 'node20', 'node26', 'node28']
 19 = {AntichainNode} antichain_33 -- ['node20', 'node26', 'node29']
 20 = {AntichainNode} antichain_16 -- ['node20', 'node43', 'node23']
 21 = {AntichainNode} antichain_30 -- ['node23', 'node20', 'node43', 'node26']
 22 = {AntichainNode} antichain_29 -- ['node23', 'node20', 'node43', 'node24']
 23 = {AntichainNode} antichain_59 -- ['node23', 'node20', 'node43', 'node28']

设定stage 具体代码如下：

splits = [(0, len(states))]
i = len(all_As) - 1
while i >= 0:
    new_splits = []
    stage_id = 0
    for (start, end) in splits:
        partial_splits = \
            analyze_partitioning(all_As[i], states, start, end,
                                 network_bandwidths[i], all_num_machines[i],
                                 activation_compression_ratio,
                                 print_configuration, verbose)
        start_point = start
        for split in partial_splits: # 遍历这个偏序列表
            new_splits.append((start_point, split))
            if i == 0: # 最终的while
                # 针对每个节点，找到每个节点的所有反链
                predecessors = gr.all_predecessors(states[split-1].antichain)
                for predecessor in predecessors:
                    if predecessor.stage_id is None:
                        predecessor.set_stage_id(stage_id) # 打上stage id
            start_point = split
            stage_id += 1
        new_splits.append((start_point, end))
        if i == 0: # 最终的while
            predecessors = gr.all_predecessors(states[end-1].antichain)
            for predecessor in predecessors:
                if predecessor.stage_id is None:
                    predecessor.set_stage_id(stage_id) # 打上stage id
        stage_id += 1
    splits = new_splits
    i -= 1

5.4 总结

我们总结一下计算分区和分析分区所做的工作：

• 反链DAG图已经被分割成若干状态（states），每个状态很重要的一个属性是其增强反链。states 就是对增强反链进行拓扑排序之后的结果，按照这个顺序进行训练是符合逻辑的。

• compute_partitioning 是使用动态规划算法对于这些 states 状态得出一个最优化结果，但是这个计算分区只是得到了一个动态规划优化结果，需要在analyze_partitioning之中进行分析划分之后，赋予到各个层（stage）。

• analyze_partitioning 是利用动态规划算法的最优化结果来做具体分区，排序后得到了一个偏序结果，就是理想分割序列。

• 依据 analyze_partitioning 的结果，给模型的每一个子层分配一个stage，如果某些子层属于同一个stage，这些子层最终就被分配到同一个worker（节点）上执行。

0x06 输出

输出文件如下（摘录部分），可以看到，关键之处在于给每一个节点加上了stage，具体如何使用我们将在下一篇进行分析。比如：

stage_id=0 对应的是 node4。

stage_id=1 对应的是 node5，node6。

stage_id=2 对应的是 node7。

stage_id=3 对应的是 node8，node10，node11，node12。

…

具体如下：

node4 -- Embedding(32320, 1024, padding_idx=0) -- forward_compute_time=0.073, backward_compute_time=6.949, activation_size=6291456.0, parameter_size=132382720.000 -- stage_id=0
node5 -- EmuBidirLSTM(  (bidir): LSTM(1024, 1024, bidirectional=True)  (layer1): LSTM(1024, 1024)  (layer2): LSTM(1024, 1024)) -- forward_compute_time=5.247, backward_compute_time=0.016, activation_size=12582912.0, parameter_size=67174400.000 -- stage_id=1
node6 -- Dropout(p=0.2) -- forward_compute_time=0.077, backward_compute_time=0.196, activation_size=12582912.0, parameter_size=0.000 -- stage_id=1
node7 -- LSTM(2048, 1024) -- forward_compute_time=3.190, backward_compute_time=5.348, activation_size=6553600.0, parameter_size=50364416.000 -- stage_id=2
node8 -- __getitem__(0) -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000 -- stage_id=3
node10 -- Dropout(p=0.2) -- forward_compute_time=0.064, backward_compute_time=0.128, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000 -- stage_id=3
node11 -- LSTM(1024, 1024) -- forward_compute_time=2.491, backward_compute_time=4.203, activation_size=6553600.0, parameter_size=33587200.000 -- stage_id=3
node12 -- __getitem__(0) -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000 -- stage_id=3
node14 -- Add -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000 -- stage_id=4
node15 -- Dropout(p=0.2) -- forward_compute_time=0.059, backward_compute_time=0.121, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000 -- stage_id=4
node16 -- LSTM(1024, 1024) -- forward_compute_time=2.492, backward_compute_time=4.201, activation_size=6553600.0, parameter_size=33587200.000 -- stage_id=4
node17 -- __getitem__(0) -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000 -- stage_id=5
node19 -- Add -- forward_compute_time=0.000, backward_compute_time=0.000, activation_size=6291456.0, parameter_size=0.000 -- stage_id=5
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